Subgrupo Borel - Borel subgroup

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Glossário Tabela de grupos de Lie
v t e

Na teoria de grupos algébricos , um subgrupo Borel de um grupo algébrico L é um máximo Zariski fechado e ligado solúvel subgrupo algébrico . Por exemplo, no grupo linear geral GL _n ( matrizes invertíveis nxn ), o subgrupo de matrizes triangulares superiores invertíveis é um subgrupo de Borel.

Para grupos realizados sobre campos algébricamente fechados , existe uma única classe de conjugação de subgrupos de Borel.

Os subgrupos de Borel são um dos dois ingredientes-chave na compreensão da estrutura de grupos algébricos simples (mais geralmente, redutivos ), na teoria de Jacques Tits de grupos com um par (B, N) . Aqui, o grupo B é um subgrupo Borel e N é o normalizador de um toro máximas contidos em B .

A noção foi introduzida por Armand Borel , que desempenhou um papel importante no desenvolvimento da teoria dos grupos algébricos.

Subgrupos parabólicos

Os subgrupos entre um subgrupo B de Borel e o grupo ambiente G são chamados de subgrupos parabólicos . Os subgrupos parabólicos P também são caracterizados, entre os subgrupos algébricos, pela condição de G / P ser uma variedade completa . Trabalhando sobre campos algebricamente fechados, os subgrupos do Borel acabam sendo os subgrupos parabólicos mínimos neste sentido. Assim, B é um subgrupo de Borel quando o espaço homogêneo G / B é uma variedade completa que é "tão grande quanto possível".

Para um grupo algébrico G simples , o conjunto de classes de conjugação de subgrupos parabólicos está em bijeção com o conjunto de todos os subconjuntos de nós do diagrama Dynkin correspondente ; o subgrupo Borel corresponde ao conjunto vazio e o próprio G corresponde ao conjunto de todos os nós. (Em geral, cada nó do diagrama Dynkin determina uma raiz negativa simples e, portanto, um 'grupo raiz' unidimensional de G --- um subconjunto de nós produz um subgrupo parabólico, gerado por B e os grupos de raiz negativa correspondentes. Além disso, qualquer subgrupo parabólico é conjugado a esse subgrupo parabólico.)

Exemplo

Deixe . Um subgrupo de Borel é o conjunto de matrizes triangulares superiores ${\ displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33 } & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

e os subgrupos parabólicos adequados máximos de conter são ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ { 11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & a_ {43} & a_ { 44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21 } & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}}$

Além disso, um toro máximo em é ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ right \}}$

Isso é isomórfico ao toro algébrico . ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {4} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x ^ {\ pm 1}, y ^ {\ pm 1}, z ^ {\ pm 1}, w ^ {\ pm 1}])}$

Álgebra de mentira

Para o caso especial de uma álgebra de Lie com uma subálgebra de Cartan , dada uma ordem de , a subálgebra de Borel é a soma direta de e os espaços de peso de com peso positivo. Uma subálgebra de Lie contendo uma subálgebra de Borel é chamada de álgebra de Lie parabólica . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Veja também

• Grupo hiperbólico
• Subgrupo Cartan

Referências

• Gary Seitz (1991). "Grupos algébricos". Em B. Hartley; et al. (eds.). Grupos Finitos e Localmente Finitos . pp. 45–70.
• J. Humphreys (1972). Grupos algébricos lineares . Nova York: Springer. ISBN   0-387-90108-6 .
• A. Borel (2001). Ensaios na história dos grupos de Lie e grupos algébricos . Providence RI: AMS. ISBN   0-8218-0288-7 .

Específico

links externos

• Popov, VL (2001) [1994], "Parabolic subgroup" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], "Borel subgroup" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press