Subobjeto - Subobject
Na teoria das categorias , um ramo da matemática , um subobjeto é, grosso modo, um objeto que fica dentro de outro objeto da mesma categoria . A noção é uma generalização de conceitos como subconjuntos da teoria dos conjuntos , subgrupos da teoria dos grupos e subespaços da topologia . Visto que a estrutura detalhada dos objetos é imaterial na teoria das categorias, a definição de subobjeto se baseia em um morfismo que descreve como um objeto fica dentro de outro, em vez de depender do uso de elementos.
O conceito dual para um subobjeto é um objeto quociente . Este generaliza conceitos como conjuntos quociente , grupo quociente , espaços quociente , gráficos quociente , etc.
Definições
Em detalhe, deixe ser um objeto de alguma categoria. Dados dois monomorfismos
com codomain , escrevemos se fatores através - isto é, se existe tal . A relação binária definida por
é uma relação de equivalência nos monomorfismos com codomínio , e as classes de equivalência correspondentes desses monomorfismos são os subobjetos de . (Equivalentemente, pode-se definir a relação de equivalência se e somente se existe um isomorfismo com .)
A relação ≤ induz uma ordem parcial na coleção de subobjetos de .
A coleção de subobjetos de um objeto pode, de fato, ser uma classe adequada ; isso significa que a discussão dada é um tanto vaga. Se a coleção de subobjetos de cada objeto é um conjunto , a categoria é chamada bem alimentada ou, raramente, localmente pequena (isso se choca com um uso diferente do termo localmente pequeno , ou seja, que há um conjunto de morfismos entre quaisquer dois objetos )
Para obter o conceito dual de objeto quociente , substitua "monomorfismo" por " epimorfismo " acima e as setas reversas. Um objeto quociente de A é, então, uma classe de equivalência de epimorfismos com o domínio A.
Exemplos
- Em Set , a categoria de conjuntos , um sub-objeto de A corresponde a um subconjunto B de A , ou melhor, a coleção de todos os mapas a partir de conjuntos equipotentes a B com imagem exatamente B . A ordem parcial do subobjeto de um conjunto em Conjunto é apenas sua estrutura de subconjunto .
- Em Grp , a categoria dos grupos , os sub-objectos de um correspondem aos subgrupos de Uma .
- Dada uma classe parcialmente ordenada P = ( P , ≤), podemos formar uma categoria com os elementos de P como objetos e uma única seta de p para q sse p ≤ q . Se P tiver um elemento maior, a ordem parcial do subobjeto desse elemento maior será o próprio P. Isso ocorre em parte porque todas as flechas em tal categoria serão monomorfismos.
- Um subobjeto de um objeto terminal é chamado de objeto subterminal .
Veja também
Notas
Referências
- Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics , 5 (2ª ed.), New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8 , Zbl 0906.18001 CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundações categóricas. Tópicos especiais em ordem, topologia, álgebra e teoria de feixe . Enciclopédia de matemática e suas aplicações. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .