automorphism - Automorphism


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Em matemática , um automorphism é um isomorfismo de um objeto matemático a si mesmo. Trata-se, em certo sentido, a simetria do objeto, e uma forma de mapear o objeto para si mesmo, preservando toda a sua estrutura. O conjunto de todas as automorphisms de um objeto forma um grupo , chamado o grupo automorphism . É, falando livremente, o grupo de simetria do objeto.

Definição

No contexto da álgebra resumo , um objecto matemático é uma estrutura algébrica , tais como um grupo , o anel ou espaço vectorial . Um automorphism é simplesmente uma bijective homomorphism de um objeto com ele mesmo. (A definição de uma homomorphism depende do tipo de estrutura algébrica; ver, por exemplo, homomorphism grupo , homomorphism anel , e operador linear ).

O morfismo identidade ( mapeamento de identidade ) é chamado o automorfismo trivial em alguns contextos. Respectivamente, outros (não-identidade) automorphisms são chamados automorphisms não triviais .

A definição exata de um automorphism depende do tipo de "objeto matemático" em questão e que, precisamente, constitui um "isomorfismo" do objeto. A configuração mais geral em que estas palavras têm significado é um ramo resumo da matemática chamado teoria da categoria . Categoria teoria lida com objetos abstratos e morphisms entre esses objetos.

Em teoria categoria, um automorphism é um endomorfismo (isto é, um morfismo de um objecto a si mesma) que é também um isomorfismo (no sentido categórico da palavra).

Esta é uma definição muito abstrata uma vez que, na teoria da categoria, morphisms não são necessariamente funções e objetos não são necessariamente sets. Na maioria das configurações concretas, no entanto, os objetos serão conjuntos com alguma estrutura adicional e as morphisms será funções preservando dessa estrutura.

grupo automorphism

Se os automorphisms de um objecto X formam um conjunto (em vez de uma adequada classe ), em seguida, eles formam um grupo sob composição de morphisms . Este grupo é chamado o grupo automorphism de X .

Fecho
Composição de dois automorphisms é outro automorphism.
associatividade
É parte da definição de uma categoria que a composição de morfismos é associativa.
Identidade
A identidade é o morfismo identidade de um objecto a si, o qual é um automorphism.
inverses
Por definição cada isomorfismo tem uma inversa, que é também um isomorfismo, e desde que o inverso também é um endomorphism do mesmo objeto é um automorfismo.

O grupo automorphism de um objecto X em uma categoria C é denotado Aut C ( X ), ou simplesmente Aut ( X ) se a categoria é claro a partir do contexto.

Exemplos

História

Um dos primeiros automorphisms grupo (automorphism de um grupo, e não simplesmente um grupo de automorfismos de pontos) foi dado pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1856, em seu cálculo icosian , onde descobriu uma ordem de dois automorphism, escrevendo:

de modo que é uma nova quinta raiz da unidade, conectado com o ex-quinta raiz por relações de perfeita reciprocidade.

automorphisms interior e exterior

Em algumas categorias-notadamente grupos , anéis e álgebras de Lie -É possível separar automorphisms em dois tipos, chamados de "internas" e "exteriores" automorphisms.

No caso de grupos, os automorphisms interiores são as conjugações por os elementos do próprio grupo. Para cada elemento de um de um grupo L , a conjugao por uma é a operação φ um  : LL dado por φ um ( g ) = aga -1 (ou um -1 ga ; uso varia). Pode-se facilmente verificar que a conjugação de uma é um automorfismo de grupo. Os automorphisms interiores formam um subgrupo normal de Aut ( G ), denotada por Inn ( L ); isso é chamado lema de Goursat .

Os outros automorphisms são chamados automorphisms exteriores . O grupo quociente Aut ( G ) / Inn ( G ) é geralmente indicada por Out ( G ); os elementos não triviais são as classes laterais que contêm os automorphisms exteriores.

A mesma definição aplica em qualquer unital anel ou álgebra onde um é qualquer elemento invertível . Para álgebras de Lie a definição é ligeiramente diferente.

Veja também

Referências

  1. ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 automorphisms". Bases matemáticas de engenharia computacional (Felix Pahl tradução ed.). Springer. p. 376. ISBN  3-540-67995-2 .
  2. ^ Yale, Paul B. (maio de 1966). "Automorfismos dos Números Complexos" (PDF) . Revista Matemática . 39 (3): 135-141. doi : 10,2307 / 2689301 . JSTOR  2.689.301 .
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Álgebra de Clifford e espinores (2ª ed.), Cambridge University Press, pp. 22-23, ISBN  0-521-00551-5
  4. ^ Manual da álgebra , 3 , Elsevier , 2003, p. 453
  5. ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorando respeitando um novo sistema de raízes da unidade" (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446.

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