Produto Kronecker - Kronecker product

Em matemática , o produto de Kronecker , às vezes denotado por ⊗, é uma operação em duas matrizes de tamanho arbitrário resultando em uma matriz de bloco . É uma generalização do produto externo (que é denotado pelo mesmo símbolo) de vetores para matrizes, e fornece a matriz do mapa linear do produto tensorial com relação a uma escolha padrão de base . O produto Kronecker deve ser distinguido da multiplicação de matrizes usual , que é uma operação totalmente diferente. O produto Kronecker também é às vezes chamado de produto direto da matriz .

O produto Kronecker tem o nome do matemático alemão Leopold Kronecker (1823-1891), embora haja poucas evidências de que ele foi o primeiro a defini-lo e usá-lo. O produto Kronecker também foi chamado de matriz Zehfuss , e o produto Zehfuss , em homenagem a Johann Georg Zehfuss [ de ] , que em 1858 descreveu essa operação de matriz, mas o produto Kronecker é atualmente o mais utilizado.

Definição

Se A é uma matriz m × n e B é uma matriz p × q , então o produto de Kronecker A ⊗ B é a matriz de bloco pm × qn :

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} \ mathbf {B} & \ cdots & a_ {1n} \ mathbf {B} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} \ mathbf {B} & \ cdots & a_ {mn} \ mathbf {B} \ end {bmatrix}},}

mais explicitamente:

{\ displaystyle {\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} b_ {11} & a_ {11} b_ {12} & \ cdots & a_ {11} b_ {1q } & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {11} & a_ {1n} b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} b_ {1q} \\ a_ {11} b_ {21} & a_ {11} b_ { 22} & \ cdots & a_ {11} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {21} & a_ {1n} b_ {22} & \ cdots & a_ {1n} b_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {11} b_ {p1} & a_ {11} b_ {p2} & \ cdots & a_ {11} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {p1} & a_ {1n} b_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} b_ {pq} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {m1} b_ {11} & a_ {m1} b_ {12} & \ cdots & a_ { m1} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {11} & a_ {mn} b_ {12} & \ cdots & a_ {mn} b_ {1q} \\ a_ {m1} b_ {21} & a_ {m1} b_ {22} & \ cdots & a_ {m1} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {21} & a_ {mn} b_ {22} & \ cdots & a_ {mn} b_ {2q } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} b_ {p1} & a_ {m1} b_ {p2} & \ cdots & a_ {m1 } b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {p1} & a_ {mn} b_ {p2} & \ cdots & a_ {mn} b_ {pq} \ end {bmatrix}}.}

Usando e para denotar divisão inteira truncada e resto , respectivamente, e numerar os elementos da matriz começando de 0, obtém-se e Para a numeração usual começando de 1, obtém-se e ${\ displaystyle / \! /}$ ${\ displaystyle \%}$ ${\ displaystyle (A \ otimes B) _ {pr + v, qs + w} = a_ {rs} b_ {vw}}$ ${\ displaystyle (A \ otimes B) _ {i, j} = a_ {i / \! / p, j / \! / q} b_ {i \% p, j \% q}.}$ ${\ displaystyle (A \ otimes B) _ {p (r-1) + v, q (s-1) + w} = a_ {rs} b_ {vw}}$ ${\ displaystyle (A \ otimes B) _ {i, j} = a _ {\ lceil i / p \ rceil, \ lceil j / q \ rceil} b _ {(i-1) \% p + 1, (j- 1) \% q + 1}.}$

Se A e B representam transformações lineares V ₁ → W ₁ e V ₂ → W ₂ , respectivamente, então A ⊗ B representa o produto tensorial dos dois mapas, V ₁ ⊗ V ₂ → W ₁ ⊗ W ₂ .

