Forma quadrática - Quadratic form

Em matemática , uma forma quadrática é um polinômio com termos todos de grau dois (" forma " é outro nome para um polinômio homogêneo ). Por exemplo,

${\ displaystyle 4x ^ {2} + 2xy-3y ^ {2}}$

é uma forma quadrática nas variáveis x e y . Os coeficientes geralmente pertencem a um fixo campo K , como os reais ou complexos números e fala-se de uma forma quadrática sobre K . Se , e a forma quadrática assume zero apenas quando todas as variáveis ​​são simultaneamente zero, então é uma forma quadrática definida , caso contrário, é uma forma quadrática isotrópica . ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$

As formas quadráticas ocupam um lugar central em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos números , álgebra linear , teoria dos grupos ( grupo ortogonal ), geometria diferencial ( métrica Riemanniana , segunda forma fundamental ), topologia diferencial ( formas de interseção de quatro variedades ) e Lie teoria (a forma de matar ).

As formas quadráticas não devem ser confundidas com uma equação quadrática , que possui apenas uma variável e inclui termos de grau dois ou menos. Uma forma quadrática é um caso do conceito mais geral de polinômios homogêneos .

Introdução

As formas quadráticas são polinômios quadráticos homogêneos em n variáveis. Nos casos de uma, duas e três variáveis, elas são chamadas de unárias , binárias e ternárias e têm a seguinte forma explícita:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} q (x) & = ax ^ {2} && {\ textrm {(unário)}} \\ q (x, y) & = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} && {\ textrm {(binário)}} \\ q (x, y, z) & = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} + dyz + ez ^ {2} + fxz && {\ textrm {(ternário)}} \ end {alinhado}}}$

onde a , ..., f são os coeficientes .

A notação é frequentemente usada para a forma quadrática ${\ displaystyle \ langle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ rangle}$

${\ displaystyle q (x) = a_ {1} x_ {1} ^ {2} + a_ {2} x_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} ^ {2}. }$

A teoria das formas quadráticas e métodos usados ​​em seu estudo depende em grande medida da natureza dos coeficientes, que podem ser números reais ou complexos , números racionais ou inteiros . Em álgebra linear , geometria analítica e na maioria das aplicações de formas quadráticas, os coeficientes são números reais ou complexos. Na teoria algébrica das formas quadráticas, os coeficientes são elementos de um determinado campo . Na teoria aritmética das formas quadráticas, os coeficientes pertencem a um anel comutativo fixo , freqüentemente os inteiros Z ou os inteiros p -adicos Z _p . As formas quadráticas binárias foram extensivamente estudadas na teoria dos números , em particular, na teoria dos campos quadráticos , frações contínuas e formas modulares . A teoria das formas quadráticas integrais em variáveis n tem aplicações importantes para topologia algébrica .

Usando coordenadas homogêneas , uma forma quadrática diferente de zero em n variáveis ​​define uma quádrica ( n −2) -dimensional no espaço projetivo ( n −1) -dimensional . Esta é uma construção básica em geometria projetiva . Desta forma, pode-se visualizar formas quadráticas reais tridimensionais como seções cônicas . Um exemplo é dado pelo espaço euclidiano tridimensional e o quadrado da norma euclidiana que expressa a distância entre um ponto com coordenadas ( x , y , z ) e a origem:

${\ displaystyle q (x, y, z) = d ((x, y, z), (0,0,0)) ^ {2} = \ | (x, y, z) \ | ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Uma noção estreitamente relacionada com sobretons geométricas é um espaço quadrática , que é um par ( V , q ) , com V um espaço vectorial sobre um campo de K , e q  : V → K uma forma quadrática em V . Veja § Definições abaixo para a definição de uma forma quadrática em um espaço vetorial.

História

O estudo de formas quadráticas particulares, em particular a questão de saber se um dado inteiro pode ser o valor de uma forma quadrática sobre os inteiros, remonta a muitos séculos. Um desses casos é o teorema de Fermat sobre as somas de dois quadrados , que determina quando um inteiro pode ser expresso na forma x ² + y ² , onde x , y são inteiros. Este problema está relacionado ao problema de encontrar triplos pitagóricos , que surgiram no segundo milênio aC

Em 628, o matemático indiano Brahmagupta escreveu Brāhmasphuṭasiddhānta , que inclui, entre muitas outras coisas, um estudo de equações da forma x ² - ny ² = c . Em particular, ele considerou o que agora é chamado de equação de Pell , x ² - ny ² = 1 , e encontrou um método para sua solução. Na Europa, esse problema foi estudado por Brouncker , Euler e Lagrange .

Em 1801, Gauss publicou Disquisitiones Arithmeticae , uma parte importante da qual foi dedicada a uma teoria completa das formas quadráticas binárias sobre os inteiros . Desde então, o conceito foi generalizado e as conexões com campos de números quadráticos , o grupo modular e outras áreas da matemática foram mais elucidadas.

Formas quadráticas reais

Qualquer n x n verdadeira matriz simétrica Um determina uma forma quadrática q _Um em n variáveis pela fórmula

${\ displaystyle q_ {A} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {x_ {i}} {x_ {j}} = \ mathbf {x} ^ {\ mathrm {T}} A \ mathbf {x}.}$

Por outro lado, dada uma forma quadrática em n variáveis, os coeficientes podem ser dispostos em um n × n matriz simétrica.

Uma questão importante na teoria das formas quadráticas é como simplificar uma forma quadrática q por uma mudança linear homogênea de variáveis. Um teorema fundamental devido a Jacobi afirma que uma forma quadrática real q tem uma diagonalização ortogonal .

${\ displaystyle \ lambda _ {1} {\ tilde {x}} _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} {\ tilde {x}} _ {2} ^ {2} + \ cdots + \ lambda _ {n} {\ tilde {x}} _ {n} ^ {2},}$

de modo que a matriz simétrica correspondente é diagonal , e isso é realizado com uma mudança de variáveis ​​dada por uma matriz ortogonal - neste caso, os coeficientes λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n são determinados exclusivamente até uma permutação.

Sempre existe uma mudança de variáveis ​​dada por uma matriz invertível, não necessariamente ortogonal, de forma que os coeficientes λ _i são 0, 1 e −1. A lei da inércia de Sylvester afirma que os números de cada 1 e −1 são invariantes da forma quadrática, no sentido de que qualquer outra diagonalização conterá o mesmo número de cada um. A assinatura da forma quadrática é o triplo ( n ₀ , n ₊ , n _- ) , onde n ₀ é o número de 0s e n _± é o número de ± 1s. A lei da inércia de Sylvester mostra que esta é uma quantidade bem definida ligada à forma quadrática. O caso em que todos λ _i têm o mesmo sinal é especialmente importante: neste caso, a forma quadrática é chamada de definida positiva (todos 1) ou definida negativa (todos −1). Se nenhum dos termos for 0, o formulário é chamado não degenerado ; isso inclui definido positivo, definido negativo eindefinido(uma mistura de 1 e -1); equivalentemente, uma forma quadrática não degenerada é aquela cuja forma simétrica associada é umaforma bilinear não degenerada. Um espaço vetorial real com uma forma quadrática indefinida não degenerada de índice( p , q )(denotandop1s eq−1s) é freqüentemente denotado comoR ^{p , q} particularmente na teoria física doespaço-tempo.

O discriminante de uma forma quadrática , concretamente a classe do determinante de uma matriz representativa em K / ( K ^× ) ² (até quadrados diferentes de zero) também pode ser definido, e para uma forma quadrática real é um invariante mais bruto do que a assinatura , assumindo valores de apenas “positivo, zero ou negativo”. Zero corresponde a degenerado, enquanto para uma forma não degenerada é a paridade do número de coeficientes negativos,${\ displaystyle (-1) ^ {n _ {-}}.}$

Esses resultados são reformulados de forma diferente a seguir.

Seja q uma forma quadrática definida em um espaço vetorial real n- dimensional . Seja A a matriz da forma quadrática q em uma base dada. Isso significa que A é uma matriz simétrica n × n tal que

${\ displaystyle q (v) = x ^ {\ mathrm {T}} Ax,}$

onde x é o vetor coluna das coordenadas de v na base escolhida. Sob uma mudança de base, a coluna x é multiplicada à esquerda por uma matriz invertível S n × n , e a matriz quadrada simétrica A é transformada em outra matriz quadrada simétrica B do mesmo tamanho de acordo com a fórmula

${\ displaystyle A \ to B = S ^ {\ mathrm {T}} AS.}$

Qualquer matriz simétrica A pode ser transformada em uma matriz diagonal

${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} \ end {pmatriz}}}$

por uma escolha adequada de uma matriz ortogonal S , e as entradas diagonais de B são exclusivamente determinadas - este é o teorema de Jacobi. Se S for permitido ser qualquer matriz invertível, então B pode ter apenas 0,1, e −1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo ( n ₀ para 0, n ₊ para 1 e n _- por -1) depende apenas de um . Esta é uma das formulações da lei da inércia de Sylvester e os números n ₊ e n _- são chamados de índices positivos e negativos da inércia . Embora sua definição envolveu uma escolha da base e consideração do correspondente verdadeira simétrica matriz A , a lei de meios de inércia de Sylvester que eles são invariantes de forma quadrática q .

A forma quadrática q é definida positiva (resp., Definida negativa) se q ( v )> 0 (resp., Q ( v ) <0 ) para cada vetor diferente de zero v . Quando q ( v ) assume valores positivos e negativos, q é uma forma quadrática indefinida . Os teoremas de Jacobi e Sylvester mostram que qualquer forma quadrática definida positiva em n variáveis ​​pode ser levada à soma de n quadrados por uma transformação linear invertível adequada: geometricamente, há apenas uma forma quadrática real definida positiva de cada dimensão. Seu grupo de isometria é um grupo ortogonal compacto O ( n ). Isso contrasta com o caso das formas indefinidas, quando o grupo correspondente, o grupo ortogonal indefinido O ( p , q ), é não compacto. Além disso, os grupos de isometria de Q e - Q são os mesmos ( O ( p , q ) ≈ O ( q , p )) , mas as álgebras de Clifford associadas (e, portanto, os grupos de pinos ) são diferentes.

Definições

A forma quadrática sobre um campo K é um mapa de um finito-dimensional K espaço -vector de K tal que para todos ea função é bilinear. ${\ displaystyle q: V \ to K}$${\ displaystyle q (av) = a ^ {2} q (v)}$${\ displaystyle a \ in K, v \ in V}$${\ displaystyle q (u + v) -q (u) -q (v)}$

Mais concretamente, uma forma quadrática n -ary sobre um campo K é um polinômio homogêneo de grau 2 em n variáveis ​​com coeficientes em K :

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {x_ { i}} {x_ {j}}, \ quad a_ {ij} \ em K.}$

Esta fórmula pode ser reescrita utilizando matrizes de: deixar x ser o vector coluna com componentes x ₁ , ..., x _n e A = ( um _ij ) ser o n x n matriz sobre K cujas entradas são os coeficientes de q . Então

${\ displaystyle q (x) = x ^ {\ mathrm {T}} Ax.}$

Um vetor é um vetor nulo se q ( v ) = 0. ${\ displaystyle v = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

Duas formas quadráticas n -ary φ e ψ sobre K são equivalentes se existe uma transformação linear não singular C ∈ GL ( n , K ) tal que

${\ displaystyle \ psi (x) = \ varphi (Cx).}$

Deixe que a característica de K ser diferente de 2. A matriz dos coeficientes Um dos Q pode ser substituído pela matriz simétrica ( A + Um ^t ) / 2 com a mesma forma quadrática, de modo que pode ser assumido que, desde o início Um é simétrica. Além disso, uma matriz simétrica A é determinada exclusivamente pela forma quadrática correspondente. Sob uma equivalência C , a matriz simétrica A de φ e a matriz simétrica B de ψ estão relacionadas da seguinte forma:

${\ displaystyle B = C ^ {\ mathrm {T}} AC.}$

A forma bilinear associada de uma forma quadrática q é definida por

${\ displaystyle b_ {q} (x, y) = {\ tfrac {1} {2}} (q (x + y) -q (x) -q (y)) = x ^ {\ mathrm {T} } Ay = y ^ {\ mathrm {T}} Ax.}$

Assim, b _q é uma forma bilinear simétrica sobre K com matriz Uma . Por outro lado, qualquer forma bilinear simétrica b define uma forma quadrática

${\ displaystyle q (x) = b (x, x),}$

e esses dois processos são inversos um do outro. Como conseqüência, sobre um campo de característica diferente de 2, as teorias das formas bilineares simétricas e das formas quadráticas em n variáveis ​​são essencialmente as mesmas.

Espaços quadráticos

Uma forma quadrática q em n variáveis ​​sobre K induz um mapa do espaço de coordenadas n- dimensional K ⁿ em K :

${\ displaystyle Q (v) = q (v), \ quad v = [v_ {1}, \ ldots, v_ {n}] ^ {\ mathrm {T}} \ in K ^ {n}.}$

O mapa Q é uma função homogénea de grau 2, o que significa que tem a propriedade de que, para toda a um em K e v em V :

${\ displaystyle Q (av) = a ^ {2} Q (v).}$

Quando a característica de K não é 2, o mapa bilinear B  : V × V → K sobre K é definido:

${\ displaystyle B (v, w) = {\ tfrac {1} {2}} (Q (v + w) -Q (v) -Q (w)).}$

Esta forma bilinear B é simétrica. Ou seja, B ( x , y ) = B ( y , x ) para todos os x , y em V , e que determina Q : Q ( x ) = B ( x , x ) para todos os x em V .

Quando a característica de K é 2, de modo que 2 não é uma unidade , ainda é possível usar uma forma quadrática para definir uma forma bilinear simétrica B ′ ( x , y ) = Q ( x + y ) - Q ( x ) - Q ( y ) . No entanto, Q ( x ) não pode mais ser recuperado deste B ′ da mesma maneira, uma vez que B ′ ( x , x ) = 0 para todo x (e, portanto, está alternando). Alternativamente, sempre existe uma forma bilinear B ″ (em geral não única ou simétrica) tal que B ″ ( x , x ) = Q ( x ) .

O par ( V , Q ) que consiste de um espaço vectorial de dimensão finita V sobre K e um mapa quadrática Q a partir de V para K é chamado um espaço quadrática , e B , tal como definido aqui, é a forma bilinear simétrico associado de Q . A noção de um espaço quadrático é uma versão livre de coordenadas da noção de forma quadrática. Às vezes, Q também é chamado de forma quadrática.

Dois espaços quadráticos n- dimensionais ( V , Q ) e ( V ′, Q ′) são isométricos se houver uma transformação linear invertível T  : V → V ′ ( isometria ) tal que

${\ displaystyle Q (v) = Q '(Tv) {\ text {para todos}} v \ in V.}$

As classes de isometria n espaços quadráticas -dimensional mais de K correspondem às classes equivalentes de n formas quadráticas -ary mais de K .

Generalização

Deixe- R ser um anel conmutativo , M ser um R - módulo , e b  : M × M → R ser um R forma -bilinear. Um mapeamento q  : M → R  : v ↦ b ( v , v ) é a forma quadrática associada de b , e B  : M × M → R  : ( u , v ) ↦ q ( u + v ) - q ( u ) - q ( v ) é a forma polar de q .

Uma forma quadrática q  : M → R pode ser caracterizada das seguintes maneiras equivalentes:

• Existe uma forma R -bilinear b  : M × M → R tal que q ( v ) é a forma quadrática associada.
• q ( av ) = um ² q ( v ) para todas uma ∈ R e v ∈ M , e a forma polar de q é R -bilinear.

