Raiz da unidade - Root of unity

As 5ª raízes da unidade (pontos azuis) no plano complexo

Em matemática , uma raiz de unidade , ocasionalmente chamada de número de Moivre , é qualquer número complexo que produza 1 quando elevado a alguma potência inteira positiva n . As raízes da unidade são usadas em muitos ramos da matemática e são especialmente importantes na teoria dos números , na teoria dos caracteres de grupo e na transformada discreta de Fourier .

As raízes da unidade podem ser definidas em qualquer campo . Se a característica do campo for zero, as raízes são números complexos que também são inteiros algébricos . Para campos com uma característica positiva, as raízes pertencem a um campo finito e, inversamente, todo elemento diferente de zero de um campo finito é uma raiz de unidade. Qualquer corpo algebricamente fechado contém exatamente n n º raízes da unidade, exceto quando n é um múltiplo do (positivo) característico do campo.

Definição geral

Representação geométrica da 2ª à 6ª raiz de um número complexo geral na forma polar. Para a enésima raiz da unidade, defina r  = 1 e φ  = 0. A raiz principal está em preto.

Uma n th raiz da unidade , onde n é um número inteiro positivo, é um número Z que satisfaça a equação

A menos que especificado de outra forma, as raízes da unidade podem ser consideradas números complexos (incluindo o número 1 e o número –1 se n for par, que são complexos com uma parte imaginária zero) e, neste caso, as n- ésimas raízes da unidade são

No entanto, a equação que define de raízes da unidade é significativa sobre qualquer campo (e mesmo através de qualquer anel ) F , e isto permite que, considerando raízes da unidade em F . Qualquer que seja o corpo F , as raízes da unidade em F são números complexos, se a característica de F for 0, ou, caso contrário, pertencem a um corpo finito . Por outro lado, cada elemento diferente de zero em um campo finito é uma raiz de unidade nesse campo. Consulte Módulo de raiz de unidade n e campo finito para obter mais detalhes.

Um n º raiz da unidade está a ser dito primitivo se não for umaraizmde unidade para algummmenor, isto é, se

Se n for um número primo , todas as n- ésimas raízes da unidade, exceto 1, são primitivas.

Na fórmula acima, em termos de funções exponenciais e trigonométricas, as n- ésimas raízes primitivas da unidade são aquelas para as quais k e n são inteiros coprimos .

As seções subsequentes deste artigo cumprirão as raízes complexas da unidade. Para o caso de raízes de unidade em campos de característica diferente de zero, consulte Campo finito § Raízes da unidade . Para o caso de raízes de unidade em anéis de inteiros modulares , consulte Raiz da unidade módulo n .

Propriedades elementares

Cada n th raiz da unidade Z é um primitivo um th raiz da unidade para alguns umn , que é o menor número inteiro positivo de modo a que z um = 1 .

Qualquer potência inteira de um n th raiz da unidade é também um n th raiz da unidade, tal como

Isso também é verdadeiro para expoentes negativos. Em particular, a recíproca de um n th raiz da unidade é o seu conjugado complexo , e é também um n th raiz de unidade:

Se Z é um n th raiz da unidade e umab (mod n ) , em seguida, z um = z b . Na verdade, pela definição de congruência , a = b + kn para algum inteiro k , e

Portanto, dado uma potência z a de z , tem-se z a = z r , onde 0 ≤ r < n é o resto da divisão euclidiana de a por n .

Seja z uma n- ésima raiz primitiva da unidade. Então as potências z , z 2 , ...,  z n −1 , z n = z 0 = 1 são a n- ésima raiz da unidade e são todas distintas. (Se z a = z b onde 1 ≤ a < bn , então z b - a = 1 , o que implicaria que z não seria primitivo.) Isso implica que z , z 2 , ...,  z n - 1 , z n = z 0 = 1 são todas as n- ésimas raízes da unidade, visto que uma equação polinomial de n -ésimo grau tem no máximo n soluções distintas.

