Ideal (teoria do anel) - Ideal (ring theory)

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v t e

Na teoria dos anéis , um ramo da álgebra abstrata , o ideal de um anel é um subconjunto especial de seus elementos. Os ideais generalizam certos subconjuntos de inteiros , como os números pares ou os múltiplos de 3. A adição e subtração de números pares preserva a uniformidade, e a multiplicação de um número par por qualquer outro inteiro resulta em outro número par; essas propriedades de fechamento e absorção são as propriedades definidoras de um ideal. Um ideal pode ser usado para construir um anel quociente de uma maneira semelhante a como, na teoria dos grupos , um subgrupo normal pode ser usado para construir um grupo quociente .

Entre os inteiros, os ideais correspondem um a um com os inteiros não negativos : neste anel, todo ideal é um ideal principal que consiste nos múltiplos de um único número não negativo. No entanto, em outros anéis, os ideais podem não corresponder diretamente aos elementos do anel, e certas propriedades dos inteiros, quando generalizadas para os anéis, se ligam mais naturalmente aos ideais do que aos elementos do anel. Por exemplo, os ideais primos de um anel são análogos aos números primos , e o teorema do resto chinês pode ser generalizado para ideais. Existe uma versão de fatoração única para os ideais de um domínio de Dedekind (um tipo de anel importante na teoria dos números ).

O conceito relacionado, mas distinto, de um ideal na teoria da ordem é derivado da noção de ideal na teoria dos anéis. Um ideal fracionário é uma generalização de um ideal, e os ideais usuais às vezes são chamados de ideais integrais para maior clareza.

História

Ernst Kummer inventou o conceito de números ideais para servir como os fatores "ausentes" em anéis numéricos nos quais a fatoração única falha; aqui, a palavra "ideal" tem o sentido de existir apenas na imaginação, em analogia com objetos "ideais" na geometria, como pontos no infinito. Em 1876, Richard Dedekind substituído conceito indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que ele chamou de ideais, na terceira edição de Dirichlet livro de Vorlesungen über Zahlentheorie , a que Dedekind tinha adicionado muitos suplementos. Mais tarde, a noção foi estendida além dos anéis numéricos para o estabelecimento de anéis polinomiais e outros anéis comutativos por David Hilbert e especialmente Emmy Noether .

Definições e motivação

Para um anel arbitrário , deixe ser seu grupo aditivo . Um subconjunto é chamado de ideal de esquerda de se for um subgrupo aditivo de que "absorve a multiplicação da esquerda por elementos de "; ou seja, é um ideal de esquerda se satisfizer as duas condições a seguir: ${\ displaystyle (R, +, \ cdot)}$${\ displaystyle (R, +)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$

1. ${\ displaystyle (I, +)}$é um subgrupo de${\ displaystyle (R, +),}$
2. Para todos e cada um , o produto está na moda .${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle x \ in I}$${\ displaystyle rx}$${\ displaystyle I}$

Um ideal correto é definido com a condição " rx ∈ I " substituída por " xr ∈ I " . Um ideal bilateral é um ideal esquerdo que também é um ideal direito, e às vezes é simplesmente chamado de ideal. Na linguagem dos módulos , as definições significa que a esquerda (. Resp direita, frente e verso) ideal de R é precisamente a esquerda (resp direita, bi-.) R - submodule de R quando R é visto como um R -module . Quando R é um anel comutativo, as definições de ideal esquerdo, direito e bilateral coincidem, e o termo ideal é usado sozinho.

Para entender o conceito de um ideal, considere como os ideais surgem na construção de anéis de "elementos módulo". Para concretude, vamos olhar para o anel ℤ _n do módulo de inteiros de um dado inteiro n ∈ ℤ (note que ℤ é um anel comutativo). A principal observação aqui é que obtemos ℤ _n pegando a linha inteira ℤ e envolvendo-a em torno de si mesma, de modo que vários inteiros sejam identificados. Ao fazer isso, devemos satisfazer dois requisitos: 1) n deve ser identificado com 0, pois n é congruente com 0 módulo n , e 2) a estrutura resultante deve ser novamente um anel. O segundo requisito nos força a fazer identificações adicionais (isto é, ele determina a maneira precisa em que devemos envolver ℤ em torno de si mesmo). A noção de um ideal surge quando fazemos a pergunta:

Qual é o conjunto exato de inteiros que somos forçados a identificar com 0?

A resposta é, sem surpresa, o conjunto n ℤ = { nm | m ∈ ℤ} de todos os inteiros congruentes a 0 módulo n . Ou seja, devemos envolver ℤ em torno de si mesmo infinitamente muitas vezes para que os inteiros ..., n ⋅ (−2) , n ⋅ (−1) , n ⋅ (+1) , n ⋅ (+2) , .. . todos se alinharão com 0. Se olharmos para quais propriedades esse conjunto deve satisfazer a fim de garantir que ℤ _n seja um anel, então chegaremos à definição de um ideal. De fato, pode-se verificar diretamente que n ℤ é um ideal de ℤ.

Observação. Identificações com elementos diferentes de 0 também precisam ser feitas. Por exemplo, os elementos em 1 + n ℤ devem ser identificados com 1, os elementos em 2 + n ℤ devem ser identificados com 2 e assim por diante. Esses, no entanto, são exclusivamente determinados por n ℤ uma vez que ℤ é um grupo aditivo.

Podemos fazer uma construção semelhante em qualquer anel comutativo R : começar com um x ∈ R arbitrário , e então identificar com 0 todos os elementos do xR ideal = { xr  : r ∈ R }. Acontece que o ideal xR é o menor ideal que contém x , denominado ideal gerado por x . De maneira mais geral, podemos começar com um subconjunto arbitrário S ⊆ R , e então identificar com 0 todos os elementos no ideal gerado por S : o menor ideal ( S ) tal que S ⊆ ( S ) . O anel que obtemos após a identificação depende apenas do ideal ( S ) e não do conjunto S com o qual começamos. Ou seja, se ( S ) = ( T ) , então os anéis resultantes serão os mesmos.

Portanto, um ideal I de um anel conmutativos R capturas canonicamente as informações necessárias para obter o anel de elementos de R módulo um dado subconjunto S ⊆ R . Os elementos de I , por definição, são aqueles congruentes a zero, ou seja, identificados com zero no anel resultante. O anel resultante é chamado o quociente de R pelo eu e é denotado R / I . Intuitivamente, a definição de um ideal postula duas condições naturais necessárias para que I contenha todos os elementos designados como "zeros" por R / I :

1. I é um subgrupo aditivo de R : a zero, 0 de R é um "zero" 0 ∈ I , e, se x ₁ ∈ I e x ₂ ∈ I são "zeros", então X ₁ - X ₂ ∈ I é um "zero " também.
2. Qualquer r ∈ R multiplicado por um "zero" x ∈ I é um "zero" rx ∈ eu .

Verifica-se que as condições acima mencionadas, também são suficientes para que a conter todos os "zeros" necessárias: não há outros elementos que têm de ser designado como "zero", a fim de forma R / I . (Na verdade, nenhum outro elemento deve ser designado como "zero" se quisermos fazer o menor número de identificações.)

Observação. A construção acima ainda funciona usando ideais de dois lados, mesmo se R não for necessariamente comutativo.

Exemplos e propriedades

(Para fins de brevidade, alguns resultados são declarados apenas para ideais à esquerda, mas geralmente também são verdadeiros para ideais à direita com alterações de notação apropriadas.)

• Em um anel R , o próprio conjunto R forma um ideal bilateral de R denominado ideal de unidade . Freqüentemente, também é denotado por, uma vez que é precisamente o ideal bilateral gerado (veja abaixo) pela unidade . Além disso, o conjunto que consiste apenas na identidade aditiva 0 _R forma um ideal bilateral denominado ideal zero e é denotado por . Todo ideal (esquerdo, direito ou bilateral) contém o ideal zero e está contido no ideal unitário.${\ displaystyle (1)}$${\ displaystyle 1_ {R}}$${\ displaystyle \ {0_ {R} \}}$${\ displaystyle (0)}$
• Um ideal (esquerdo, direito ou bilateral) que não é o ideal da unidade é chamado de ideal adequado (pois é um subconjunto adequado ). Nota: um ideal de esquerda é próprio se e somente se não contém um elemento de unidade, já que se é um elemento de unidade, então para todos . Normalmente, existem muitos ideais adequados. Na verdade, se R é um campo inclinado , então são seus únicos ideais e inversamente: isto é, um anel diferente de zero R é um campo inclinado se forem os únicos ideais à esquerda (ou à direita). (Prova: se for um elemento diferente de zero, então o ideal esquerdo principal (veja abaixo) é diferente de zero e, portanto , para algum diferente de zero . Da mesma forma, para algum diferente de zero . Então .)${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle u \ in {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle r = (ru ^ {- 1}) u \ in {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle (0), (1)}$${\ displaystyle (0), (1)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Rx}$${\ displaystyle Rx = (1)}$${\ displaystyle yx = 1}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle zy = 1}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z = z (yx) = (zy) x = x}$
• Os inteiros pares formam um ideal no anel de todos os inteiros; geralmente é denotado por . Isso ocorre porque a soma de qualquer número par é par, e o produto de qualquer número inteiro com um número par também é par. Da mesma forma, o conjunto de todos os inteiros divisíveis por um inteiro fixo n é um denotado ideal .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n \ mathbb {Z}}$
• O conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais divisíveis pelo polinômio x ² + 1 é um ideal no anel de todos os polinômios.
• O conjunto de todos os n -by- n matrizes cuja última linha é de zero forma um ideal no anel de todos n -by- n matrizes. Não é um ideal de esquerda. O conjunto de todos os n -by- n matrizes cujos última coluna é de zero forma uma ideais esquerda, mas não um ideal direito.
• O anel de todas as funções contínuas f a partir de sob multiplicação pontual contém o ideal de todas as funções contínuas f tal que f (1) = 0. Um outro ideal em é dada por aquelas funções que desaparecem para grandes argumentos suficientes, isto é, aquelas funções continuas de f para em que existe um número L > 0 tal que f ( x ) = 0 sempre que | x | > L .${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}$
• Um anel é chamado de anel simples se for diferente de zero e não tiver outros ideais bilaterais além de . Assim, um skew-field é simples e um anel comutativo simples é um campo. O anel da matriz sobre um campo inclinado é um anel simples.${\ displaystyle (0), (1)}$
• Se for um homomorfismo em anel , então o kernel é um ideal bilateral de . Por definição, e, portanto, se não for o anel zero (então ), então é um ideal adequado. De maneira mais geral, para cada ideal esquerdo I de S , a pré-imagem é um ideal esquerdo. Se I é um ideal de esquerda de R , então é um ideal de esquerda do subanel de S : a menos que f seja sobrejetivo, não precisa ser um ideal de S ; veja também # Extensão e contração de um ideal abaixo.${\ displaystyle f: R \ to S}$${\ displaystyle \ ker (f) = f ^ {- 1} (0_ {S})}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 1_ {S} \ neq 0_ {S}}$${\ displaystyle \ ker (f)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (I)}$${\ displaystyle f (I)}$${\ displaystyle f (R)}$${\ displaystyle f (I)}$
• Correspondência ideal : Dado um homomorfismo de anel sobrejetivo , há uma correspondência de preservação de ordem bijetiva entre os ideais da esquerda (resp. Direito, bilateral) de conter o núcleo e os ideais da esquerda (resp. Direito, bilateral) de : a correspondência é dada por e a pré-imagem . Além disso, para anéis comutativos, essa correspondência bijetiva se restringe a ideais primos, ideais máximos e ideais radicais (veja a seção Tipos de ideais para as definições desses ideais).${\ displaystyle f: R \ to S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I \ mapsto f (I)}$${\ displaystyle J \ mapsto f ^ {- 1} (J)}$
• (Para aqueles que conhecem módulos) Se M é um módulo R esquerdo e um subconjunto, então o aniquilador de S é um ideal esquerdo. Dados ideais de um anel comutativo R , o R- aniquilador de é um ideal de R denominado quociente ideal de por e é denotado por ; é uma instância de idealizador em álgebra comutativa.${\ displaystyle S \ subset M}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {R} (S) = \ {r \ in R \ mid rs = 0, s \ in S \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}}) / {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle ({\ mathfrak {a}}: {\ mathfrak {b}})}$
• Let Ser uma cadeia ascendente de ideais de esquerda em um anel R ; ou seja, é um conjunto totalmente ordenado e para cada um . Em seguida, a união é um ideal esquerdo de R . (Nota: este fato permanece verdadeiro mesmo se R não tiver a unidade 1.)${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}, i \ in S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i} \ subset {\ mathfrak {a}} _ {j}}$${\ displaystyle i <j}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {i \ in S} {\ mathfrak {a}} _ {i}}$
• O facto acima, em conjunto com o lema de Zorn demonstra o seguinte: Se é um subconjunto possivelmente vazia e é um ideal esquerda que é separado a partir de E , então há um ideal que é máxima entre os ideais contêm e separado a partir de E . (Novamente, isso ainda é válido se o anel R carece da unidade 1.) Quando , tomando e , em particular, existe um ideal de esquerda que é máximo entre os ideais de esquerda adequados (freqüentemente chamado simplesmente de ideal de esquerda máximo); veja o teorema de Krull para mais informações.${\ displaystyle E \ subset R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0} \ subset R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$${\ displaystyle R \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0} = (0)}$${\ displaystyle E = \ {1 \}}$
• Uma união arbitrária de ideais não precisa ser um ideal, mas o seguinte ainda é verdadeiro: dado um subconjunto possivelmente vazio X de R , existe o menor ideal esquerdo contendo X , chamado de ideal esquerdo gerado por X e é denotado por . Tal ideal existe, uma vez que é a intersecção de todos os ideais esquerda contendo X . Equivalentemente, é o conjunto de todas as (finitas) combinações R- lineares esquerdas de elementos de X sobre R : ${\ displaystyle RX}$${\ displaystyle RX}$

  ${\ displaystyle RX = \ {r_ {1} x_ {1} + \ dots + r_ {n} x_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N}, r_ {i} \ in R, x_ {i} \ em X \}.}$

(uma vez que tal intervalo é o menor ideal à esquerda contendo X ). Um ideal direito (resp. bilateral) gerado por X é definido de maneira semelhante. Para "dois lados", deve-se usar combinações lineares de ambos os lados; ou seja,

${\ displaystyle RXR = \ {r_ {1} x_ {1} s_ {1} + \ dots + r_ {n} x_ {n} s_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N}, r_ {i} \ in R, s_ {i} \ in R, x_ {i} \ in X \}. \,}$

• Um ideal esquerdo (resp. Direito, bilateral) gerado por um único elemento x é chamado de ideal esquerdo principal (resp. Direito, bilateral) gerado por x e é denotado por (resp. ). O principal ideal bilateral também é freqüentemente denotado por . Se for um conjunto finito, também será escrito como .${\ displaystyle Rx}$${\ displaystyle xR, RxR}$${\ displaystyle RxR}$${\ displaystyle (x)}$${\ displaystyle X = \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}$${\ displaystyle RXR}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$
• No anel de inteiros, todo ideal pode ser gerado por um único número (assim é um domínio ideal principal ), como consequência da divisão euclidiana (ou de alguma outra forma).${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Há uma correspondência bijective entre os ideais e as relações de congruência (relações de equivalência que respeitam a estrutura do anel) no anel: Dado um ideal I de um anel R , deixe- x ~ y se x - y ∈ I . Então ~ é uma relação de congruência em R . Inversamente, dada uma relação de congruência ~ em R , seja I = { x | x ~ 0} . Então I é um ideal de R .

Tipos de ideais

Para simplificar a descrição, todos os anéis são considerados comutativos. O caso não comutativo é discutido em detalhes nos respectivos artigos.

Os ideais são importantes porque aparecem como núcleos de homomorfismos de anel e permitem definir anéis de fator . Diferentes tipos de ideais são estudados porque podem ser usados ​​para construir diferentes tipos de anéis fatoriais.

• Ideal máxima : Um ideal próprio I é chamado de máxima ideal se existe nenhum outro ideal adequado J com I um subconjunto próprio de J . O anel do fator de um ideal máximo é um anel simples em geral e é um campo para anéis comutativos.
• Ideal mínimo : um ideal diferente de zero é chamado de mínimo se não contém nenhum outro ideal diferente de zero.
• Ideal Prime : Um ideal próprio I é chamado um ideal nobre , se por qualquer um e b em R , se ab está em I , então pelo menos um de um e b está em I . O anel de fator de um ideal primo é um anel primo em geral e é um domínio integral para anéis comutativos.
• Ideal radical ou ideal semiprime : Um ideal próprio I é chamado de radical ou semiprime se por qualquer um em R , se a ⁿ está em I por algum n , em seguida, um está em I . O anel fator de um radical ideal é um anel semiprime para anéis gerais e é um anel reduzido para anéis comutativos.
• Ideal primária : Um ideal que é chamado um ideal primário se para todo um e b em R , se AB é em I , então pelo menos um de um e b ⁿ é em I por algum número natural n . Todo ideal primário é primário, mas não o contrário. Um ideal primário semiprime é primo.
• Ideal principal : Um ideal gerado por um elemento.
• Ideal finitamente gerado : este tipo de ideal é gerado finitamente como um módulo.
• Ideal primitivo : um ideal primitivo esquerdo é o aniquilador de um módulo esquerdo simples .
• Ideal irredutível : diz-se que um ideal é irredutível se não pode ser escrito como uma interseção de ideais que o contêm apropriadamente.
• Ideais comaximais : Dois ideais são considerados comaximais se para alguns e .${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}, {\ mathfrak {j}}}$${\ displaystyle x + y = 1}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {j}}}$
• Ideal regular : este termo tem vários usos. Veja o artigo para uma lista.
• Ideal nulo : Um ideal é um ideal nulo se cada um de seus elementos for nilpotente.
• Ideal nilpotente : algum poder dele é zero.
• Ideal de parâmetro : um ideal gerado por um sistema de parâmetros .

Dois outros termos importantes que usam "ideal" nem sempre são os ideais de seu anel. Consulte seus respectivos artigos para obter detalhes:

• Ideal fracionário : Este é geralmente definida quando R é um domínio comutativa com campo quociente K . Apesar de seus nomes, ideais fracionários sãosubmódulos R de K com uma propriedade especial. Se o ideal fracionário está contido inteiramente em R , então é realmente um ideal de R .
• Ideal invertível : Normalmente um ideal invertível A é definido como um ideal fraccionada para o qual não é ideal outro fraccionada B tal que AB = BA = R . Alguns autores também podem aplicar "ideal invertível" aos ideais de anel ordinário A e B com AB = BA = R em anéis que não sejam domínios.

Operações ideais

A soma e o produto dos ideais são definidos como segue. Para os ideais e , esquerdo (resp. Direito) de um anel R , sua soma é ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}: = \ {a + b \ mid a \ in {\ mathfrak {a}} {\ mbox {e}} b \ in {\ mathfrak {b}} \}}$,

que é um ideal esquerdo (resp. direito) e, se for bilateral, ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}: = \ {a_ {1} b_ {1} + \ dots + a_ {n} b_ {n} \ mid a_ {i} \ in { \ mathfrak {a}} {\ mbox {e}} b_ {i} \ in {\ mathfrak {b}}, i = 1,2, \ pontos, n; {\ mbox {para}} n = 1,2 , \ dots \},}$

ou seja, o produto é o ideal gerado por todos os produtos da forma ab com a in e b in . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

Nota é o menor ideal à esquerda (resp. Direito) contendo ambos e (ou a união ), enquanto o produto está contido na interseção de e . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cup {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

A lei distributiva vale para ideais de dois lados , ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}, {\ mathfrak {c}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {c}}) = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}}}$,
• ${\ displaystyle ({\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}) {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}} + {\ mathfrak {b}} {\ mathfrak {c}}}$.

Se um produto é substituído por uma interseção, uma lei distributiva parcial se aplica:

${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cap ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {c}}) \ supset {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {c}}}$

onde a igualdade é mantida se contém ou . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

Observação : A soma e a interseção dos ideais é novamente um ideal; com essas duas operações como juntar e se encontrar, o conjunto de todos os ideais de um determinado anel forma uma estrutura modular completa . A rede não é, em geral, uma rede distributiva . As três operações de interseção, soma (ou junção) e produto transformam o conjunto de ideais de um anel comutativo em um quantal .

Se forem ideais de um anel comutativo R , então nos dois casos seguintes (pelo menos) ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}} = (1)}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$é gerado por elementos que formam um módulo de sequência regular .${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

(De modo mais geral, a diferença entre um produto e uma intersecção de ideais é medido pelo functor Tor : ) ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (R / {\ mathfrak {a}}, R / {\ mathfrak {b}}) = ({\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}}) / {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}.}$

Um domínio integral é chamado de domínio de Dedekind se para cada par de ideais houver um ideal assim . Pode-se então mostrar que todo ideal diferente de zero de um domínio de Dedekind pode ser exclusivamente escrito como um produto de ideais máximos, uma generalização do teorema fundamental da aritmética . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {\ mathfrak {a}}} = {\ mathfrak {b}} {\ mathfrak {c}}}$

Exemplos de operações ideais

Em nós temos ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle (n) \ cap (m) = \ operatorname {lcm} (n, m) \ mathbb {Z}}$

pois é o conjunto de inteiros que são divisíveis por e . ${\ displaystyle (n) \ cap (m)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$

Deixe e deixe . Então, ${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y, z, w]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (z, w), {\ mathfrak {b}} = (x + z, y + w), {\ mathfrak {c}} = (x + z, w) }$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}} = (z, w, x + z, y + w) = (x, y, z, w)}$ e ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {c}} = (z, w, x + z)}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} = (z (x + z), z (y + w), w (x + z), w (y + w)) = (z ^ {2} + xz, zy + wz, wx + wz, wy + w ^ {2})}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}} = (xz + z ^ {2}, zw, xw + zw, w ^ {2})}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}}$ enquanto ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ cap {\ mathfrak {c}} = (w, xz + z ^ {2}) \ neq {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}}}$

No primeiro cálculo, vemos o padrão geral para tirar a soma de dois ideais finitamente gerados, é o ideal gerado pela união de seus geradores. Nos três últimos, observamos que produtos e interseções concordam sempre que os dois ideais se cruzam no ideal zero. Esses cálculos podem ser verificados usando Macaulay2 .

Radical de um anel

Os ideais aparecem naturalmente no estudo dos módulos, especialmente na forma de um radical.

Para simplificar, trabalhamos com anéis comutativos, mas, com algumas alterações, os resultados também são verdadeiros para anéis não comutativos.

Seja R um anel comutativo. Por definição, um ideal primitivo de R é o aniquilador de um módulo R simples (diferente de zero) . O radical Jacobson de R é a interseção de todos os ideais primitivos. Equivalentemente, ${\ displaystyle J = \ operatorname {Jac} (R)}$

${\ displaystyle J = \ bigcap _ {{\ mathfrak {m}} {\ text {ideais máximos}}} {\ mathfrak {m}}.}$

Na verdade, se é um módulo simples e x é um elemento diferente de zero em M , em seguida, e , significado é um máximo ideal. Por outro lado, se é um ideal máximo, então é o aniquilador do módulo R simples . Há também outra caracterização (a prova não é difícil): ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Rx = M}$${\ displaystyle R / \ operatorname {Ann} (M) = R / \ operatorname {Ann} (x) \ simeq M}$${\ displaystyle \ operatorname {Ann} (M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle J = \ {x \ em R \ mid 1-yx \, {\ text {é um elemento de unidade para cada}} y \ em R \}.}$