Exemplos

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\\ end {bmatrix}} \ otimes {\ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 { \ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\\ end {bmatrix}} & 2 {\ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\\ end {bmatrix}} \\ 3 {\ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \ \\ end {bmatrix}} & 4 {\ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\\ end {bmatrix}} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \ times 0 & 1 \ times 5 & 2 \ times 0 e 2 \ vezes 5 \\ 1 \ vezes 6 e 1 \ vezes 7 e 2 \ vezes 6 e 2 \ vezes 7 \\ 3 \ vezes 0 e 3 \ vezes 5 e 4 \ vezes 0 e 4 \ vezes 5 \\ 3 \ vezes 6 e 3 \ vezes 7 e 4 \ vezes 6 e 4 \ vezes 7 \ \\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \ end {bmatrix}}.}

De forma similar:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & -4 & 7 \\ - 2 & 3 & 3 \ end {bmatrix}} \ otimes {\ begin {bmatrix} 8 & -9 & -6 & 5 \\ 1 & -3 & -4 & 7 \\ 2 & 8 & -8 & -3 \ \ 1 & 2 & -5 & -1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 8 & -9 & -6 & 5 & -32 & 36 & 24 & -20 & 56 & -63 & -42 & 35 \\ 1 & -3 & -4 & 7 & -4 & 12 & 16 & -28 & 7 & -21 & -28 & 49 \\ 2 & 8 & -8 & -3 & -8 & -32 & 32 & 12 & 14 & 56 & -56 & -21 \\ 1 & 2 & -5 & -1 & -4 & -8 & 20 & 4 & 7 & 14 & -35 & -7 \\ - 16 & 18 & 12 & -10 & 24 & -27 & -18 & 15 & 24 & -27 & -18 & 15 \\ - 2 & 6 & 3 & -14 & -9 12 & 21 & 3 & -9 & -12 & 21 \\ - 4 & -16 & 16 & 6 & 6 & 24 & -24 & -9 & 6 & 24 & -24 & -9 \\ - 2 & -4 & 10 & 2 & 3 & 6 & -15 & -3 & 3 & 6 & -15 & -3 \ end {bmatrix}}}

Propriedades

Relações com outras operações da matriz

Bilinearidade e associatividade :

O produto Kronecker é um caso especial do produto tensorial , por isso é bilinear e associativo :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} \ otimes (\ mathbf {B} + \ mathbf {C}) & = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B} + \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {C}, \\ (\ mathbf {B} + \ mathbf {C}) \ otimes \ mathbf {A} & = \ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {A} + \ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {A}, \\ (k \ mathbf {A}) \ otimes \ mathbf {B} & = \ mathbf {A} \ otimes (k \ mathbf {B}) = k (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}), \\ (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) \ otimes \ mathbf {C} & = \ mathbf {A} \ otimes (\ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {C}), \\\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {0} & = \ mathbf {0} \ otimes \ mathbf {A} = \ mathbf {0}, \ end {alinhado}}}$
onde A , B e C são matrizes, 0 é uma matriz zero ek é um escalar.
Não comutativo :

Em geral, A ⊗ B e B ⊗ A são matrizes diferentes. No entanto, A ⊗ B e B ⊗ A são equivalentes de permutação, o que significa que existem matrizes de permutação P e Q tais que

${\ displaystyle \ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {A} = \ mathbf {P} \, (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) \, \ mathbf {Q}.}$

Se A e B são matrizes quadradas, então A ⊗ B e B ⊗ A são ainda permutação semelhante , o que significa que podemos tomar P = Q ^T .

As matrizes P e Q são matrizes de embaralhamento perfeitas. A matriz de embaralhamento perfeita S _{p , q} pode ser construída tomando fatias da matriz identidade I _r , onde . ${\ displaystyle r = pq}$

${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {p, q} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} _ {r} (1: q: r,:) \\\ mathbf {I} _ {r} (2: q: r,:) \\\ vdots \\\ mathbf {I} _ {r} (q: q: r,:) \ end {bmatrix}}}$

MATLAB notação de dois pontos é usado aqui para indicar submatrizes, e I _r é o r × r matriz de identidade. Se e então ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ in \ mathbb {R} ^ {m_ {1} \ vezes n_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} \ in \ mathbb {R} ^ {m_ {2} \ vezes n_ {2}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {A} = \ mathbf {S} _ {m_ {1}, m_ {2}} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) \ mathbf { S} _ {n_ {1}, n_ {2}} ^ {\ textf {T}}}$
A propriedade do produto misto:

Se A , B , C e D são matrizes de tal tamanho que se podem formar os produtos de matriz AC e BD , então

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {D}) = (\ mathbf {AC}) \ otimes (\ mathbf {BD}).}$

Isso é chamado de propriedade de produto misto , porque mistura o produto de matriz comum e o produto de Kronecker.

