Matriz de bloco - Block matrix

Em matemática , uma matriz de blocos ou uma matriz particionada é uma matriz que é interpretada como tendo sido dividida em seções chamadas de blocos ou submatrizes . Intuitivamente, uma matriz interpretada como uma matriz de bloco pode ser visualizada como a matriz original com uma coleção de linhas horizontais e verticais, que a dividem, ou particionam , em uma coleção de matrizes menores. Qualquer matriz pode ser interpretada como uma matriz de bloco de uma ou mais maneiras, com cada interpretação definida por como suas linhas e colunas são particionadas.

Esta noção pode ser tornada mais precisa para um por matriz dividindo em uma coleção , e depois dividindo em uma coleção . A matriz original é então considerada como o "total" desses grupos, no sentido de que a entrada da matriz original corresponde de forma 1 para 1 com alguma entrada de deslocamento de alguns , onde e . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ text {rowgroups}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ text {colgroups}}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle (s, t)}$ ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle x \ in {\ text {rowgroups}}}$${\ displaystyle y \ in {\ text {colgroups}}}$

A álgebra de matriz de bloco surge em geral de biprodutos em categorias de matrizes.

Exemplo

Uma matriz de bloco de 168 × 168 elementos com 12 × 12, 12 × 24, 24x12 e 24 × 24 sub-matrizes. Elementos diferentes de zero estão em azul, elementos zero estão acinzentados.

O Matrix

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 2 & 7 \\ 1 & 5 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 6 & 7 \ end {bmatrix}}}$

pode ser dividido em quatro blocos 2 × 2

${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {11} = {\ begin {bmatrix} 1 e 2 \\ 1 & 5 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {12} = {\ begin {bmatrix} 2 e 7 \ \ 6 & 2 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {21} = {\ begin {bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {22} = {\ begin {bmatrix} 4 e 5 \\ 6 e 7 \ end {bmatrix}}.}$

A matriz particionada pode então ser escrita como

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} _ {11} & \ mathbf {P} _ {12} \\\ mathbf {P} _ {21} & \ mathbf {P } _ {22} \ end {bmatrix}}.}$

Multiplicação de matriz de bloco

É possível usar um produto de matriz particionada em blocos que envolva apenas álgebra nas submatrizes dos fatores. O particionamento dos fatores não é arbitrário, entretanto, e requer "partições conformes" entre duas matrizes e de forma que todos os produtos da submatriz que serão usados ​​sejam definidos. Dada uma matriz com partições de linha e partições de coluna ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (m \ times p)}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {11} & \ mathbf {A} _ {12} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {1s} \\\ mathbf {A} _ {21} & \ mathbf {A} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {2s} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {A } _ {q1} & \ mathbf {A} _ {q2} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {qs} \ end {bmatrix}}}$

e uma matriz com partições de linha e partições de coluna ${\ displaystyle (p \ vezes n)}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf {B} _ {12} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {1r} \\\ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {B} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {2r} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {B } _ {s1} & \ mathbf {B} _ {s2} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {sr} \ end {bmatrix}},}$

que são compatíveis com as partições do produto de matriz ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ mathbf {B}}$

pode ser formado em blocos, resultando em uma matriz com partições de linha e partições de coluna. As matrizes na matriz resultante são calculadas multiplicando: ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle (m \ vezes n)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {qr} = \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ mathbf {A} _ {qi} \ mathbf {B} _ {ir}.}$

Ou, usando a notação de Einstein que soma implicitamente os índices repetidos:

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {qr} = \ mathbf {A} _ {qi} \ mathbf {B} _ {ir}.}$

Inversão de matriz de bloco

Se uma matriz for particionada em quatro blocos, ela pode ser invertida em blocos da seguinte forma:

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} & \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} ^ {- 1} + \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} & - \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \\ - \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B } \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} & \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ end {bmatrix}},}$

onde A e D são quadrados de tamanho arbitrário, e B e C são conformes para particionamento. Além disso, A e o complemento de Schur de A em P : P / A = D - CA ⁻¹ B devem ser invertíveis.

De forma equivalente, permutando os blocos:

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} & \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} & - \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {BD} ^ {- 1} \\ - \ mathbf {D} ^ {- 1} \ mathbf {C } \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} & \ quad \ mathbf {D} ^ {- 1} + \ mathbf { D} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {BD} ^ {-1} \ end {bmatrix}}.}$

Aqui, D e o complemento de Schur de D em P : P / D = A - BD ⁻¹ C devem ser invertíveis.

Se A e D forem invertíveis, então:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} & \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix } \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {B} \ mathbf {D} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0 } & \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {C} \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } \ mathbf {I} & - \ mathbf {B} \ mathbf {D} ^ {- 1} \\ - \ mathbf {C} \ mathbf {A} ^ {- 1} & \ mathbf {I} \ end { bmatrix}}.}$

Pela identidade de Weinstein-Aronszajn , uma das duas matrizes na matriz bloco-diagonal é invertível exatamente quando a outra é.

Determinante da matriz de bloco

A fórmula para o determinante de uma -matriz acima continua valendo, sob outras suposições apropriadas, para uma matriz composta de quatro submatrizes . A fórmula mais fácil, que pode ser comprovada usando a fórmula de Leibniz ou uma fatoração envolvendo o complemento de Schur , é ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$${\ displaystyle A, B, C, D}$

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A & 0 \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det (A) \ det (D) = \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 & D \ end {pmatrix} }.}$

Se é invertível (e da mesma forma se é invertível), um tem ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det (A) \ det \ left (D-CA ^ {- 1} B \ right).}$

Se for uma -matriz, isso simplifica para . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle 1 \ times 1}$${\ displaystyle \ det (A) (D-CA ^ {- 1} B)}$

Se os blocos forem matrizes quadradas do mesmo tamanho, outras fórmulas valem. Por exemplo, se e comutar (ou seja, ), então há ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle CD = DC}$

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det (AD-BC).}$

Esta fórmula foi generalizada para matrizes compostas por mais de blocos, novamente sob condições de comutatividade apropriadas entre os blocos individuais. ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

Para e , a seguinte fórmula é válida (mesmo se e e B não comutarem) ${\ displaystyle A = D}$${\ displaystyle B = C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ B&A \ end {pmatrix}} = \ det (AB) \ det (A + B).}$

Matrizes diagonais de bloco

Uma matriz de bloco diagonal é uma matriz de bloco que é uma matriz quadrada de forma que os blocos da diagonal principal são matrizes quadradas e todos os blocos fora da diagonal são matrizes zero. Ou seja, uma matriz de bloco diagonal A tem a forma

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}}}$

onde A _k é uma matriz quadrada para todo k = 1, ..., n . Em outras palavras, a matriz A é a soma direta de A ₁ , ..., A _n . Também pode ser indicado como A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n  ou diag ( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) (sendo o último o mesmo formalismo usado para uma matriz diagonal ). Qualquer matriz quadrada pode ser considerada trivialmente uma matriz diagonal de bloco com apenas um bloco.

Para o determinante e o rastreio , as seguintes propriedades mantêm

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ det \ mathbf {A} & = \ det \ mathbf {A} _ {1} \ times \ cdots \ times \ det \ mathbf {A} _ {n}, \\\ operatorname {tr} \ mathbf {A} & = \ operatorname {tr} \ mathbf {A} _ {1} + \ cdots + \ operatorname {tr} \ mathbf {A} _ {n}. \ end {alinhado}} }$

Uma matriz diagonal de bloco é invertível se e somente se cada um de seus blocos diagonais principais são invertíveis, e neste caso seu inverso é outra matriz diagonal de bloco dada por

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} ^ {- 1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} ^ {- 1} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n } ^ {- 1} \ end {bmatrix}}.}$

Os autovalores e autovetores de são simplesmente aqueles de e e ... e combinados. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Matrizes tridiagonais de blocos

Uma matriz tridiagonal de bloco é outra matriz de bloco especial, que é como a matriz diagonal de bloco uma matriz quadrada , com matrizes quadradas (blocos) na diagonal inferior, diagonal principal e diagonal superior, com todos os outros blocos sendo matrizes zero. É essencialmente uma matriz tridiagonal, mas tem submatrizes em lugares de escalares. Um bloco de matriz tridiagonal A tem a forma

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {1} & \ mathbf {C} _ {1} &&& \ cdots && 0 \\\ mathbf {A} _ {2} & \ mathbf {B} _ {2} & \ mathbf {C} _ {2} &&&& \\ & \ ddots & \ ddots & \ ddots &&& \ vdots \\ && \ mathbf {A} _ {k} & \ mathbf { B} _ {k} & \ mathbf {C} _ {k} && \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ &&&& \ mathbf {A} _ {n-1} & \ mathbf {B } _ {n-1} & \ mathbf {C} _ {n-1} \\ 0 && \ cdots &&& \ mathbf {A} _ {n} & \ mathbf {B} _ {n} \ end {bmatrix}} }$

onde A _k , B _k e C _k são _submatrizes quadradas da diagonal inferior, principal e superior, respectivamente.