Conceitos relacionados

Dois elementos de v e w de V são chamados ortogonal se B ( v , w ) = 0 . O núcleo de uma forma bilinear B consiste nos elementos que são ortogonais para todos os elementos de V . Q não é singular se o kernel de sua forma bilinear associada for {0}. Se existe um v diferente de zero em V tal que Q ( v ) = 0 , a forma quadrática Q é isotrópica , caso contrário, é anisotrópica . Essa terminologia também se aplica a vetores e subespaços de um espaço quadrático. Se a restrição de Q a um subespaço U de V for identicamente zero, então U é totalmente singular .

O grupo ortogonal de uma forma quadrática não singular Q é o grupo dos automorfismos lineares de V que preservam Q : isto é, o grupo de isometrias de ( V , Q ) em si mesmo.

Se um espaço quadrático ( A , Q ) tem um produto de forma que A é uma álgebra sobre um campo , e satisfaz

${\ displaystyle \ forall x, y \ in A \ quad Q (xy) = Q (x) Q (y),}$então é uma álgebra de composição .

Equivalência de formas

Cada forma quadrática q em n variáveis ​​sobre um campo de característica diferente de 2 é equivalente a uma forma diagonal

${\ displaystyle q (x) = a_ {1} x_ {1} ^ {2} + a_ {2} x_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} ^ {2}. }$

Essa forma diagonal é freqüentemente denotada pela Classificação de todas as formas quadráticas até que a equivalência possa ser reduzida ao caso de formas diagonais. ${\ displaystyle \ langle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ rangle.}$

Significado geométrico

Usando coordenadas cartesianas em três dimensões, deixe e seja uma matriz simétrica 3 por 3. Então, a natureza geométrica do conjunto de solução da equação depende dos autovalores da matriz . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x, y, z) ^ {\ text {T}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {T}} A \ mathbf {x} + \ mathbf {b} ^ {\ text {T}} \ mathbf {x} = 1}$${\ displaystyle A}$

Se todos os valores próprios de forem diferentes de zero, o conjunto de soluções será um elipsóide ou hiperbolóide . Se todos os autovalores forem positivos, então é um elipsóide; se todos os autovalores forem negativos, então é um elipsóide imaginário (obtemos a equação de um elipsóide, mas com raios imaginários); se alguns valores próprios forem positivos e alguns negativos, então é um hiperbolóide. ${\ displaystyle A}$

Se houver um ou mais valores próprios , a forma depende do correspondente . Se for o correspondente , então o conjunto de solução é um parabolóide (elíptico ou hiperbólico); se for correspondente , então a dimensão degenera e não entra em jogo, e o significado geométrico será determinado por outros autovalores e outros componentes de . Quando o conjunto de solução é um parabolóide, se ele é elíptico ou hiperbólico é determinado pelo fato de todos os outros autovalores diferentes de zero terem o mesmo sinal: se forem, então é elíptico; caso contrário, é hiperbólico. ${\ displaystyle \ lambda _ {i} = 0}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i} \ neq 0}$${\ displaystyle b_ {i} = 0}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbf {b}}$

Formas quadráticas integrais

As formas quadráticas sobre o anel de inteiros são chamadas de formas quadráticas integrais , enquanto os módulos correspondentes são reticulados quadráticos (às vezes, simplesmente reticulados ). Eles desempenham um papel importante na teoria e topologia dos números .

Uma forma quadrática integral tem coeficientes inteiros, como x ² + xy + y ² ; equivalentemente, dada uma rede Λ em um espaço vetorial V (sobre um campo com característica 0, como Q ou R ), uma forma quadrática Q é integral em relação a Λ se e somente se ela tiver valor inteiro em Λ, significando Q ( x , y ) ∈ Z se x , y ∈ Λ .

Este é o uso atual do termo; no passado, às vezes era usado de maneira diferente, conforme detalhado a seguir.

Uso histórico

Historicamente, houve alguma confusão e controvérsia sobre se a noção de forma quadrática integral deveria significar:

dois em

a forma quadrática associada a uma matriz simétrica com coeficientes inteiros

dois fora

um polinômio com coeficientes inteiros (portanto, a matriz simétrica associada pode ter coeficientes de meio inteiro fora da diagonal)

Esse debate foi devido à confusão de formas quadráticas (representadas por polinômios) e formas bilineares simétricas (representadas por matrizes), e "dois fora" agora é a convenção aceita; "twos in" é, em vez disso, a teoria das formas bilineares simétricas integrais (matrizes simétricas integrais).

