Involução (matemática) - Involution (mathematics)

Uma involução é uma função que, quando aplicada duas vezes, traz de volta ao ponto de partida.${\ displaystyle f: X \ a X}$

Em matemática , uma involução , função involutória ou função auto-inversa é uma função f que é sua própria inversa ,

f ( f ( x )) = x

para todo x no domínio de f . De forma equivalente, aplicar f duas vezes produz o valor original.

O termo anti-involução refere - se a involuções baseadas em anti - homomorfismos (ver § Álgebra de quaternion, grupos, semigrupos abaixo)

f ( xy ) = f ( y ) f ( x )

de tal modo que

xy = f ( f ( xy )) = f ( f ( y ) f ( x )) = f ( f ( x )) f ( f ( y )) = xy .

Propriedades gerais

Qualquer involução é uma bijeção .

O mapa de identidade é um exemplo trivial de uma involução. Exemplos comuns em matemática de involuções não triviais incluem multiplicação por -1 na aritmética , obtenção de recíprocos , complementação na teoria dos conjuntos e conjugação complexa . Outros exemplos incluem inversão de círculo , rotação de meia volta e cifras recíprocas , como a transformação ROT13 e a cifra polialfabética de Beaufort .

O número de involuções, incluindo a involução de identidade, em um conjunto com n = 0, 1, 2, ... elementos é dado por uma relação de recorrência encontrada por Heinrich August Rothe em 1800:

${\ displaystyle a_ {0} = a_ {1} = 1}$e para${\ displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + (n-1) a_ {n-2}}$${\ displaystyle n> 1.}$

Os primeiros termos desta sequência são 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (sequência A000085 no OEIS ); esses números são chamados de números de telefone e também contam o número de quadros de Young com um determinado número de células. A composição g ∘ f de duas involuç~oes f e g é uma involução se e somente se eles comutar: g ∘ f = f ∘ g .

Cada involução em um número ímpar de elementos tem pelo menos um ponto fixo . Mais geralmente, para uma involução em um conjunto finito de elementos, o número de elementos e o número de pontos fixos têm a mesma paridade .

Involução nos campos da matemática

Pré-cálculo

Exemplos básicos de involuções são as funções:

${\ displaystyle f_ {1} (x) = - x}$, ou   , bem como sua composição${\ displaystyle f_ {2} (x) = {\ frac {1} {x}}}$${\ displaystyle (f_ {1} \ circ f_ {2}) (x) = (f_ {2} \ circ f_ {1}) (x) = f_ {3} (x) = - {\ frac {1} {x}}.}$

Essas não são as únicas involuções pré-cálculo. Outra dentro dos reais positivos é:

${\ displaystyle f (x) = \ ln \ left ({\ frac {e ^ {x} +1} {e ^ {x} -1}} \ right).}$

O gráfico de uma involução (nos números reais) é simétrico em relação à linha . Isso se deve ao fato de que o inverso de qualquer função geral será seu reflexo sobre a linha de 45 ° . Isso pode ser visto "trocando" com . Se, em particular, a função for uma involução , ela servirá como seu próprio reflexo. ${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Outras involuções elementares são úteis na resolução de equações funcionais .

Geometria euclidiana

Um exemplo simples de uma involução do espaço euclidiano tridimensional é a reflexão através de um plano . Realizar uma reflexão duas vezes traz um ponto de volta às suas coordenadas originais.

Outra involução é a reflexão através da origem ; não uma reflexão no sentido acima e, portanto, um exemplo distinto.

Essas transformações são exemplos de involuções afins .

Geometria projetiva

Uma involução é uma projetividade de período 2, ou seja, uma projetividade que troca pares de pontos.

• Qualquer projetividade que troque dois pontos é uma involução.
• Os três pares de lados opostos de um quadrilátero completo encontram qualquer linha (não através de um vértice) em três pares de uma involução. Este teorema foi denominado Teorema da Involução de Desargues . Suas origens podem ser vistas no Lema IV dos lemas dos Porismos de Euclides no Volume VII da Coleção de Pappus de Alexandria .
• Se uma involução tem um ponto fixo , tem outro e consiste na correspondência entre os conjugados harmônicos com respeito a esses dois pontos. Neste caso, a involução é denominada "hiperbólica", enquanto se não houver pontos fixos é "elíptica". No contexto das projetividades, os pontos fixos são chamados de pontos duplos .

Outro tipo de involução que ocorre na geometria projetiva é uma polaridade que é uma correlação do período 2.

Álgebra Linear

Na álgebra linear, uma involução é um operador linear T em um espaço vetorial, tal que . Exceto na característica 2, tais operadores são diagonalizáveis ​​para uma determinada base com apenas 1s e −1s na diagonal da matriz correspondente. Se o operador for ortogonal (uma involução ortogonal ), ele é diagonalizável ortonormalmente. ${\ displaystyle T ^ {2} = I}$

Por exemplo, suponha que uma base para um espaço vetorial V seja escolhida e que e ₁ e e ₂ sejam elementos de base. Existe uma transformação linear f que envia e ₁ para e ₂ e envia e ₂ para e ₁ , e que é a identidade em todos os outros vetores de base. Pode ser verificado que F ( f ( x )) = x para todos os x em V . Ou seja, f é uma involução da V .

Para obter uma base específica, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz T . Cada matriz possui uma transposta , obtida pela troca de linhas por colunas. Essa transposição é uma involução no conjunto de matrizes.

A definição de involução se estende prontamente aos módulos . Dado um módulo M ao longo de um anel R , um de R endomorfismo f de H é chamado uma involução se f  ² é o homomorphism identidade em H .

As involuções estão relacionadas a idempotentes ; se 2 for invertível, eles correspondem de uma maneira um a um.