Como consequência imediata,

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B} = (\ mathbf {I_ {2}} \ otimes \ mathbf {B}) (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I_ {1}}) = (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I_ {1}}) (\ mathbf {I_ {2}} \ otimes \ mathbf {B}).}$

Em particular, usando a propriedade transpor abaixo, isso significa que se

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {Q} \ otimes \ mathbf {U}}$
e Q e U são ortogonais (ou unitários ), então A também é ortogonal (resp., unitário).
Produto Hadamard (multiplicação por elemento):

A propriedade de produto misto também funciona para o produto elemento-sábio. Se A e C são matrizes do mesmo tamanho, B e D são matrizes do mesmo tamanho, então

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) \ circ (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {D}) = (\ mathbf {A} \ circ \ mathbf {C}) \ otimes (\ mathbf {B} \ circ \ mathbf {D}).}$
O inverso de um produto Kronecker:

Daqui resulta que um ⊗ B é invertível se e somente se ambos um e B é invertida, caso em que o inverso é dada pela

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) ^ {- 1} = \ mathbf {A} ^ {- 1} \ otimes \ mathbf {B} ^ {- 1}.}$

A propriedade do produto invertível também é válida para o pseudoinverso Moore-Penrose , ou seja

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) ^ {+} = \ mathbf {A} ^ {+} \ otimes \ mathbf {B} ^ {+}.}$

Na linguagem da teoria das categorias , a propriedade de produto misto do produto de Kronecker (e produto tensorial mais geral) mostra que a categoria Mat _F de matrizes sobre um campo F é de fato uma categoria monoidal , com objetos números naturais n , morfismos n → m são matrizes n × m com entradas em F , a composição é dada pela multiplicação da matriz, as setas de identidade são simplesmente n × n matrizes de identidade I _n , e o produto tensorial é dado pelo produto de Kronecker.
Mat _F é uma categoria de esqueleto concreto para a categoria equivalente FinVect _F de espaços vetoriais de dimensão finita sobre F , cujos objetos são espaços vetoriais de dimensão finita V , as setas são F- mapas lineares L : V → W , e as setas de identidade são os mapas de identidade dos espaços. A equivalência de categorias equivale a escolher simultaneamente uma base em cada espaço vetorial de dimensão finita V em vez de F ; os elementos das matrizes representam esses mapeamentos em relação às bases escolhidas; e da mesma forma o produto de Kronecker é a representação do produto tensorial nas bases escolhidas.
Transpor :

A transposição e a transposição do conjugado são distributivas sobre o produto Kronecker:

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) ^ {\ textf {T}} = \ mathbf {A} ^ {\ textf {T}} \ otimes \ mathbf {B} ^ {\ textf {T}}}$ e ${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) ^ {*} = \ mathbf {A} ^ {*} \ otimes \ mathbf {B} ^ {*}.}$
Determinante :

Deixe Um ser um n × n matriz e deixar B ser um m × m matriz. Então

${\ displaystyle \ left | \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B} \ right | = \ left | \ mathbf {A} \ right | ^ {m} \ left | \ mathbf {B} \ right | ^ { n}.}$
O expoente em | A | é a ordem de B e o expoente em | B | é da ordem de Uma .
Soma e exponenciação de Kronecker :

Se A é n × n , B é m × m e I _k denota o k × k matriz de identidade , então podemos definir o que é às vezes chamado a soma Kronecker , ⊕, por

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I} _ {m} + \ mathbf {I} _ {n} \ otimes \ mathbf {B}. }$

Isso é diferente da soma direta de duas matrizes. Esta operação está relacionada ao produto tensorial nas álgebras de Lie .

