Matriz simétrica - Symmetric matrix

Simetria de uma matriz 5 × 5

Na álgebra linear , uma matriz simétrica é uma matriz quadrada igual à sua transposta . Formalmente,

${\ displaystyle A {\ text {é simétrico}} \ iff A = A ^ {\ textf {T}}.}$

Como matrizes iguais têm dimensões iguais, apenas matrizes quadradas podem ser simétricas.

As entradas de uma matriz simétrica são simétricas em relação à diagonal principal . Portanto, se denota a entrada na linha e na coluna, então ${\ displaystyle a_ {ij}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle A {\ text {é simétrico}} \ iff {\ text {para cada}} i, j, \ quad a_ {ji} = a_ {ij}}$

para todos os índices e ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j.}$

Cada matriz quadrada diagonal é simétrica, uma vez que todos os elementos fora da diagonal são zero. Da mesma forma, em características diferentes de 2, cada elemento diagonal de uma matriz assimétrica deve ser zero, já que cada um é seu próprio negativo.

Na álgebra linear, uma matriz simétrica real representa um operador auto-adjunto sobre um espaço de produto interno real . O objeto correspondente para um espaço de produto interno complexo é uma matriz Hermitiana com entradas de valor complexo, que é igual à sua transposta conjugada . Portanto, em álgebra linear sobre números complexos, é freqüentemente assumido que uma matriz simétrica se refere a outra que possui entradas de valor real. Matrizes simétricas aparecem naturalmente em uma variedade de aplicações, e o software típico de álgebra linear numérica oferece acomodações especiais para elas.

Exemplo

A seguinte matriz é simétrica: ${\ displaystyle 3 \ vezes 3}$

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \ end {bmatrix}}}

Propriedades

Propriedades básicas

A soma e diferença de duas matrizes simétricas é novamente simétrica
Isso nem sempre é verdade para o produto : dadas matrizes simétricas e , então é simétrico se e somente se e comuta , ou seja, se . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle AB}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle AB = BA}$
Para inteiro , é simétrico se for simétrico. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle A ^ {n}}$ ${\ displaystyle A}$
Se existe, é simétrico se e somente se for simétrico. ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle A}$

Decomposição em simétrica e assimétrica

Qualquer matriz quadrada pode ser escrita exclusivamente como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz assimétrica. Esta decomposição é conhecida como decomposição de Toeplitz. Deixe denotar o espaço de matrizes. Se denota o espaço de matrizes simétricas e o espaço de matrizes assimétricas, então e , ie ${\ displaystyle {\ mbox {Mat}} _ {n}}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Sym}} _ {n}}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Skew}} _ {n}}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Mat}} _ {n} = {\ mbox {Sym}} _ {n} + {\ mbox {Skew}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Sym}} _ {n} \ cap {\ mbox {Skew}} _ {n} = \ {0 \}}$

{\ displaystyle {\ mbox {Mat}} _ {n} = {\ mbox {Sym}} _ {n} \ oplus {\ mbox {Skew}} _ {n},}

onde denota a soma direta . Vamos então ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mbox {Mat}} _ {n}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} \ left (X + X ^ {\ textf {T}} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (XX ^ {\ textosf {T}} \ right)}

.

Observe isso e . Isso é verdadeiro para toda matriz quadrada com entradas de qualquer campo cuja característica seja diferente de 2. ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (X + X ^ {\ textf {T}} \ right) \ in {\ mbox {Sym}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (XX ^ {\ textf {T}} \ right) \ in \ mathrm {Skew} _ {n}}$ ${\ displaystyle X}$

Uma matriz simétrica é determinada por escalares (o número de entradas na diagonal principal ou acima ). Da mesma forma, uma matriz assimétrica com inclinação é determinada por escalares (o número de entradas acima da diagonal principal). ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} n (n + 1)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} n (n-1)}$

Matriz congruente com uma matriz simétrica

Qualquer matriz congruente com uma matriz simétrica é novamente simétrica: se é uma matriz simétrica, então o é para qualquer matriz . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle AXA ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle A}$

Simetria implica normalidade

Uma matriz simétrica (com valor real) é necessariamente uma matriz normal .

