Bijeção - Bijection

Uma função bijetiva, f : XY , onde o conjunto X é {1, 2, 3, 4} e o conjunto Y é {A, B, C, D}. Por exemplo, f (1) = D.

Em matemática , uma bijeção , função bijetiva , correspondência um a um ou função invertível , é uma função entre os elementos de dois conjuntos , em que cada elemento de um conjunto é emparelhado com exatamente um elemento do outro conjunto, e cada elemento do outro conjunto é emparelhado com exatamente um elemento do primeiro conjunto. Não existem elementos desemparelhados. Em termos matemáticos, uma função bijective f : XY é um de um-para-um (injetivo) e (sobrejetivo) para mapeamento de um conjunto de X para um conjunto Y . O termo correspondência de um para um não deve ser confundido com função de um para um (uma função injetiva ; veja as figuras).

Um bijeç~ao do conjunto X para o conjunto Y tem uma função inversa de Y para X . Se X e Y são conjuntos finitos , então a existência de uma bijeção significa que eles têm o mesmo número de elementos. Para conjuntos infinitos , a imagem é mais complicada, levando ao conceito de número cardinal - uma maneira de distinguir os vários tamanhos de conjuntos infinitos.

Uma função bijetiva de um conjunto para si mesma também é chamada de permutação , e o conjunto de todas as permutações de um conjunto forma o grupo simétrico .

Funções bijetivas são essenciais para muitas áreas da matemática, incluindo as definições de isomorfismo , homeomorfismo , difeomorfismo , grupo de permutação e mapa projetivo .

Definição

Para que um emparelhamento entre X e Y (onde Y não precisa ser diferente de X ) seja uma bijeção, quatro propriedades devem ser válidas:

  1. cada elemento de X deve ser emparelhado com pelo menos um elemento de Y ,
  2. nenhum elemento de X pode ser emparelhado com mais de um elemento de Y ,
  3. cada elemento de Y deve ser emparelhado com pelo menos um elemento de X , e
  4. nenhum elemento de Y pode ser emparelhado com mais do que um elemento de X .

Propriedades satisfazendo (1) e (2) significa que um emparelhamento é uma função com domínio X . É mais comum ver propriedades (1) e (2) por escrito como uma única instrução: Cada elemento de X está emparelhado com exactamente um elemento de Y . As funções que satisfazem a propriedade (3) são ditas " sobre Y " e são chamadas de sobreposições (ou funções sobrejetivas ). As funções que satisfazem a propriedade (4) são chamadas de " funções um-para-um " e são chamadas de injeções (ou funções injetivas ). Com essa terminologia, uma bijeção é uma função que é tanto uma sobreposição quanto uma injeção ou, usando outras palavras, uma bijeção é uma função que é tanto "um-para-um" quanto "para".

Bijeções às vezes são indicados por um rightwards de duas cabeças seta com cauda ( U + 2916 para a direita duas cabeças SETA com a cauda ), como em f  : XY . Este símbolo é uma combinação dos rightwards de duas cabeças seta ( U + 21A0 para a direita duas setas DIRIGIDO ), por vezes utilizada para surjections denotam, e os rightwards seta com um rabo farpado ( U + 21A3 Seta para a direita com a cauda ), às vezes usado para denotar injeções.

Exemplos

Seleção de rebatidas de um time de beisebol ou críquete

Considere a formação de rebatidas de um time de beisebol ou críquete (ou qualquer lista de todos os jogadores de qualquer equipe esportiva em que cada jogador ocupa um lugar específico em uma formação). O conjunto X serão os jogadores da equipe (de tamanho nove no caso do beisebol) e o conjunto Y serão as posições na ordem de rebatidas (1ª, 2ª, 3ª, etc.). O "emparelhamento" é dado pelo qual jogador está em qual posição nesta ordem. A propriedade (1) é satisfeita porque cada jogador está em algum lugar da lista. A propriedade (2) é satisfeita porque nenhum jogador rebate em duas (ou mais) posições na ordem. A propriedade (3) diz que para cada posição na ordem, há algum jogador rebatendo naquela posição e a propriedade (4) afirma que dois ou mais jogadores nunca estão rebatendo na mesma posição na lista.

Assentos e alunos de uma sala de aula

Em uma sala de aula, há um certo número de assentos. Um grupo de alunos entra na sala e o instrutor pede que se sentem. Após uma rápida olhada ao redor da sala, o instrutor declara que existe uma bijeção entre o conjunto de alunos e o conjunto de cadeiras, onde cada aluno é pareado com a cadeira em que estão sentados. O que o instrutor observou para chegar a esta conclusão foi isso:

  1. Todos os alunos estavam sentados (não havia ninguém de pé),
  2. Nenhum aluno estava em mais de um assento,
  3. Cada assento tinha alguém sentado lá (não havia lugares vazios), e
  4. Nenhum assento tinha mais de um aluno.