Temos a seguinte fórmula para a matriz exponencial , que é útil em algumas avaliações numéricas.

${\ displaystyle \ exp ({\ mathbf {N} \ oplus \ mathbf {M}}) = \ exp (\ mathbf {N}) \ otimes \ exp (\ mathbf {M})}$

As somas de Kronecker aparecem naturalmente na física ao considerar conjuntos de sistemas não interagentes . Seja H ⁱ o hamiltoniano do i ésimo sistema. Então, o hamiltoniano total do conjunto é

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {Tot}} = \ bigoplus _ {i} H ^ {i}.}$

Propriedades abstratas

Espectro :

Suponha que A e B sejam matrizes quadradas de tamanho n e m, respectivamente. Sejam λ ₁ , ..., λ _n os autovalores de A e μ ₁ , ..., μ _m os de B (listados de acordo com a multiplicidade ). Então os valores próprios de A ⊗ B são

${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ mu _ {j}, \ qquad i = 1, \ ldots, n, \, j = 1, \ ldots, m.}$

Segue-se que o traço e o determinante de um produto Kronecker são dados por

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} \ mathbf {A} \, \ operatorname {tr} \ mathbf {B} \ quad {\ text {e}} \ quad \ det (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = (\ det \ mathbf {A}) ^ {m} (\ det \ mathbf {B}) ^ {n}. }$
Valores singulares :

Se A e B são matrizes retangulares, pode-se considerar seus valores singulares . Suponha que A tenha r _A valores singulares diferentes de zero, a saber

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathbf {A}, i}, \ qquad i = 1, \ ldots, r _ {\ mathbf {A}}.}$

Da mesma forma, denote os valores singulares diferentes de zero de B por

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathbf {B}, i}, \ qquad i = 1, \ ldots, r _ {\ mathbf {B}}.}$

Então, o produto de Kronecker A ⊗ B tem valores singulares r _A r _B diferentes de zero, a saber

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathbf {A}, i} \ sigma _ {\ mathbf {B}, j}, \ qquad i = 1, \ ldots, r _ {\ mathbf {A}}, \, j = 1, \ ldots, r _ {\ mathbf {B}}.}$

Uma vez que a classificação de uma matriz é igual ao número de valores singulares diferentes de zero, descobrimos que

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {rank} \ mathbf {A} \, \ operatorname {rank} \ mathbf {B}.}$
Relação com o produto tensor abstrato :

O produto Kronecker de matrizes corresponde ao produto tensorial abstrato de mapas lineares. Especificamente, se os espaços vetoriais V , W , X e Y têm bases { v ₁ , ..., v _m }, { w ₁ , ..., w _n }, { x ₁ , ..., x _d }, e { y ₁ , ..., y _e }, respectivamente, e se as matrizes A e B representam as transformações lineares S : V → X e T : W → Y , respectivamente nas bases apropriadas, então a matriz A ⊗ B representa o produto tensorial dos dois mapas, S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y em relação à base { v ₁ ⊗ w ₁ , v ₁ ⊗ w ₂ , ..., v ₂ ⊗ w ₁ , ..., v _m ⊗ w _n } de V ⊗ W e a base definida de forma semelhante de X ⊗ Y com a propriedade de que A ⊗ B ( v _i ⊗ w _j ) = ( Av _i ) ⊗ ( Bw _j ) , onde i e j são inteiros no intervalo adequado.
Quando V e W são álgebras , e S : V → V e T : W → W são Lie homomorphisms álgebra , a soma de Kronecker de A e B representa os álgebra homomorphisms Lie induzidas V ⊗ W → V ⊗ W .
Relação com produtos de gráficos :
O produto de Kronecker das matrizes de adjacência de dois grafos é a matriz de adjacência do grafo do produto tensorial . A soma de Kronecker das matrizes de adjacência de dois grafos é a matriz de adjacência do grafo cartesiano do produto .