Do que precede, segue-se que, se z é uma raiz n- ésima primitiva da unidade, então se e somente se Se z não for primitivo, então implica, mas o inverso pode ser falso, como mostrado pelo exemplo a seguir. Se n = 4 , uma n- ésima raiz não primitiva da unidade é z = -1 , e um tem , embora

Seja z uma raiz n ésima primitiva da unidade. Um poder w = z k de z é uma raiz primitiva a ésima de unidade para

onde é o máximo divisor comum de n e k . Isso resulta do fato de que ka é o menor múltiplo de k que também é múltiplo de n . Em outras palavras, ka é o mínimo múltiplo comum de k e n . Assim

Assim, se k e n são coprimos , z k também é uma n- ésima raiz primitiva da unidade e, portanto, existem φ ( n ) (onde φ é a função totiente de Euler ) primitivas n ésimas raízes distintas da unidade. (Isso implica que, se n for um número primo, todas as raízes, exceto +1, são primitivas.)

Em outras palavras, se R ( n ) é o conjunto de todas as n- ésimas raízes da unidade e P ( n ) é o conjunto das raízes primitivas, R ( n ) é uma união disjunta de P ( n ) :

onde a notação significa que d passa por todos os divisores de n , incluindo 1 e n .

Como a cardinalidade de R ( n ) é n , e a de P ( n ) é φ ( n ) , isso demonstra a fórmula clássica

Propriedades do grupo

Grupo de todas as raízes da unidade

O produto e o inverso multiplicativo de duas raízes da unidade também são raízes da unidade. Na verdade, se x m = 1 e y n = 1 , então ( x -1 ) m = 1 , e ( xy ) k = 1 , onde k é o menor múltiplo comum de m e n .

Portanto, as raízes da unidade formam um grupo abeliano sob multiplicação. Este grupo é o subgrupo de torção do grupo de círculo .

Grupo de n º raízes da unidade

O produto e o inverso multiplicativo das duas n- ésimas raízes da unidade também são n- ésimas raízes da unidade. Portanto, o n th raízes de forma a unidade um grupo sob multiplicação.

Dada uma n- ésima raiz primitiva de unidade ω , as outras n- ésimas raízes são potências de ω . Isto significa que o grupo dos n th raízes da unidade é um grupo cíclico . Vale ressaltar que o termo grupo cíclico originou-se do fato desse grupo ser um subgrupo do grupo círculo .

Grupo de Galois do primitivo n th raízes da unidade

Let Ser a extensão de campo dos números racionais gerados por uma primitiva n- ésima raiz de unidade ω . Como cada n- ésima raiz de unidade é uma potência de ω , o campo contém todas as n- ésimas raízes de unidade e é uma extensão de Galois de

Se k é um inteiro, ω k é uma raiz n- ésima primitiva da unidade se e somente se k e n são coprimos . Neste caso, o mapa

induz um automorfismo de , que mapeia cada n- ésima raiz de unidade com sua k- ésima potência. Todo automorfismo de é obtido dessa forma, e esses automorfismos formam o grupo de Galois de sobre o campo dos racionais.

As regras de exponenciação implicam que a composição de dois desses automorfismos é obtida pela multiplicação dos expoentes. Segue-se que o mapa

define um isomorfismo de grupo entre as unidades do anel de inteiros módulo n e o grupo de Galois de

Isso mostra que esse grupo de Galois é abeliano e, portanto, implica que as raízes primitivas da unidade podem ser expressas em termos de radicais.

Expressão trigonométrica

As 3ª raízes da unidade
Gráfico de z 3 - 1 , no qual um zero é representado pela cor preta. Consulte Coloração de domínio para interpretação.
Gráfico de z 5 - 1 , no qual um zero é representado pela cor preta.

A fórmula de De Moivre , que é válida para todos os reais xe inteiros n , é

Definição x = /ndá uma raiz n- ésima primitiva de unidade, obtém-se

mas

para k = 1, 2, ..., n - 1 . Em outras palavras,

é uma raiz n ésima primitiva da unidade.

Esta fórmula mostra que no plano complexo o n th raízes da unidade estão nos vértices de um regulares n polígono -sided inscrito no círculo unitário , com um vértice no 1. (Veja as parcelas para n = 3 e n = 5 em à direita.) Este fato geométrico explica o termo "ciclotômico" em frases como campo ciclotômico e polinômio ciclotômico ; vem das raízes gregas " cyclo " (círculo) mais " tomos " (cortar, dividir).