Para um anel não necessariamente comutativo, é um fato geral que é um elemento da unidade se e somente se for (veja o link) e então esta última caracterização mostra que o radical pode ser definido tanto em termos de ideais primitivos à esquerda quanto à direita . ${\ displaystyle 1-yx}$${\ displaystyle 1-xy}$

O seguinte fato simples, mas importante ( lema de Nakayama ) está embutido na definição de um radical de Jacobson: se M é um módulo tal que , então M não admite um submódulo máximo , pois se há um submódulo máximo , e assim , uma contradição. Uma vez que um módulo gerado finitamente diferente de zero admite um submódulo máximo, em particular, tem-se: ${\ displaystyle JM = M}$${\ displaystyle L \ subsetneq M}$${\ displaystyle J \ cdot (M / L) = 0}$${\ displaystyle M = JM \ subset L \ subsetneq M}$

Se e M for finitamente gerado, então${\ displaystyle JM = M}$${\ displaystyle M = 0.}$

Um ideal máximo é um ideal principal e, portanto,

${\ displaystyle \ operatorname {nil} (R) = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} {\ text {ideais primos}}} {\ mathfrak {p}} \ subset \ operatorname {Jac} (R)}$

onde o cruzamento do lado esquerdo é chamado de nilradical de R . Como se vê, é também o conjunto de elementos nilpotentes de R . ${\ displaystyle \ operatorname {nil} (R)}$

Se R é um anel Artiniano , então é nilpotente e . (Prova: primeiro observe que o DCC implica para algum n . Se (DCC) é um ideal adequadamente mínimo sobre o último, então . Ou seja , uma contradição.) ${\ displaystyle \ operatorname {Jac} (R)}$${\ displaystyle \ operatorname {nil} (R) = \ operatorname {Jac} (R)}$${\ displaystyle J ^ {n} = J ^ {n + 1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ supsetneq \ operatorname {Ann} (J ^ {n})}$${\ displaystyle J \ cdot ({\ mathfrak {a}} / \ operatorname {Ann} (J ^ {n})) = 0}$${\ displaystyle J ^ {n} {\ mathfrak {a}} = J ^ {n + 1} {\ mathfrak {a}} = 0}$

Extensão e contração de um ideal

Sejam A e B dois anéis comutativos , e seja f  : A → B um homomorfismo de anel . Se é um ideal em A , então não precisa ser um ideal em B (por exemplo, considere f como a inclusão do anel de inteiros Z no campo dos racionais Q ). A extensão de em B é definida como o ideal em B gerado por . Explicitamente, ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle f ({\ mathfrak {a}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle f ({\ mathfrak {a}})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e} = {\ Big \ {} \ sum y_ {i} f (x_ {i}): x_ {i} \ in {\ mathfrak {a}}, y_ {i} \ in B {\ Big \}}}$

Se é um ideal de B , então é sempre um ideal de A , chamado de contração de a Um . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathfrak {b}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {c}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

Supondo que f  : A → B é um homomorfismo de anel, é um ideal em A , é um ideal em B , então: ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$é privilegiada em B é privilegiada em A .${\ displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {c}}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {ec} \ supseteq {\ mathfrak {a}}}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {ce} \ subseteq {\ mathfrak {b}}}$

É falso, em geral, que ser primo (ou máximo) em A implica que é primo (ou máximo) em B . Muitos exemplos clássicos disso derivam da teoria algébrica dos números. Por exemplo, incorporação . Em , os elementos 2 factores como onde (um) pode mostrar nenhum dos são unidades em B . Portanto, não é primo em B (e, portanto, também não é máximo). Na verdade, mostra que , e, portanto . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ left \ lbrack i \ right \ rbrack}$${\ displaystyle B = \ mathbb {Z} \ left \ lbrack i \ right \ rbrack}$${\ displaystyle 2 = (1 + i) (1-i)}$${\ displaystyle 1 + i, 1-i}$${\ displaystyle (2) ^ {e}}$${\ displaystyle (1 \ pm i) ^ {2} = \ pm 2i}$${\ displaystyle (1 + i) = ((1-i) - (1-i) ^ {2})}$${\ displaystyle (1-i) = ((1 + i) - (1 + i) ^ {2})}$${\ displaystyle (2) ^ {e} = (1 + i) ^ {2}}$