Equações matriciais

O produto Kronecker pode ser usado para obter uma representação conveniente para algumas equações matriciais. Considere, por exemplo, a equação AXB = C , onde A , B e C recebem matrizes e a matriz X é a incógnita. Podemos usar o "truque vec" para reescrever esta equação como

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {B} ^ {\ textf {T}} \ otimes \ mathbf {A} \ right) \, \ operatorname {vec} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {vec} ( \ mathbf {AXB}) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {C}).}

Aqui, vec ( X ) denota a vetorização da matriz X, formada pelo empilhamento das colunas de X em um único vetor coluna .

Segue-se agora das propriedades do produto de Kronecker que a equação AXB = C tem uma solução única, se e somente se A e B são invertíveis ( Horn & Johnson 1991 , Lema 4.3.1).

Se X e C são fileira ordenada nos vectores de colunas de u e v , respectivamente, em seguida, ( Jain 1989 , 2,8 Bloco Matrizes e produtos Kronecker)

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ left (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B} ^ {\ textf {T}} \ right) \ mathbf {u}.}

A razão é que

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ operatorname {vec} \ left ((\ mathbf {AXB}) ^ {\ textf {T}} \ right) = \ operatorname {vec} \ left (\ mathbf {B} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {X} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {A} ^ {\ textf {T}} \ right) = \ left (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf { B} ^ {\ textf {T}} \ right) \ operatorname {vec} \ left (\ mathbf {X ^ {\ textf {T}}} \ right) = \ left (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B} ^ {\ textf {T}} \ right) \ mathbf {u}.}

Formulários

Para um exemplo da aplicação desta fórmula, consulte o artigo sobre a equação de Lyapunov . Essa fórmula também é útil para mostrar que a distribuição normal da matriz é um caso especial da distribuição normal multivariada . Esta fórmula também é útil para representar operações de processamento de imagens 2D na forma de matriz vetorial.

Outro exemplo é quando uma matriz pode ser fatorada como um produto Hadamard , então a multiplicação da matriz pode ser realizada mais rapidamente usando a fórmula acima. Isso pode ser aplicado recursivamente, como feito na FFT radix-2 e na transformada Fast Walsh-Hadamard . Dividir uma matriz conhecida no produto Hadamard de duas matrizes menores é conhecido como o problema do "produto Kronecker mais próximo" e pode ser resolvido exatamente usando o SVD . Dividir uma matriz no produto Hadamard de mais de duas matrizes, de maneira ótima, é um problema difícil e objeto de pesquisas em andamento; alguns autores o consideram um problema de decomposição de tensores.

Em conjunto com o método dos mínimos quadrados , o produto Kronecker pode ser usado como uma solução precisa para o problema de calibração do olho da mão .

Operações de matriz relacionadas

Duas operações de matriz relacionadas são os produtos Tracy – Singh e Khatri – Rao , que operam em matrizes particionadas . Deixe o m x n matriz Uma ser dividida em a m _i x n _{de j} blocos Um _ij e p x q matriz B para a p _k × q _l blocos B _kl , com naturalmente Σ _i m _i = m , Σ _j n _j = n , Σ _k p _k = p e Σ _ℓ q _ℓ = q .

Produto Tracy – Singh

O produto Tracy – Singh é definido como

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ circ \ mathbf {B} = \ left (\ mathbf {A} _ {ij} \ circ \ mathbf {B} \ right) _ {ij} = \ left (\ left (\ mathbf {A} _ {ij} \ otimes \ mathbf {B} _ {kl} \ right) _ {kl} \ right) _ {ij}}

o que significa que o ( ij ) -ésimo subbloco do produto mp × nq A B ${\ displaystyle \ circ}$ é a matriz m _i p × n _j q A _ij B ${\ displaystyle \ circ}$ , da qual o ( kℓ ) -ésimo sub-bloco é igual a m _i p _k × n _j q _ℓ matriz A _ij ⊗ B _kℓ . Essencialmente, o produto Tracy – Singh é o produto Kronecker pareado para cada par de partições nas duas matrizes.