Fórmula de Euler

que é válido para tudo real x , pode ser usado para colocar a fórmula para o n º raízes da unidade no formulário

Segue-se da discussão na seção anterior que esta é uma raiz n -ésima primitiva se e somente se a fraçãok/nestá em termos mais baixos, ou seja, que k e n são coprimos.

Expressão algébrica

O n th raízes da unidade são, por definição, as raízes do polinómio x n - 1 , e são, portanto, os números algébricos . Como este polinômio não é irredutível (exceto para n = 1 ), as n- ésimas raízes primitivas da unidade são raízes de um polinômio irredutível de grau inferior, denominado polinômio ciclotômico , e freqüentemente denotado por Φ n . O grau de Φ n é dado pela função totiente de Euler , que conta (entre outras coisas) o número de n- ésimas raízes primitivas da unidade. As raízes de Φ n são exatamente as n- ésimas raízes primitivas da unidade.

A teoria de Galois pode ser usada para mostrar que polinômios ciclotômicos podem ser convenientemente resolvidos em termos de radicais. (A forma trivial não é conveniente, porque contém raízes não primitivas, como 1, que não são raízes do polinômio ciclotômico, e porque não dá as partes reais e imaginárias separadamente.) Isso significa que, para cada positivo inteiro n , existe uma expressão construída a partir de inteiros por extrações, adições, subtrações, multiplicações e divisões de raiz (nada mais), de modo que as n ésimas raízes primitivas da unidade são exatamente o conjunto de valores que podem ser obtidos escolhendo valores para as extrações de raiz ( k valores possíveis para uma k- ésima raiz). (Para obter mais detalhes, consulte § Campos ciclotômicos , abaixo.)

Gauss provou que um primitivo n º raiz da unidade pode ser expressa usando apenas quadrado raízes , adição, subtração, multiplicação e divisão se e somente se é possível construir com régua e compasso do normal n Gon . Esse é o caso se e somente se n for uma potência de dois ou o produto de uma potência de dois e os primos de Fermat que são todos diferentes.

Se z é uma n- ésima raiz primitiva da unidade, o mesmo é verdadeiro para 1 / z , e é duas vezes a parte real de z . Em outras palavras, Φ n é um polinômio recíproco , o polinômio que tem r como raiz pode ser deduzido de Φ n pela manipulação padrão em polinômios recíprocos, e as n- ésimas raízes primitivas da unidade podem ser deduzidas das raízes de resolvendo a equação quadrática Ou seja, a parte real da raiz primitiva é e sua parte imaginária é

O polinômio é um polinômio irredutível cujas raízes são todas reais. Seu grau é uma potência de dois, se e somente se n é um produto de uma potência de dois por um produto (possivelmente vazio) de números primos de Fermat distintos, e o n -gon regular é construtível com compasso e régua. Caso contrário, é solucionável em radicais, mas estamos no casus irreducibilis , ou seja, toda expressão das raízes em termos de radicais envolve radicais não reais .

