Conjugado transposto - Conjugate transpose

Em matemática , a transposta conjugada (ou transposta Hermitiana ) de uma matriz m -by- n com entradas complexas é a matriz n -by- m obtida tomando a transposta e, em seguida, tomando o conjugado complexo de cada entrada (o conjugado complexo de sendo , para números reais e ). Geralmente é denotado como ou . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle a + ib}$${\ displaystyle a-ib}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {*}}$

Para matrizes reais, a transposta conjugada é apenas a transposta ,. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}}}$

Definição

A transposta conjugada de uma matriz é formalmente definida por ${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) _ {ij} = {\ overline {{\ boldsymbol {A}} _ {ji}}}}$

( Eq.1 )

onde o subscrito denota a -ésima entrada, para e , e a barra superior denota um conjugado de complexo escalar. ${\ displaystyle ij}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$${\ displaystyle 1 \ leq j \ leq m}$

Esta definição também pode ser escrita como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = \ left ({\ overline {\ boldsymbol {A}}} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = {\ overline {{ \ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}}}}}$

onde denota a transposta e denota a matriz com entradas conjugadas complexas. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ boldsymbol {A}}}}$

Outros nomes para o conjugado transposto de uma matriz são conjugado Hermitiano , matriz modificada , matriz adjunta ou transjugado . A transposta conjugada de uma matriz pode ser denotada por qualquer um destes símbolos: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {*}}$, comumente usado em álgebra linear
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$, comumente usado em álgebra linear
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ dagger}}$(às vezes pronunciado como uma adaga ), comumente usado na mecânica quântica
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {+}}$, embora este símbolo seja mais comumente usado para o pseudoinverso Moore-Penrose

Em alguns contextos, denota a matriz com apenas entradas conjugadas complexas e sem transposição. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {*}}$

Exemplo

Suponha que desejamos calcular a transposta conjugada da matriz a seguir . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -2-i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \ end {bmatrix}}}$

Primeiro transpomos a matriz:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 + i \\ - 2-i & i \\ 5 & 4-2i \ end {bmatrix}}}$

Em seguida, conjugamos cada entrada da matriz:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1-i \\ - 2 + i & -i \\ 5 & 4 + 2i \ end {bmatrix}}}$

Observações básicas

Uma matriz quadrada com entradas é chamada ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$

• Hermitiano ou auto-adjunto se ; ou seja ,.${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle a_ {ij} = {\ overline {a_ {ji}}}}$
• Skew Hermitian ou antihermitian se ; ou seja ,.${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = - {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle a_ {ij} = - {\ overline {a_ {ji}}}}$
• Normal se .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$
• Unitário se , equivalentemente , equivalentemente .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {I}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {I}}}$

Mesmo que não seja quadrada, as duas matrizes e são matrizes de Hermit e de fato semidefinidas positivas . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$

A transposta da matriz "adjunta" conjugado não deve ser confundido com o adjugate , que também é chamado às vezes adjunta . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle \ operatorname {adj} ({\ boldsymbol {A}})}$

A transposta conjugada de uma matriz com entradas reais se reduz à transposta de , pois o conjugado de um número real é o próprio número. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

Motivação

A transposta conjugada pode ser motivada observando-se que os números complexos podem ser representados de forma útil por matrizes reais 2 × 2, obedecendo à adição e multiplicação da matriz:

${\ displaystyle a + ib \ equiv {\ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}}.}$

Ou seja, denotando cada número complexo z pela matriz 2 × 2 real da transformação linear no diagrama de Argand (visto como o espaço vetorial real ), afetado pela multiplicação z complexa em . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Assim, uma matriz m- por- n de números complexos poderia ser bem representada por uma matriz 2 m -por-2 n de números reais. A transposta conjugada, portanto, surge naturalmente como resultado da simples transposição de tal matriz - quando vista novamente como uma matriz n- by- m composta de números complexos.

Propriedades do conjugado transposto

• ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {A}} + {\ boldsymbol {B}}) ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} + {\ boldsymbol {B }} ^ {\ mathrm {H}}}$para quaisquer duas matrizes e das mesmas dimensões.${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$
• ${\ displaystyle (z {\ boldsymbol {A}}) ^ {\ mathrm {H}} = {\ overline {z}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$para qualquer número complexo e qualquer matriz m- por- n .${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {B}}) ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {B}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$para qualquer m -by- n matriz e qualquer n -by- p matriz . Observe que a ordem dos fatores é invertida.${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$
• ${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}}}$para qualquer matriz m -by- n , isto é, a transposição Hermitiana é uma involução .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• Se for uma matriz quadrada, então onde denota o determinante de .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle \ det \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) = {\ overline {\ det \ left ({\ boldsymbol {A}} \ right)}}}$${\ displaystyle \ operatorname {det} (A)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• Se for uma matriz quadrada, então onde denota o traço de .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) = {\ overline {\ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {A}})}} }$${\ displaystyle \ operatorname {tr} (A)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$é invertível se e somente se for invertível e, nesse caso .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) ^ {- 1} = \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ right) ^ { \ mathrm {H}}}$
• Os valores próprios de são os conjugados complexos dos valores próprios de .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• ${\ displaystyle \ left \ langle {\ boldsymbol {A}} x, y \ right \ rangle _ {m} = \ left \ langle x, {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} y \ right \ rangle _ {n}}$para qualquer matriz m- by- n , qualquer vetor em e qualquer vetor . Aqui, denota o produto interno complexo padrão em , e de forma semelhante para .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {n}}$

Generalizações

A última propriedade fornecida acima mostra que, se alguém visualizar como uma transformação linear do espaço de Hilbert para , a matriz corresponde ao operador adjunto de . O conceito de operadores adjunto entre espaços de Hilbert pode, portanto, ser visto como uma generalização da transposta conjugada de matrizes com respeito a uma base ortonormal. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m},}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

Outra generalização está disponível: suponha que é um mapa linear de um espaço vetorial complexo para outro, então o mapa linear conjugado complexo , bem como o mapa linear transposto são definidos, e podemos, portanto, considerar a transposta conjugada de como o conjugado complexo de a transposição de . Ele mapeia o dual conjugado de ao dual conjugado de . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$

Veja também

• Produto escalar complexo
• Anexo hermitiano
• Matriz de Adjugado

Referências

links externos

• "Adjoint matrix" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]