Por exemplo, se A e B forem matrizes particionadas 2 × 2, por exemplo:

{\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left [{\ begin {array} {c | c} \ mathbf {A} _ {11} & \ mathbf {A} _ {12} \\\ hline \ mathbf {A} _ {21} & \ mathbf {A} _ {22} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {cc | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\\ hline 7 & 8 & 9 \ end {array}} \ right], \ quad \ mathbf {B} = \ left [{\ begin {array} {c | c} \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf {B} _ {12} \\\ hline \ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {B} _ {22} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {c | cc} 1 & 4 e 7 \\\ hline 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \ end {array}} \ right],}

Nós temos:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ mathbf {A} \ circ \ mathbf {B} = {} & \ left [{\ begin {array} {c | c} \ mathbf {A} _ {11} \ circ \ mathbf {B} & \ mathbf {A} _ {12} \ circ \ mathbf {B} \\\ hline \ mathbf {A} _ {21} \ circ \ mathbf {B} & \ mathbf {A} _ {22} \ circ \ mathbf {B} \ end {array}} \ right] \\ = {} & \ left [{\ begin {array} {c | c | c | c} \ mathbf {A} _ {11} \ otimes \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf {A} _ {11} \ otimes \ mathbf {B} _ {12} & \ mathbf {A} _ {12} \ otimes \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf {A} _ {12} \ otimes \ mathbf {B} _ {12} \\\ hline \ mathbf {A} _ {11} \ otimes \ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {A} _ {11} \ otimes \ mathbf {B} _ {22} & \ mathbf {A} _ {12} \ otimes \ mathbf {B} _ {21 } & \ mathbf {A} _ {12} \ otimes \ mathbf {B} _ {22} \\\ hline \ mathbf {A} _ {21} \ otimes \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf { A} _ {21} \ otimes \ mathbf {B} _ {12} & \ mathbf {A} _ {22} \ otimes \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf {A} _ {22} \ otimes \ mathbf {B} _ {12} \\\ hline \ mathbf {A} _ {21} \ otimes \ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {A} _ {21} \ otimes \ mathbf {B} _ {22} & \ mathbf {A} _ {22} \ otimes \ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {A} _ {22} \ otimes \ mathbf {B} _ {22} \ end {array }} \ right] \\ = {} & \ left [{\ begin {array} {cc | cccc | c | cc} 1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 \\ 4 & 5 & 16 & 28 & 20 & 35 & 6 & 24 & 42 \\\ hline 2 & 4 & 5 & 8 & 10 & 16 & 6 & 15 & 24 \\ 3 & 6 & 6 & 9 & 12 & 18 & 9 & 18 & 27 \\ 8 & 10 & 20 & 32 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\ 12 & 15 & 24 & 36 & 30 & 45 & 18 & 36 & 54 \\\ hline 7 & 8 & 28 & 49 & 32 & 56 & 9 & 36 & 63 \\\ hline 14 & 16 & 35 & 56 & 40 & 64 & 18 & 45 & 72 \\ 21 & 24 & 42 & 63 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81 \ final {matriz}} \ direita]. \ final {alinhados}}}

Produto Khatri-Rao

Produto Block Kronecker
Produto Khatri-Rao em colunas

Produto de divisão facial

Propriedades de produtos mistos

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ otimes (\ mathbf {B} \ bullet \ mathbf {C}) = (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) \ bullet \ mathbf {C},}

onde denota o produto de divisão facial . ${\ displaystyle \ bullet}$

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {B}) (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {D}) = (\ mathbf {A} \ mathbf {C}) \ bullet (\ mathbf { B} \ mathbf {D}),}

De forma similar:

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {L}) (\ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {M}) \ cdots (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {S}) = (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ cdots \ mathbf {C}) \ bullet (\ mathbf {L} \ mathbf {M} \ cdots \ mathbf {S}),}