Matrizes simétricas reais

Denotam pelo padrão de produto interno no . A matriz real é simétrica se e somente se ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle \ quad \ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

Como essa definição é independente da escolha da base , a simetria é uma propriedade que depende apenas do operador linear A e da escolha do produto interno . Essa caracterização da simetria é útil, por exemplo, em geometria diferencial , pois cada espaço tangente a uma variedade pode ser dotado de um produto interno, dando origem ao que é chamado de variedade Riemanniana . Outra área onde essa formulação é usada é nos espaços de Hilbert .

O teorema espectral de dimensão finita diz que qualquer matriz simétrica cujas entradas são reais pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal . Mais explicitamente: Para cada matriz simétrica real existe uma matriz ortogonal real , que é uma matriz diagonal . Toda matriz simétrica real é, portanto, à escolha de uma base ortonormal , uma matriz diagonal. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle D = Q ^ {\ mathrm {T}} AQ}$

Se e são matrizes simétricas reais que comutam, então elas podem ser diagonalizadas simultaneamente: existe uma base de tal que cada elemento da base é um autovetor para ambos e . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Toda matriz simétrica real é hermitiana e, portanto, todos os seus autovalores são reais. (Na verdade, os valores próprios são as entradas na matriz diagonal (acima) e, portanto, são determinados exclusivamente até a ordem de suas entradas.) Essencialmente, a propriedade de ser simétrico para matrizes reais corresponde à propriedade de ser Hermitiano para matrizes complexas. ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle A}$

Matrizes simétricas complexas

Uma matriz simétrica complexa pode ser 'diagonalizada' usando uma matriz unitária : portanto, se for uma matriz simétrica complexa, há uma matriz unitária tal que é uma matriz diagonal real com entradas não negativas. Esse resultado é conhecido como fatoração Autonne – Takagi . Foi originalmente provado por Léon Autonne (1915) e Teiji Takagi (1925) e redescoberto com diferentes provas por vários outros matemáticos. Na verdade, a matriz é Hermitiana e semi-definida positiva , então há uma matriz unitária tal que é diagonal com entradas reais não negativas. Portanto, é complexo simétrico com real. Escrevendo com e matrizes simétricas reais, . Assim . Desde e comutar, existe uma matriz ortogonal real tal que e são diagonais. Configuração (uma matriz unitária), a matriz é diagonal complexa. Pré-multiplicando por uma matriz unitária diagonal adequada (que preserva a unitariedade de ), as entradas diagonais de podem ser reais e não negativas, conforme desejado. Para construir essa matriz, expressamos a matriz diagonal como . A matriz que buscamos é simplesmente fornecida por . Claramente conforme desejado, então fazemos a modificação . Como seus quadrados são os valores próprios de , eles coincidem com os valores singulares de . (Observe, sobre a autodescomposição de uma matriz simétrica complexa , a forma normal de Jordan de pode não ser diagonal, portanto, não pode ser diagonalizada por qualquer transformação de similaridade.) ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle B = A ^ {\ dagger} A}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V ^ {\ dagger} BV}$ ${\ displaystyle C = V ^ {\ mathrm {T}} AV}$ ${\ displaystyle C ^ {\ dagger} C}$ ${\ displaystyle C = X + iY}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle C ^ {\ dagger} C = X ^ {2} + Y ^ {2} + i (XY-YX)}$ ${\ displaystyle XY = YX}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle WXW ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle WYW ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle U = WV ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}} = \ operatorname {diag} (r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} , \ dots, r_ {n} e ^ {i \ theta _ {n}})}$ ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (e ^ {- i \ theta _ {1} / 2}, e ^ {- i \ theta _ {2} / 2}, \ dots, e ^ {- i \ teta _ {n} / 2})}$ ${\ displaystyle DUAU ^ {\ mathrm {T}} D = \ operatorname {diag} (r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n})}$ ${\ displaystyle U '= DU}$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

Decomposição

Usando a forma normal de Jordan , pode-se provar que toda matriz quadrada real pode ser escrita como um produto de duas matrizes simétricas reais, e toda matriz quadrada complexa pode ser escrita como um produto de duas matrizes simétricas complexas.

Cada matriz real não singular pode ser fatorada exclusivamente como o produto de uma matriz ortogonal e uma matriz simétrica positiva definida , que é chamada de decomposição polar . Matrizes singulares também podem ser fatoradas, mas não exclusivamente.

A decomposição de Cholesky afirma que toda matriz simétrica definida positiva real é um produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta, ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle A = LL ^ {\ textf {T}}.}

Se a matriz for simétrica indefinida, ela ainda pode ser decomposta como onde está uma matriz de permutação (decorrente da necessidade de pivotar ), uma matriz triangular de unidade inferior e é uma soma direta de simétricos e blocos, que é chamada de decomposição de Bunch-Kaufman ${\ displaystyle PAP ^ {\ textf {T}} = LDL ^ {\ textf {T}}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

Uma matriz simétrica geral (complexa) pode ser defeituosa e, portanto, não ser diagonalizável. Se for diagonalizável, pode ser decomposto como ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = Q \ Lambda Q ^ {\ textf {T}}}

onde é uma matriz ortogonal e é uma matriz diagonal dos autovalores de . No caso especial que é simétrico real, então e também são reais. Para ver ortogonalidade, suponha e são autovetores correspondentes a autovalores distintos , . Então ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle QQ ^ {\ textf {T}} = I}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle A \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle \ mathbf {x}, A \ mathbf {y} \ rangle = \ lambda _ {2} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle.}

Uma vez que e são distintos, nós temos . ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = 0}$

Hessian

Matrizes simétricas de funções reais aparecem como os Hessianos de funções duas vezes continuamente diferenciáveis de variáveis reais. ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle n}$

Cada forma quadrática em pode ser escrita exclusivamente na forma com uma matriz simétrica . Por causa do teorema espectral acima, pode-se dizer que toda forma quadrática, até a escolha de uma base ortonormal de , "parece" ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {\ textf {T}} A \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle q \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} x_ {i} ^ {2}}

com números reais . Isso simplifica consideravelmente o estudo das formas quadráticas, bem como o estudo dos conjuntos de níveis que são generalizações de seções cônicas . ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {x}: q (\ mathbf {x}) = 1 \ right \}}$

Isso é importante em parte porque o comportamento de segunda ordem de cada função multivariável suave é descrito pela forma quadrática pertencente ao Hessian da função; isso é uma consequência do teorema de Taylor .

Matriz simetrizável

Uma matriz é dita simetrizável se existe uma matriz diagonal invertível e uma matriz simétrica tal que ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle A = DS.}$

A transposta de uma matriz simetrizável é simetrizável, pois e é simétrica. Uma matriz é simetrizável se e somente se as seguintes condições forem atendidas: ${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = (DS) ^ {\ mathrm {T}} = SD = D ^ {- 1} (DSD)}$ ${\ displaystyle DSD}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ implica para todos ${\ displaystyle a_ {ji} = 0}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq j \ leq n.}$
${\ displaystyle a_ {i_ {1} i_ {2}} a_ {i_ {2} i_ {3}} \ dots a_ {i_ {k} i_ {1}} = a_ {i_ {2} i_ {1}} a_ {i_ {3} i_ {2}} \ dots a_ {i_ {1} i_ {k}}}$ para qualquer sequência finita ${\ displaystyle \ left (i_ {1}, i_ {2}, \ dots, i_ {k} \ right).}$