Expressões explícitas em graus baixos

  • Para n = 1 , o polinômio ciclotômico é Φ 1 ( x ) = x - 1 Portanto, a única raiz primitiva da unidade é 1, que é uma n- ésima raiz não primitiva da unidade para cada n maior que 1.
  • Como Φ 2 ( x ) = x + 1 , a única segunda raiz primitiva (quadrada) da unidade é –1, que também é uma n- ésima raiz não primitiva da unidade para cada n par > 2 . Com o caso anterior, isso completa a lista das raízes reais da unidade.
  • Como Φ 3 ( x ) = x 2 + x + 1 , as raízes primitivas do terceiro (cubo) da unidade, que são as raízes deste polinômio quadrático , são
  • Como Φ 4 ( x ) = x 2 + 1 , os dois quarta raízes primitivas de unidade são i e - i .
  • Como Φ 5 ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , as quatro quintas raízes primitivas da unidade são as raízes deste polinômio quártico , que pode ser explicitamente resolvido em termos de radicais, dando origem às raízes
onde pode assumir os dois valores 1 e –1 (o mesmo valor nas duas ocorrências).
  • Como Φ 6 ( x ) = x 2 - x + 1 , existem duas raízes sextas primitivas da unidade, que são as negativas (e também as raízes quadradas) das duas raízes cúbicas primitivas:
  • Como 7 não é um número primo de Fermat, as sétimas raízes da unidade são as primeiras que requerem raízes cúbicas . Existem 6 sétimas raízes primitivas da unidade, que são conjugados de complexos de pares . A soma de uma raiz e seu conjugado é o dobro de sua parte real. Essas três somas são as três raízes reais do polinômio cúbico e as sétimas raízes primitivas da unidade são
onde r passa pelas raízes do polinômio acima. Como para todo polinômio cúbico, essas raízes podem ser expressas em termos de raízes quadradas e cúbicas. No entanto, como essas três raízes são todas reais, isso é casus irreducibilis , e qualquer expressão envolve raízes cúbicas não reais.
  • Como Φ 8 ( x ) = x 4 + 1 , as quatro raízes primitivas oitavas da unidade são as raízes quadradas das quartas raízes primitivas, ± i . Eles são assim

Periodicidade

Se z é uma raiz n- ésima primitiva da unidade, então a sequência de poderes

…,  Z −1 ,  z 0 ,  z 1 ,…

é n -periódico (porque z j  +  n = z jz n = z j ⋅1 = z j para todos os valores de j ), e as n sequências de potências

s k :…,  z k ⋅ (−1) ,  z k ⋅0 ,  z k ⋅1 ,…

para k = 1,…,  n são todos n -periódicos (porque z k ⋅ ( j  +  n ) = z kj ). Além disso, o conjunto { s 1 , ...,  s n } dessas sequências é uma base do espaço linear de todas as sequências n- periódicas. Isso significa que qualquer seqüência n- periódica de números complexos

…,  X −1  ,  x 0  ,  x 1 ,…

pode ser expresso como uma combinação linear de poderes de uma raiz n- ésima primitiva da unidade:

para alguns números complexos X 1 ,…,  X n e todo inteiro j .

Esta é uma forma de análise de Fourier . Se j é uma variável de tempo (discreta), então k é uma frequência e X k é uma amplitude complexa .

Escolhendo para o primitivo n º raiz da unidade

permite que x j seja expresso como uma combinação linear de cos e sin :

Esta é uma transformada discreta de Fourier .

Soma

Deixe- SR ( n ) é a soma de todos os n º raízes da unidade, primitivo ou não. Então

Esta é uma consequência imediata das fórmulas de Vieta . Na verdade, as n- ésimas raízes da unidade sendo as raízes do polinômio X n - 1 , sua soma é o coeficiente de grau n - 1 , que é 1 ou 0, conforme n = 1 ou n > 1 .

Alternativamente, para n = 1 não há nada a provar. Para n > 1 existe uma raiz z ≠ 1 . Como o conjunto S de todas as n- ésimas raízes da unidade é um grupo, z S = S , então a soma satisfaz z SR ( n ) = SR ( n ) , de onde SR ( n ) = 0 .

Seja SP ( n ) a soma de todas as n- ésimas raízes primitivas da unidade. Então

onde μ ( n ) é a função de Möbius .

Na seção Propriedades elementares , foi mostrado que se R ( n ) é o conjunto de todas as n- ésimas raízes da unidade e P ( n ) é o conjunto das primitivas, R ( n ) é uma união disjunta de P ( n ) :

Isso implica

A aplicação da fórmula de inversão de Möbius

Nesta fórmula, se d < n , então SR (n/d) = 0 , e para d = n : SR (n/d) = 1 . Portanto, SP ( n ) = μ ( n ) .

Este é o caso especial c N (1) de de Ramanujan soma c n ( s ) , definida como a soma de a s th poderes do primitivo n th raízes da unidade:

Ortogonalidade

Da fórmula de soma segue uma relação de ortogonalidade : para j = 1,…,  n e j ′ = 1,…,  n

onde δ é o delta de Kronecker e Z é qualquer primitivo n th raiz da unidade.