Em "dois em", as formas quadráticas binárias são da forma , representadas pela matriz simétrica ${\ displaystyle ax ^ {2} + 2bxy + cy ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & c \ end {pmatrix}}}$

esta é a convenção que Gauss usa em Disquisitiones Arithmeticae .

Em "dois fora", as formas quadráticas binárias são da forma , representada pela matriz simétrica ${\ displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b / 2 \\ b / 2 & c \ end {pmatrix}}.}$

Vários pontos de vista significam que dois out foi adotado como a convenção padrão. Isso inclui:

• melhor compreensão da teoria 2-ádica das formas quadráticas, a fonte 'local' da dificuldade;
• o ponto de vista da rede , geralmente adotado pelos especialistas em aritmética das formas quadráticas durante os anos 1950;
• as necessidades reais da teoria da forma quadrática integral em topologia para a teoria da interseção ;
• o grupo de Lie e os aspectos do grupo algébrico .

Formas quadráticas universais

Uma forma quadrática integral, cuja imagem consiste em todos os inteiros positivos, às vezes é chamada de universal . O teorema dos quatro quadrados de Lagrange mostra que isso é universal. Ramanujan generalizou isso para e encontrou 54 multisets { a , b , c , d } que podem gerar todos os inteiros positivos, a saber, ${\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$${\ displaystyle aw ^ {2} + bx ^ {2} + cy ^ {2} + dz ^ {2}}$

{1, 1, 1, d }, 1 ≤ d ≤ 7

{1, 1, 2, d }, 2 ≤ d ≤ 14

{1, 1, 3, d }, 3 ≤ d ≤ 6

{1, 2, 2, d }, 2 ≤ d ≤ 7

{1, 2, 3, d }, 3 ≤ d ≤ 10

{1, 2, 4, d }, 4 ≤ d ≤ 14

{1, 2, 5, d }, 6 ≤ d ≤ 10

Existem também formas cuja imagem consiste em todos, exceto um dos inteiros positivos. Por exemplo, {1,2,5,5} tem 15 como exceção. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaram completamente as formas quadráticas integrais universais: se todos os coeficientes são inteiros, então ele representa todos os inteiros positivos se e somente se representa todos os inteiros até 290; se tiver uma matriz integral, representará todos os inteiros positivos se, e somente se, representar todos os inteiros até 15.

Veja também

• forma ε -quadrática
• Forma cúbica
• Discriminante de forma quadrática
• Teorema de Hasse-Minkowski
• Quádruplo
• Forma quadrática ternária de Ramanujan
• Classe quadrada
• Grupo Witt
• Teorema de Witt

Notas

Referências

• O'Meara, OT (2000), Introdução às Formas Quadráticas , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
• Conway, John Horton ; Fung, Francis YC (1997), The Sensual (Quadratic) Form , Carus Mathematical Monographs, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-030-5
• Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra Linear e Geometria . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Leitura adicional

• Cassels, JWS (1978). Formas quadráticas racionais . Monografias da London Mathematical Society. 13 . Academic Press . ISBN 0-12-163260-1. Zbl  0395.10029 .
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas quadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 106 . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introdução às formas quadráticas sobre campos . Estudos de Pós-Graduação em Matemática . 67 . American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929 . Zbl  1068.11023 .
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineares simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016 .
• O'Meara, OT (1973). Introdução às formas quadráticas . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 117 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-66564-1. Zbl  0259.10018 .
• Pfister, Albrecht (1995). Formas quadráticas com aplicações para geometria algébrica e topologia . Série de notas de aula da London Mathematical Society. 217 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-46755-1. Zbl  0847.11014 .

links externos

• AVMalyshev (2001) [1994], "Quadratic form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• AVMalyshev (2001) [1994], "Binary quadratic form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press