Extensão Galois - Galois extension

Em matemática , uma extensão de Galois é uma extensão de campo algébrica E / F que é normal e separável ; ou equivalentemente, E / M é algébrico, e o campo fixo pelo grupo automorphism Aut ( E / M ) é precisamente a base de campo F . O significado de ser uma extensão de Galois é que a extensão tem um grupo de Galois e obedece ao teorema fundamental da teoria de Galois .

Um resultado de Emil Artin permite construir extensões de Galois como segue: Se E é um dado corpo, e G é um grupo finito de automorfismos de E com corpo fixo F , então E / F é uma extensão de Galois.

Caracterização de extensões de Galois

Um importante teorema de Emil Artin afirma que, para uma extensão finita, cada uma das seguintes afirmações é equivalente à afirmação de Galois: ${\ displaystyle E / F,}$${\ displaystyle E / F}$

• ${\ displaystyle E / F}$é uma extensão normal e uma extensão separável .
• ${\ displaystyle E}$é um campo de divisão de um polinômio separável com coeficientes em${\ displaystyle F.}$
• ${\ displaystyle | \! \ operatorname {Aut} (E / F) | = [E: F],}$ou seja, o número de automorfismos é igual ao grau de extensão.

Outras declarações equivalentes são:

• Cada polinômio irredutível em com pelo menos uma raiz em se divide e é separável.${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$
• ${\ displaystyle | \! \ operatorname {Aut} (E / F) | \ geq [E: F],}$ ou seja, o número de automorfismos é pelo menos o grau da extensão.
• ${\ displaystyle F}$ é o campo fixo de um subgrupo de ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E).}$
• ${\ displaystyle F}$ é o campo fixo de ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F).}$
• Há uma correspondência um a um entre os subcampos de e os subgrupos de${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F).}$

Exemplos

Existem duas maneiras básicas de construir exemplos de extensões de Galois.

• Pegue qualquer campo , qualquer subgrupo de e deixe ser o campo fixo.${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E)}$${\ displaystyle F}$
• Pegue qualquer campo , qualquer polinômio separável em , e deixe ser seu campo de divisão .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle E}$

Adjacente ao campo de número racional, a raiz quadrada de 2 dá uma extensão Galois, enquanto adjacente à raiz cúbica de 2 dá uma extensão não-Galois. Ambas as extensões são separáveis, porque têm característica zero . O primeiro deles é o campo divisor de ; o segundo tem fechamento normal que inclui as raízes cúbicas complexas da unidade e, portanto, não é um campo de divisão. Na verdade, não possui outro automorfismo além da identidade, pois está contido nos números reais e possui apenas uma raiz real. Para obter exemplos mais detalhados, consulte a página sobre o teorema fundamental da teoria de Galois . ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$

Um fechamento algébrico de um campo arbitrário é Galois sobre se e somente se é um campo perfeito . ${\ displaystyle {\ bar {K}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Notas

Citações

Referências

Leitura adicional