A n  ×  n matriz de L cujo ( j ,  k ) th entrada é

define uma transformada discreta de Fourier . Calcular a transformação inversa usando eliminação gaussiana requer operações O ( n 3 ) . No entanto, segue da ortogonalidade que U é unitário . Isso é,

e, portanto, o inverso de U é simplesmente o conjugado complexo. (Este fato foi notado pela primeira vez por Gauss ao resolver o problema da interpolação trigonométrica ). A aplicação direta de U ou seu inverso a um dado vetor requer O ( n 2 ) operações. Os algoritmos de transformação rápida de Fourier reduzem o número de operações ainda mais para O ( n  log  n ) .

Polinômios ciclotômicos

Os zeros do polinômio

são precisamente as n- ésimas raízes da unidade, cada uma com multiplicidade 1. O n- ésimo polinômio ciclotômico é definido pelo fato de que seus zeros são precisamente as n- ésimas raízes primitivas da unidade, cada uma com multiplicidade 1.

onde z 1 ,  z 2 ,  z 3 ,…, z φ ( n ) são as n- ésimas raízes primitivas da unidade e φ ( n ) é a função totiente de Euler . O polinômio Φ n ( z ) tem coeficientes inteiros e é um polinômio irredutível sobre os números racionais (isto é, ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau positivo com coeficientes racionais). O caso do primo n , que é mais fácil do que a afirmação geral, segue aplicando o critério de Eisenstein ao polinômio

e expandindo por meio do teorema binomial.

Cada n- ésima raiz de unidade é uma d- ésima raiz primitiva de unidade para exatamente um divisor positivo d de n . Isso implica que

Esta fórmula representa a fatoração do polinômio z n - 1 em fatores irredutíveis.

Aplicar a inversão de Möbius à fórmula dá

onde μ é a função de Möbius . Portanto, os primeiros polinômios ciclotômicos são

Φ 1 ( z ) = z - 1
Φ 2 ( z ) = ( z 2 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z + 1
Φ 3 ( z ) = ( z 3 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z 2 + z + 1
Φ 4 ( z ) = ( z 4 - 1) ⋅ ( z 2 - 1) −1 = z 2 + 1
Φ 5 ( z ) = ( z 5 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
Φ 6 ( z ) = ( z 6 - 1) ⋅ ( z 3 - 1) −1 ⋅ ( z 2 - 1) −1 ⋅ ( z - 1) = z 2 - z + 1
Φ 7 ( z ) = ( z 7 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
Φ 8 ( z ) = ( z 8 - 1) ⋅ ( z 4 - 1) −1 = z 4 + 1

Se p é um número primo , então todas as p ésimas raízes da unidade, exceto 1, são primitivas p ésimas raízes, e temos

Substituindo qualquer número inteiro positivo ≥ 2 por z , essa soma torna-se uma unidade de base z . Assim, uma condição necessária (mas não suficiente) para uma unidade ser primo é que seu comprimento seja primo.

Observe que, ao contrário do que parece, nem todos os coeficientes de todos os polinômios ciclotômicos são 0, 1 ou -1. A primeira exceção é Φ 105 . Não é surpresa que demore tanto para obter um exemplo, porque o comportamento dos coeficientes não depende tanto de n quanto de quantos fatores primos ímpares aparecem em n . Mais precisamente, pode ser mostrado que se n tem 1 ou 2 fatores primos ímpares (por exemplo, n = 150 ) então o n ésimo polinômio ciclotômico tem apenas coeficientes 0, 1 ou −1. Assim, o primeiro n concebível para o qual poderia haver um coeficiente além de 0, 1 ou −1 é um produto dos três menores primos ímpares, e isso é 3⋅5⋅7 = 105 . Isso por si só não prova que o 105º polinômio tem outro coeficiente, mas mostra que é o primeiro que tem uma chance de funcionar (e então um cálculo dos coeficientes mostra que sim). Um teorema de Schur diz que existem polinômios ciclotômicos com coeficientes arbitrariamente grandes em valor absoluto. Em particular, se onde são primos ímpares e t é ímpar, então 1 - t ocorre como um coeficiente no n- ésimo polinômio ciclotômico.

Muitas restrições são conhecidas sobre os valores que os polinômios ciclotômicos podem assumir em valores inteiros. Por exemplo, se p é primo, então d  ∣ Φ p ( d ) se e somente d ≡ 1 (mod p ) .