{\ displaystyle \ mathbf {c} ^ {\ textf {T}} \ bullet \ mathbf {d} ^ {\ textf {T}} = \ mathbf {c} ^ {\ textf {T}} \ otimes \ mathbf { d} ^ {\ textf {T}},}

onde e são vetores , ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {B}) (\ mathbf {c} \ otimes \ mathbf {d}) = (\ mathbf {A} \ mathbf {c}) \ circ (\ mathbf { B} \ mathbf {d}),}

onde e são vetores e denota o produto Hadamard . ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle \ circ}$

De forma similar:

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {B}) (\ mathbf {M} \ mathbf {N} \ mathbf {c} \ otimes \ mathbf {Q} \ mathbf {P} \ mathbf {d} ) = (\ mathbf {A} \ mathbf {M} \ mathbf {N} \ mathbf {c}) \ circ (\ mathbf {B} \ mathbf {Q} \ mathbf {P} \ mathbf {d}),}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (C ^ {(1)} x \ star C ^ {(2)} y) = ({\ mathcal {F}} C ^ {(1)} \ bullet {\ mathcal {F}} C ^ {(2)}) (x \ otimes y) = {\ mathcal {F}} C ^ {(1)} x \ circ {\ mathcal {F}} C ^ {(2) } y}

,

onde é a convolução do vetor e é a matriz da transformada de Fourier (este resultado é uma evolução das propriedades do esboço de contagem ), ${\ displaystyle \ star}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {L}) (\ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {M}) \ cdots (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {S}) (\ mathbf {K} \ ast \ mathbf {T}) = (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C} \ mathbf {K}) \ circ (\ mathbf {L} \ mathbf {M} \ cdots \ mathbf {S} \ mathbf {T}),}

onde denota o produto Khatri – Rao das colunas . ${\ displaystyle \ ast}$

De forma similar:

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {L}) (\ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {M}) \ cdots (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {S}) (c \ otimes d) = (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ cdots \ mathbf {C} \ mathbf {c}) \ circ (\ mathbf {L} \ mathbf {M} \ cdots \ mathbf {S} \ mathbf {d}),}

{\ displaystyle (\ mathbf {A} \ bullet \ mathbf {L}) (\ mathbf {B} \ otimes \ mathbf {M}) \ cdots (\ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {S}) (\ mathbf {P} \ mathbf {c} \ otimes \ mathbf {Q} \ mathbf {d}) = (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ cdots \ mathbf {C} \ mathbf {P} \ mathbf {c} ) \ circ (\ mathbf {L} \ mathbf {M} \ cdots \ mathbf {S} \ mathbf {Q} \ mathbf {d}),}

onde e são vetores . ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$

Veja também

Notas

Referências

Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Tópicos em análise de matriz . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1.
Jain, Anil K. (1989). Fundamentos do processamento digital de imagens . Prentice Hall. Bibcode : 1989fdip.book ..... J . ISBN 978-0-13-336165-0.
Steeb, Willi-Hans (1997). Matrix Calculus e Produto Kronecker com Aplicativos e Programas C ++ . Publicação Científica Mundial. ISBN 978-981-02-3241-2.
Steeb, Willi-Hans (2006). Problemas e Soluções em Cálculo Matricial Introdutório e Avançado . Publicação Científica Mundial. ISBN 978-981-256-916-5.

links externos

"Tensor product" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
"Produto Kronecker" . PlanetMath .
"Produto Kronecker" . MathWorld .
"Novos problemas do produto Kronecker" (PDF) .
"Usos anteriores" . A entrada no Kronecker, Zehfuss ou Produto direto de matrizes contém informações históricas.
calcular o produto Kronecker de duas matrizes . SourceForge (código-fonte genérico C ++ e Fortran 90). 27/06/2015.
"Produto Kronecker" . RosettaCode.org . 31 de dezembro de 2020 . Obtido em 2021-01-13 . Fonte de software em mais de 40 idiomas.

Languages

In other projects

Produto Kronecker - Kronecker product

Conteúdo

Definição

Exemplos

Propriedades

Relações com outras operações da matriz

Propriedades abstratas

Equações matriciais

Formulários

Operações de matriz relacionadas

Produto Tracy – Singh

Produto Khatri-Rao

Produto de divisão facial

Veja também

Notas

Referências

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