Por outro lado, se f for sobrejetora e então: ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ supseteq \ ker f}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {ec} = {\ mathfrak {a}}}$e .${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {ce} = {\ mathfrak {b}}}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$é um ideal primo em A é um ideal primo em B .${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$é um máximo ideal em A é um ideal máxima em B .${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$

Observação : seja K uma extensão de campo de L , e sejam B e A os anéis de inteiros de K e L , respectivamente. Então B é uma extensão integral de A , e nós vamos f ser a função inclusão de A para B . O comportamento de um ideal primo de A sob extensão é um dos problemas centrais da teoria algébrica dos números . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {p}}}$

O seguinte às vezes é útil: um ideal primário é uma contração de um ideal primário se e somente se . (Prova: assumindo o último, a nota se cruza , uma contradição. Agora, os ideais primos de correspondem àqueles em B que são disjuntos de . Conseqüentemente, há um ideal primo de B , disjuntos de , tal que é um ideal máximo contendo . um cheques depois que mentiras mais . O inverso é óbvio.) ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} ^ {ec}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {e} B _ {\ mathfrak {p}} = B _ {\ mathfrak {p}} \ Rightarrow {\ mathfrak {p}} ^ {e}}$${\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle B _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} B _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {e} B _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Generalizações

Os ideais podem ser generalizados para qualquer objeto monóide , onde está o objeto onde a estrutura monóide foi esquecida . Um ideal de esquerda de é um subobjeto que "absorve a multiplicação da esquerda por elementos de "; ou seja, é um ideal de esquerda se satisfizer as duas condições a seguir: ${\ displaystyle (R, \ otimes)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$

1. ${\ displaystyle I}$é um subobjeto de${\ displaystyle R}$
2. Para todos e cada um , o produto está na moda .${\ displaystyle r \ in (R, \ otimes)}$${\ displaystyle x \ in (I, \ otimes)}$${\ displaystyle r \ otimes x}$${\ displaystyle (I, \ otimes)}$

Um ideal correto é definido com a condição " " substituída por "' ". Um ideal bilateral é um ideal esquerdo que também é um ideal direito, e às vezes é simplesmente chamado de ideal. Quando é um objeto monóide comutativo respectivamente, as definições de ideal esquerdo, direito e bilateral coincidem, e o termo ideal é usado sozinho. ${\ displaystyle r \ otimes x \ in (I, \ otimes)}$${\ displaystyle x \ otimes r \ in (I, \ otimes)}$${\ displaystyle R}$

Um ideal também pode ser pensado como um tipo específico de módulo- R . Se considerarmos como um módulo esquerdo (por multiplicação à esquerda), então um ideal esquerdo é realmente apenas um submódulo esquerdo de . Em outras palavras, é um ideal esquerdo (direito) de se, e somente se, é um módulo esquerdo (direito) que é um subconjunto de . é um ideal bilateral se for um sub- bimódulo de . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Exemplo: Se permitirmos , um ideal de é um grupo abeliano que é um subconjunto de , ou seja, para alguns . Portanto, estes fornecem todos os ideais de . ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle m \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Veja também

• Aritmética modular
• Teorema do isomorfismo de Noether
• Teorema do ideal primo booleano
• Teoria ideal
• Ideal (teoria da ordem)
• Norma ideal
• Divisão de ideais primários em extensões de Galois
• Feixe ideal

Notas

Referências

links externos

• Levinson, Jake (14 de julho de 2014). "A interpretação geométrica para extensão dos ideais?" . Stack Exchange .