Números reais positivos - Positive real numbers

Em matemática , o conjunto de números reais positivos , é o subconjunto dos números reais que são maiores que zero. Os números reais não negativos , também incluem zero. Embora os símbolos e sejam usados ​​ambiguamente para qualquer um deles, a notação ou para e ou para também foi amplamente empregada, está alinhada com a prática em álgebra de denotar a exclusão do elemento zero com uma estrela e deve ser compreensível para a maioria praticando matemáticos.

Em um plano complexo , é identificado com o eixo real positivo e geralmente é desenhado como um raio horizontal . Este raio é usado como referência na forma polar de um número complexo . O eixo real positivo corresponde a números complexos com argumento

Propriedades

O conjunto é encerrado em adição, multiplicação e divisão. Ele herda uma topologia da linha real e, portanto, tem a estrutura de um grupo topológico multiplicativo ou de um semigrupo topológico aditivo .

Para um dado número real positivo, a sequência de suas potências integrais tem três destinos diferentes: Quando o limite é zero; quando a sequência é constante; e quando a sequência é ilimitada .

e a função inversa multiplicativa troca os intervalos. As funções de chão , e excesso , tem sido utilizado para descrever um elemento como uma fracção contínua que é uma sequência de números inteiros obtidos a partir da função de chão depois do excesso foi recíproco. Para o racional, a sequência termina com uma expressão fracionária exata de e para o irracional quadrático a sequência se torna uma fração contínua periódica .

O conjunto ordenado forma um pedido total, mas não é um conjunto bem ordenado . A progressão geométrica duplamente infinita, onde é um inteiro , encontra-se inteiramente em e serve para seccioná-la para acesso. forma uma escala de razão , o nível mais alto de medição . Os elementos podem ser escritos em notação científica como onde e é o número inteiro na progressão duplamente infinita e é chamado de década . No estudo das magnitudes físicas, a ordem das décadas fornece ordinais positivos e negativos referindo-se a uma escala ordinal implícita na escala de razão.

No estudo de grupos clássicos , para cada o determinante dá um mapa de matrizes sobre os reais para os números reais: Restringir a matrizes invertíveis dá um mapa do grupo linear geral para zero não números reais: Restringir a matrizes com um determinante positivo dá o mapa ; interpretar a imagem como um grupo de quocientes pelo subgrupo normal denominado grupo linear especial expressa os reais positivos como um grupo de Lie .

Escala de razão

Entre os níveis de medição, a escala de proporção fornece os detalhes mais precisos. A função de divisão assume um valor de um (1) quando o numerador e o denominador são iguais. Outras razões são comparadas a uma por logaritmos, geralmente logaritmo comum usando a base 10. A escala de razão então segmenta por ordens de magnitude usadas em ciência e tecnologia, expressas em várias unidades de medida .

Uma expressão inicial da escala de proporção foi articulada geometricamente por Eudoxus : "foi ... em linguagem geométrica que a teoria geral de proporção de Eudoxus foi desenvolvida, que é equivalente a uma teoria de números reais positivos."

Medida logarítmica

Se for um intervalo , então determina uma medida em certos subconjuntos de correspondente ao recuo da medida de Lebesgue usual nos números reais sob o logaritmo: é o comprimento na escala logarítmica . Na verdade, é uma medida invariante com respeito à multiplicação por a, assim como a medida de Lebesgue é invariante com a adição. No contexto de grupos topológicos, esta medida é um exemplo de medida Haar .

A utilidade desta medida é demonstrada em seu uso para descrever magnitudes estelares e níveis de ruído em decibéis , entre outras aplicações da escala logarítmica . Para fins de padrões internacionais ISO 80000-3 , as quantidades adimensionais são chamadas de níveis .

Formulários

Os reais não negativos servem de imagem para métricas , normas e medidas em matemática.

Incluindo 0, o conjunto tem uma estrutura de semiramento (0 sendo a identidade aditiva ), conhecida como semiramento de probabilidade ; tomar logaritmos (com uma escolha de base dando uma unidade logarítmica ) dá um isomorfismo com o log semiring (com 0 correspondendo a ), e suas unidades (os números finitos, excluindo ) correspondem aos números reais positivos.

Quadrado

Deixe o primeiro quadrante do plano cartesiano. O quadrante em si é dividido em quatro partes pela linha e pela hipérbole padrão

O forma um tridente enquanto é o ponto central. É o elemento de identidade de dois grupos de um parâmetro que se cruzam lá:

Por ser um grupo , é um produto direto de grupos . Os subgrupos de um parâmetro L e H em Q representam o perfil da atividade no produto e são uma resolução dos tipos de ação do grupo.

Os domínios dos negócios e da ciência são abundantes em proporções, e qualquer mudança nas proporções chama a atenção. O estudo refere-se a coordenadas hiperbólicas em Q . O movimento contra o eixo L indica uma mudança na média geométrica, enquanto uma mudança ao longo de H indica um novo ângulo hiperbólico .

Veja também

  • Semicampo  - uma das duas generalizações de campos, relaxando a associatividade e a comutatividade da multiplicação ou relaxando a existência de inversos aditivos
  • Sinal (matemática)

Referências

Bibliografia