Matrizes de bloco tridiagonais são freqüentemente encontradas em soluções numéricas de problemas de engenharia (por exemplo, dinâmica de fluidos computacional ). Métodos numéricos otimizados para fatoração LU estão disponíveis e, portanto, algoritmos de solução eficientes para sistemas de equações com uma matriz tridiagonal de bloco como matriz de coeficiente. O algoritmo de Thomas , usado para solução eficiente de sistemas de equações envolvendo uma matriz tridiagonal, também pode ser aplicado usando operações de matriz para bloquear matrizes tridiagonais (ver também decomposição de Bloco LU ).

Matrizes de bloco Toeplitz

Uma matriz de bloco de Toeplitz é outra matriz de bloco especial, que contém blocos que são repetidos nas diagonais da matriz, como uma matriz de Toeplitz tem elementos repetidos na diagonal. Os elementos individuais da matriz de bloco, Aij, também devem ser uma matriz Toeplitz.

Um bloco de matriz A de Toeplitz tem a forma

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {(1,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} &&& \ cdots & \ mathbf {A } _ {(1, n-1)} & \ mathbf {A} _ {(1, n)} \\\ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1 , 1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} &&&& \ mathbf {A} _ {(1, n-1)} \\ & \ ddots & \ ddots & \ ddots &&& \ vdots \\ && \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} && \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\\ mathbf {A} _ {(n-1,1)} &&&& \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1 )} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ mathbf {A} _ {(n, 1)} & \ mathbf {A} _ {(n-1,1)} & \ cdots &&& \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ end {bmatriz}}.}$

Bloco transposto

Uma forma especial de transposição de matriz também pode ser definida para matrizes de bloco, onde blocos individuais são reordenados, mas não transpostos. Let Ser uma matriz de bloco com blocos , o bloco transposto de é a matriz de bloco com blocos . ${\ displaystyle A = (B_ {ij})}$${\ displaystyle k \ times l}$${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle B_ {ij}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle l \ times k}$${\ displaystyle A ^ {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle \ left (A ^ {\ mathcal {B}} \ right) _ {ij} = B_ {ji}}$

Como com o operador de rastreamento convencional, a transposição de bloco é um mapeamento linear tal que . No entanto, em geral, a propriedade não se mantém a menos que os blocos de e comutar. ${\ displaystyle (A + C) ^ {\ mathcal {B}} = A ^ {\ mathcal {B}} + C ^ {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle (AC) ^ {\ mathcal {B}} = C ^ {\ mathcal {B}} A ^ {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$

Soma direta

Para quaisquer matrizes arbitrárias A (de tamanho m  ×  n ) e B (de tamanho p  ×  q ), temos a soma direta de A e B , denotada por A  B e definida como ${\ displaystyle \ oplus}$ 

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & b_ {11} & \ cdots & b_ {1q} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & b_ {p1} & \ cdots & b_ {pq} \ end {bmatrix}}.}$

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Esta operação generaliza naturalmente para matrizes dimensionadas arbitrariamente (desde que A e B tenham o mesmo número de dimensões).

Observe que qualquer elemento na soma direta de dois espaços vetoriais de matrizes pode ser representado como uma soma direta de duas matrizes.

Aplicativo

Em termos de álgebra linear , o uso de uma matriz de bloco corresponde a ter um mapeamento linear pensado em termos de 'grupos' correspondentes de vetores de base . Isso novamente corresponde à ideia de ter decomposições de soma direta distintas do domínio e do intervalo . É sempre particularmente significativo se um bloco for a matriz zero ; que carrega as informações que um somatório mapeia em um sub-somatório.

Dada a interpretação por meio de mapeamentos lineares e somas diretas, existe um tipo especial de matriz de bloco que ocorre para matrizes quadradas (o caso m = n ). Para aqueles, podemos assumir uma interpretação como um endomorfismo de um espaço n- dimensional V ; a estrutura de bloco na qual o agrupamento de linhas e colunas é o mesmo é importante porque corresponde a ter uma única decomposição de soma direta em V (em vez de dois). Nesse caso, por exemplo, os blocos diagonais no sentido óbvio são todos quadrados. Este tipo de estrutura é necessário para descrever a forma normal de Jordan .

Esta técnica é usada para reduzir cálculos de matrizes, expansões coluna-linha e muitos aplicativos de ciência da computação , incluindo design de chip VLSI . Um exemplo é o algoritmo Strassen para multiplicação rápida de matrizes , bem como a codificação Hamming (7,4) para detecção e recuperação de erros em transmissões de dados.

Veja também

• Produto Kronecker ( produto direto da matriz resultando em uma matriz de bloco)

Notas

Referências

• Strang, Gilbert (1999). “Aula 3: Multiplicação e matrizes inversas” . MIT Open Course ware. 18: 30–21: 10.