Álgebra de quaternion, grupos, semigrupos

Em uma álgebra de quaternion , uma (anti) involução é definida pelos seguintes axiomas: se considerarmos uma transformação, então é uma involução se ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$

• ${\ displaystyle f (f (x)) = x}$ (é seu próprio inverso)
• ${\ displaystyle f (x_ {1} + x_ {2}) = f (x_ {1}) + f (x_ {2})}$e (é linear)${\ displaystyle f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}$
• ${\ displaystyle f (x_ {1} x_ {2}) = f (x_ {1}) f (x_ {2})}$

Uma anti-involução não obedece ao último axioma, mas em vez disso

• ${\ displaystyle f (x_ {1} x_ {2}) = f (x_ {2}) f (x_ {1})}$

Essa lei anterior é às vezes chamada de antidistributiva . Ele também aparece em grupos como ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ . Tomado como um axioma, leva à noção de semigrupo com involução , do qual existem exemplos naturais que não são grupos, por exemplo, multiplicação de matriz quadrada (ou seja, o monóide linear completo ) com transposta como a involução.

Teoria do anel

Na teoria dos anéis , a palavra involução é normalmente considerada como significando um anti - homomorfismo que é sua própria função inversa. Exemplos de involuções em anéis comuns:

• conjugação complexa no plano complexo
• multiplicação por j nos números complexos de divisão
• tomando a transposta em um anel de matriz.

Teoria do grupo

Na teoria dos grupos , um elemento de um grupo é uma involução se tiver ordem 2; ou seja, uma involução é um elemento de um tal modo que uma ≠ e e um ² = E , onde E é o elemento de identidade .

Originalmente, essa definição concordava com a primeira definição acima, uma vez que os membros dos grupos eram sempre bijeções de um conjunto para si mesmo; ou seja, o grupo foi considerado como o grupo de permutação médio . No final do século 19, o grupo foi definido de forma mais ampla e, portanto, a involução também .

Uma permutação é uma involução precisamente se puder ser escrita como produto de uma ou mais transposições não sobrepostas .

As involuções de um grupo têm um grande impacto na estrutura do grupo. O estudo das involuções foi fundamental na classificação de grupos simples finitos .

Um elemento x de um grupo G é denominado fortemente real se houver uma involução t com x ^t = x ⁻¹ (onde x ^t = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).

Os grupos de Coxeter são grupos gerados por involuções com as relações determinadas apenas por relações dadas para pares de involuções geradoras. Os grupos de Coxeter podem ser usados, entre outras coisas, para descrever os possíveis poliedros regulares e suas generalizações para dimensões superiores .

Lógica matemática

A operação de complemento nas álgebras booleanas é uma involução. Assim, a negação em satisfaz lógica clássica a lei da dupla negação: ¬¬ A é equivalente a A .

Geralmente, em lógicas não clássicas, a negação que satisfaz a lei da dupla negação é chamada de involutiva. Na semântica algébrica, tal negação é realizada como uma involução na álgebra dos valores de verdade . Exemplos de lógicas que têm negação involutiva são Kleene e Bochvar três lógicas polivalentes , Łukasiewicz lógica polivalente , distorcido lógica IMTL, etc. involutiva negação é por vezes adicionado como um conjuntivo adicional para lógicas com negação não-involutiva; isso é comum, por exemplo, em lógicas fuzzy de norma t .

A involutividade da negação é uma propriedade de caracterização importante para a lógica e as variedades correspondentes de álgebras . Por exemplo, a negação involutiva caracteriza as álgebras booleanas entre as álgebras de Heyting . Correspondentemente, a lógica booleana clássica surge ao adicionar a lei da dupla negação à lógica intuicionista . O mesmo detém também relação entre MV-algebras e BL-algebras (e portanto correspondentemente entre Łukasiewicz lógica e lógica fuzzy BL ), e IMTL MTL , e outros pares de variedades importantes de álgebra (resp. Lógicas correspondente).

No estudo das relações binárias , toda relação tem uma relação inversa . Como o inverso do inverso é a relação original, a operação de conversão é uma involução na categoria de relações . As relações binárias são ordenadas por inclusão . Embora essa ordem seja revertida com a involução de complementação , ela é preservada na conversão.

Ciência da Computação

A operação bit a bit XOR com um determinado valor para um parâmetro é uma involução. As máscaras XOR já foram usadas para desenhar gráficos em imagens de forma que desenhá-los duas vezes no fundo reverte o fundo ao seu estado original. A operação NOT bit a bit também é uma involução e é um caso especial da operação XOR em que um parâmetro tem todos os bits definidos como 1.

Outro exemplo é uma máscara de bits e uma função de deslocamento operando em valores de cor armazenados como inteiros, digamos na forma RGB, que troca R e B, resultando na forma BGR. f (f (RGB)) = RGB, f (f (BGR)) = BGR.

A cifra criptográfica RC4 é uma involução, pois as operações de criptografia e descriptografia usam a mesma função.

Praticamente todas as máquinas de cifras mecânicas implementam uma cifra recíproca , uma involução em cada letra digitada. Em vez de projetar dois tipos de máquinas, uma para criptografar e outra para descriptografar, todas as máquinas podem ser idênticas e podem ser configuradas (chaveadas) da mesma maneira.

Veja também

• Automorfismo
• Idempotência
• ROT13

Referências

Leitura adicional

• Ell, Todd A .; Sangwine, Stephen J. (2007). "Involuções e anti-involuções do quaternion". Computadores e matemática com aplicativos . 53 (1): 137–143. arXiv : math / 0506034 . doi : 10.1016 / j.camwa.2006.10.029 . S2CID  45639619 .
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions , Colloquium Publications, 44 , Com um prefácio de J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955.16001
• "Involution" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]