O instrutor concluiu que havia tantos assentos quanto alunos, sem ter que contar nenhum dos conjuntos.

Mais exemplos matemáticos e alguns não exemplos

  • Para qualquer conjunto X , a função de identidade 1 X : XX , 1 X ( x ) = x é bijetiva.
  • A função f : RR , f ( x ) = 2 x + 1 é bijetiva, pois para cada y existe um único x = ( y - 1) / 2 tal que f ( x ) = y . Mais geralmente, qualquer função linear sobre os reais, f : RR , f ( x ) = ax + b (onde a é diferente de zero) é uma bijeção. Cada número real y é obtido (ou emparelhado) com o número real x = ( y - b ) / a .
  • A função f : R → (−π / 2, π / 2), dada por f ( x ) = arctan ( x ) é bijetiva, uma vez que cada número real x é pareado com exatamente um ângulo y no intervalo (−π / 2, π / 2) de modo que tan ( y ) = x (ou seja, y = arctan ( x )). Se o codomínio (−π / 2, π / 2) fosse aumentado para incluir um múltiplo inteiro de π / 2, então esta função não estaria mais em (sobrejetivo), uma vez que não há nenhum número real que poderia ser emparelhado com o múltiplo de π / 2 por esta função arctan.
  • A função exponencial , g : RR , g ( x ) = e x , não é bijetiva: por exemplo, não há x em R tal que g ( x ) = −1, mostrando que g não é sobre (sobrejetivo) . Porém, se o codomínio for restrito aos números reais positivos , então g seria bijetivo; seu inverso (veja abaixo) é a função de logaritmo natural ln.
  • A função h : RR + , h ( x ) = x 2 não é bijetiva: por exemplo, h (−1) = h (1) = 1, mostrando que h não é um-para-um (injetivo). Porém, se o domínio for restrito a , h seria bijetivo; seu inverso é a função de raiz quadrada positiva.
  • Por Cantor-Bernstein-Schroder teorema , dadas quaisquer dois conjuntos de X e Y , e duas funções injetivas f : X → Y e g : Y → X , existe uma função bijective h : X → Y .

Inversos

Uma bijeção f com domínio X (indicada por f : X → Y na notação funcional ) também define uma relação inversa começando em Y e indo para X (girando as setas). O processo de "virar as setas em torno" para uma função não arbitrário, de um modo geral , produzir uma função, mas as propriedades (3) e (4) de um digamos bijeç~ao que esta relação inversa é uma função com domínio Y . Além disso, as propriedades (1) e (2) então dizem que essa função inversa é uma sobreposição e uma injeção, ou seja, a função inversa existe e também é uma bijeção. As funções que possuem funções inversas são consideradas invertíveis . Uma função é invertível se e somente se for uma bijeção.

Declarada em notação matemática concisa, uma função f : X → Y é bijetiva se e somente se satisfizer a condição

para cada y em Y existe um único x em X com y = f ( x ).

Continuando com o exemplo da formação de rebatidas de beisebol, a função que está sendo definida toma como entrada o nome de um dos jogadores e produz a posição desse jogador na ordem de rebatidas. Uma vez que esta função é uma bijeção, tem uma função inversa que toma como entrada uma posição na ordem de rebatidas e dá saída ao jogador que estará rebatendo nessa posição.

Composição

A composição de dois bijeções f : X → Y e g : Y → Z é um bijeç~ao, cuja inversa é dada por é .

Uma bijeção composta por uma injeção (esquerda) e uma sobrecorrente (direita).

Por outro lado, se a composição de duas funções é bijective, só resulta que f é injetivo e g seja sobrejetivo .

Cardinalidade

Se X e Y são conjuntos finitos , então existe uma bijeção entre os dois conjuntos X e Y se e somente se X e Y têm o mesmo número de elementos. De fato, na teoria dos conjuntos axiomáticos , isso é tomado como a definição de "mesmo número de elementos" ( equinumerosidade ), e generalizar essa definição para conjuntos infinitos leva ao conceito de número cardinal , uma maneira de distinguir os vários tamanhos de conjuntos infinitos.