Os polinômios ciclotômicos são solucionáveis ​​em radicais , pois as raízes da unidade são elas próprias radicais. Além disso, existem expressões radicais mais informativas para as n- ésimas raízes da unidade com a propriedade adicional de que todo valor da expressão obtido pela escolha dos valores dos radicais (por exemplo, sinais de raízes quadradas) é uma n- ésima raiz primitiva da unidade. Isso já foi mostrado por Gauss em 1797. Existem algoritmos eficientes para calcular tais expressões.

Grupos cíclicos

As n- ésimas raízes da unidade formam, sob a multiplicação, um grupo cíclico de ordem n e, de fato, esses grupos compreendem todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do campo de números complexos. Um gerador para este grupo cíclico é uma raiz n- ésima primitiva da unidade.

O n th raízes de forma a unidade um irredutível de representação de qualquer grupo cíclico de ordem n . A relação de ortogonalidade também segue os princípios da teoria do grupo, conforme descrito em grupo de caracteres .

As raízes da unidade aparecem como entradas dos autovetores de qualquer matriz circulante , isto é, matrizes que são invariantes sob deslocamentos cíclicos, um fato que também segue da teoria da representação de grupo como uma variante do teorema de Bloch . Em particular, se uma matriz Hermitiana circulante é considerada (por exemplo, um Laplaciano unidimensional discretizado com limites periódicos), a propriedade de ortogonalidade segue imediatamente a ortogonalidade usual de autovetores de matrizes Hermitianas.

Campos ciclotômicos

Ao juntar uma n- ésima raiz de unidade primitiva para obter o n- ésimo campo ciclotômico Este campo contém todas as n- ésimas raízes de unidade e é o campo de divisão do n- ésimo polinômio ciclotômico sobre A extensão do campo tem grau φ ( n ) e seu Galois grupo é naturalmente isomórfico ao grupo multiplicativo de unidades do anel

Como o grupo de Galois é abeliano, esta é uma extensão abeliana . Cada subcampo de um campo ciclotômico é uma extensão abeliana dos racionais. Segue-se que cada n- ésima raiz de unidade pode ser expressa em termos de k -roots, com vários k não excedendo φ (n) . Nestes casos, a teoria de Galois pode ser escrita explicitamente em termos de períodos gaussianos : esta teoria das Disquisitiones Arithmeticae de Gauss foi publicada muitos anos antes de Galois.

Por outro lado, toda extensão abeliana dos racionais é um subcampo de um campo ciclotômico - este é o conteúdo de um teorema de Kronecker , geralmente chamado de teorema de Kronecker-Weber , porque Weber concluiu a prova.

Relação com inteiros quadráticos

No plano complexo , os pontos vermelhos são as quintas raízes da unidade, e os pontos pretos são as somas de uma quinta raiz da unidade e seu conjugado complexo.
No plano complexo , os cantos dos dois quadrados são as oitavas raízes da unidade

Para n = 1, 2 , ambas as raízes da unidade 1 e −1 são inteiros .

Para três valores de n , as raízes da unidade são inteiros quadráticos :

Para quatro outros valores de n , as raízes primitivas da unidade não são inteiros quadráticos, mas a soma de qualquer raiz da unidade com seu conjugado complexo (também uma n- ésima raiz da unidade) é um inteiro quadrático.

Para n = 5, 10 , nenhuma das raízes não reais da unidade (que satisfazem uma equação quártica ) é um inteiro quadrático, mas a soma z + z = 2  Re z de cada raiz com seu conjugado complexo (também uma raiz 5 de unidade) é um elemento do anel Z [1 + 5/2] ( D = 5 ). Para dois pares de 5 raízes não reais da unidade, essas somas são a razão áurea inversa e a razão áurea negativa .

Para n = 8 , para qualquer raiz de unidade z + z é igual a 0, ± 2 ou ± 2 ( D = 2 ).

Para n = 12 , para qualquer raiz de unidade, z + z é igual a 0, ± 1, ± 2 ou ± 3 ( D = 3 ).

Veja também

Notas

Referências