Fechamento algébrico - Algebraic closure

Na matemática , particularmente na álgebra abstrata , um fechamento algébrico de um campo K é uma extensão algébrica de K que é fechada algébricamente . É um dos muitos encerramentos da matemática.

Usando o lema de Zorn ou o mais fraco ultrafilter lema , pode ser demonstrado que cada campo tem um fecho algébrico , e que o fecho algébrico de um campo K é único até um isomorfismo que correções de todos os membros da K . Devido a esta singularidade essencial, muitas vezes falamos do fecho algébrico de K , em vez de um fecho algébrico de K .

O fecho algébrico de um campo K pode ser pensado como a maior extensão algébrica de K . Para ver isto, nota que, se L é qualquer extensão algébrica de K , então o fecho algébrico de L é também um fecho algébrico de K , e assim L é contido dentro do fecho algébrico de K . O fecho algébrico de K é também o corpo algebricamente fechado mais pequenas contendo K , porque se M é qualquer campo algebricamente fechado contendo K , em seguida, os elementos de H que são algébrica sobre K formar um fecho algébrico de K .

O fecho algébrico de um campo K tem o mesmo cardinalidade como K , se K é infinito, e é contavelmente infinito se K é finito.

Exemplos

O teorema fundamental da álgebra afirma que o fechamento algébrico do campo dos números reais é o campo dos números complexos .
O fechamento algébrico do campo dos números racionais é o campo dos números algébricos .
Existem muitos campos algebricamente fechados contáveis dentro dos números complexos e contendo estritamente o campo dos números algébricos; esses são os fechamentos algébricos de extensões transcendentais dos números racionais, por exemplo, o fechamento algébrico de Q (π).
Para um campo finito de ordem de potência primária q , o fechamento algébrico é um campo infinito contável que contém uma cópia do campo de ordem q ⁿ para cada inteiro positivo n (e é de fato a união dessas cópias).

Existência de fechamento algébrico e campos de divisão

Let Ser o conjunto de todos os polinômios irredutíveis mônicos em K [ x ]. Para cada um , introduza novas variáveis onde . Seja R o anel polinomial sobre K gerado por para todos e todos . Escreva ${\ displaystyle S = \ {f _ {\ lambda} | \ lambda \ in \ Lambda \}}$ ${\ displaystyle f _ {\ lambda} \ in S}$ ${\ displaystyle u _ {\ lambda, 1}, \ ldots, u _ {\ lambda, d}}$ ${\ displaystyle d = {\ rm {degree}} (f _ {\ lambda})}$ ${\ displaystyle u _ {\ lambda, i}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ Lambda}$ ${\ displaystyle i \ leq {\ rm {degree}} (f _ {\ lambda})}$

{\ displaystyle f _ {\ lambda} - \ prod _ {i = 1} ^ {d} (x-u _ {\ lambda, i}) = \ sum _ {j = 0} ^ {d-1} r _ {\ lambda, j} \ cdot x ^ {j} \ in R [x]}

com . Deixe que eu seja o ideal em R gerado pelo . Desde I é estritamente menor que R , lema de Zorn implica que existe um ideal maximal M em R que contém I . O campo K ₁ = R / M tem a propriedade de que todo polinômio com coeficientes em K se divide como o produto de e, portanto, tem todas as raízes em K ₁ . Da mesma forma, uma extensão K ₂ de K ₁ pode ser construída, etc. A união de todas essas extensões é o fechamento algébrico de K , porque qualquer polinômio com coeficientes neste novo campo tem seus coeficientes em algum K _n com suficientemente grande n , e então suas raízes estão em K _{n + 1} e, portanto, na própria união. ${\ displaystyle r _ {\ lambda, j} \ in R}$ ${\ displaystyle r _ {\ lambda, j}}$ ${\ displaystyle f _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle x- (u _ {\ lambda, i} + M),}$

Pode demonstrar-se ao longo das mesmas linhas que para qualquer subconjunto S de K [ x ], existe um corpo de decomposição de S sobre K .

Fecho separável

Um fechamento algébrico K ^alg de K contém uma extensão separável única K ^sep de K contendo todas as extensões separáveis (algébricas) de K dentro de K ^alg . Este subextension é chamado de fecho separável de K . Uma vez que uma extensão separável de uma extensão separável é novamente separável, não há extensões separáveis finitas de K ^sep , de grau> 1. Dizendo isso de outra maneira, K está contido em um campo de extensão algébrico fechado de forma separável . É único ( até isomorfismo).

O fechamento separável é o fechamento algébrico completo se e somente se K for um corpo perfeito . Por exemplo, se K é um campo de característica p e se X é transcendental sobre K , é um campo de extensão algébrica não separável. ${\ displaystyle K (X) ({\ sqrt [{p}] {X}}) \ supset K (X)}$

Em geral, o grupo de Galois absoluta de K é o grupo de Galois de K ^setembro sobre K .

Veja também

Referências

Kaplansky, Irving (1972). Campos e anéis . Aulas de matemática em Chicago (segunda edição). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0 . Zbl 1001.16500 .
McCarthy, Paul J. (1991). Extensões algébricas de campos (reimpressão corrigida da 2ª ed.). Nova York: Dover Publications. Zbl 0768.12001 .

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