Propriedades

  • Uma função f : RR é bijetiva se e somente se seu gráfico encontra todas as linhas horizontais e verticais exatamente uma vez.
  • Se X for um conjunto, então as funções bijetivas de X para si mesmas, juntamente com a operação de composição funcional (∘), formam um grupo , o grupo simétrico de X , que é denotado de várias maneiras por S ( X ), S X ou X ! ( X fatorial ).
  • Bijeções preservam cardinalidades de conjuntos: para um subconjunto A do domínio com cardinalidade | A | e subconjunto B do codomínio com cardinalidade | B |, um tem as seguintes igualdades:
    | f ( A ) | = | A | e | f −1 ( B ) | = | B |.
  • Se X e Y são conjuntos finitos com a mesma cardinalidade, e f : X → Y , então os seguintes são equivalentes:
    1. f é uma bijeção.
    2. f é uma superação .
    3. f é uma injeção .
  • Para um conjunto finito S , existe um bijeç~ao entre o conjunto de possíveis ordenamentos totais dos elementos e o conjunto de bijeções de S para S . Ou seja, o número de permutações de elementos de S é igual ao número de ordenações totais desse conjunto - a saber, n !

Teoria da categoria

Bijeções são precisamente os isomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos e funções de conjunto. Porém, as bijeções nem sempre são os isomorfismos para categorias mais complexas. Por exemplo, na categoria Grp de grupos , os morfismos devem ser homomorfismos uma vez que devem preservar a estrutura do grupo, então os isomorfismos são isomorfismos de grupo que são homomorfismos bijetivos.

Generalização para funções parciais

A noção de correspondência um a um se generaliza para funções parciais , onde são chamadas de bjeções parciais , embora as bjeções parciais só sejam necessárias para serem injetivas. A razão para esse relaxamento é que uma função parcial (adequada) já está indefinida para uma parte de seu domínio; assim, não há razão convincente para restringir seu inverso a uma função total , isto é, definido em todo o seu domínio. O conjunto de todas as bijeções parciais em um determinado conjunto de base é denominado semigrupo simétrico inverso .

Outra maneira de definir a mesma noção é dizer que uma bijeção parcial de A para B é qualquer relação R (que acaba por ser uma função parcial) com a propriedade de que R é o gráfico de uma bijeção f : A ′B ′ , onde a ' é um subconjunto de um e B' é um subconjunto de B .

Quando a bijeção parcial está no mesmo conjunto, às vezes é chamada de transformação parcial um-para-um . Um exemplo é a transformação de Möbius simplesmente definida no plano complexo, em vez de sua conclusão no plano complexo estendido.

Veja também

Notas

Referências

Este tópico é um conceito básico da teoria dos conjuntos e pode ser encontrado em qualquer texto que inclua uma introdução à teoria dos conjuntos. Quase todos os textos que tratam de uma introdução à escrita de provas incluirão uma seção sobre a teoria dos conjuntos, portanto, o tópico pode ser encontrado em qualquer um destes:

  • Wolf (1998). Prova, lógica e conjectura: uma caixa de ferramentas do matemático . Freeman.
  • Sundstrom (2003). Raciocínio Matemático: Escrita e Prova . Prentice-Hall.
  • Smith; Eggen; St.Andre (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6ª Ed.) . Thomson (Brooks / Cole).
  • Schumacher (1996). Capítulo Zero: Noções Fundamentais de Matemática Abstrata . Addison-Wesley.
  • O'Leary (2003). A Estrutura da Prova: Com Lógica e Teoria dos Conjuntos . Prentice-Hall.
  • Morash. Bridge to Abstract Mathematics . Casa aleatória.
  • Maddox (2002). Pensamento Matemático e Escrita . Harcourt / Academic Press.
  • Lay (2001). Análise com introdução à prova . Prentice Hall.
  • Gilbert; Vanstone (2005). Uma introdução ao pensamento matemático . Pearson Prentice-Hall.
  • Fletcher; Patty. Fundamentos da Matemática Superior . PWS-Kent.
  • Iglewicz; Stoyle. Uma introdução ao raciocínio matemático . MacMillan.
  • Devlin, Keith (2004). Conjuntos, funções e lógica: uma introdução à matemática abstrata . Chapman & Hall / CRC Press.
  • D'Angelo; West (2000). Pensamento matemático: solução de problemas e provas . Prentice Hall.
  • Cupillari . As porcas e parafusos das provas . Wadsworth.
  • Ligação. Introdução à Matemática Abstrata . Brooks / Cole.
  • Barnier; Feldman (2000). Introdução à Matemática Avançada . Prentice Hall.
  • Cinza. A Primer of Abstract Mathematics . MAA.

links externos