Grupo Galois - Galois group

Em matemática , na área de álgebra abstrata conhecida como teoria de Galois , o grupo de Galois de um certo tipo de extensão de campo é um grupo específico associado à extensão de campo. O estudo das extensões de campo e sua relação com os polinômios que lhes dão origem através dos grupos de Galois é chamado de teoria de Galois , assim chamada em homenagem a Évariste Galois que os descobriu pela primeira vez.

Para uma discussão mais elementar dos grupos de Galois em termos de grupos de permutação , consulte o artigo sobre a teoria de Galois .

Definição

Suponha que seja uma extensão do campo (escrito e lido como " E sobre F  "). Um automorfismo de é definido como um automorfismo de que se fixa pontualmente. Em outras palavras, um automorfismo de é um isomorfismo tal que para cada . O conjunto de todos os automorfismos de forma um grupo com a operação de composição de funções . Este grupo às vezes é denotado por${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle \ alpha: E \ to E}$${\ displaystyle \ alpha (x) = x}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F).}$

Se for uma extensão de Galois , então é chamado de grupo de Galois de e geralmente é denotado por . ${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F)}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F)}$

Se não for uma extensão de Galois, o grupo de Galois de às vezes é definido como , onde está o fechamento de Galois de . ${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (K / F)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$

Grupo de Galois de um polinômio

Outra definição do grupo de Galois vem do grupo de Galois de um polinômio . Se houver um campo tal que fatore como um produto de polinômios lineares ${\ displaystyle f \ in F [x]}$${\ displaystyle K / F}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x) = (x- \ alpha _ {1}) \ cdots (x- \ alpha _ {k}) \ in K [x]}$

sobre o campo , então o grupo de Galois do polinômio é definido como o grupo de Galois de onde é mínimo entre todos esses campos. ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle K / F}$${\ displaystyle K}$

Estrutura dos grupos de Galois

Teorema fundamental da teoria de Galois

Um dos teoremas de estrutura importantes da teoria de Galois vem do teorema fundamental da teoria de Galois . Isso afirma que dada uma extensão de Galois finita , há uma bijeção entre o conjunto de subcampos e os subgrupos Então, é dado pelo conjunto de invariantes de sob a ação de , então ${\ displaystyle K / k}$${\ displaystyle k \ subset E \ subset K}$${\ displaystyle H \ subset G.}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle E = K ^ {H} = \ {a \ in K: ga = a {\ text {onde}} g \ in H \}}$

Além disso, se é um subgrupo normal, então . E, inversamente, se for uma extensão de campo normal, o subgrupo associado em é um grupo normal. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G / H \ cong \ operatorname {Gal} (E / k)}$${\ displaystyle E / k}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (K / k)}$

Estrutura de treliça

Suponha que haja extensões de Galois com grupos de Galois. O campo com grupo de Galois tem uma injeção que é um isomorfismo sempre que . ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G_ {1}, G_ {2}.}$${\ displaystyle K_ {1} K_ {2}}$${\ displaystyle G = \ operatorname {Gal} (K_ {1} K_ {2} / k)}$${\ displaystyle G \ a G_ {1} \ vezes G_ {2}}$${\ displaystyle K_ {1} \ cap K_ {2} = k}$

Indução

Como corolário, isso pode ser induzido finitamente muitas vezes. Dadas as extensões de Galois onde há um isomorfismo dos grupos de Galois correspondentes: ${\ displaystyle K_ {1}, \ ldots, K_ {n} / k}$${\ displaystyle K_ {i + 1} \ cap (K_ {1} \ cdots K_ {i}) = k,}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (K_ {1} \ cdots K_ {n} / k) \ cong G_ {1} \ times \ cdots \ times G_ {n}.}$

Exemplos

Nos exemplos a seguir é um campo e são os campos de números complexos , reais e racionais , respectivamente. A notação F ( um ) indica a extensão do domínio obtido por adjacente um elemento de um para o campo F . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbb {C}, \ mathbb {R}, \ mathbb {Q}}$

Ferramentas computacionais

Cardinalidade do grupo Galois e o grau de extensão do campo

Uma das proposições básicas exigidas para determinar completamente os grupos de Galois de uma extensão de campo finita é a seguinte: Dado um polinômio , seja sua extensão de campo de divisão. Então, a ordem do grupo de Galois é igual ao grau de extensão do campo; isso é, ${\ displaystyle f (x) \ in F [x]}$${\ displaystyle E / F}$

${\ displaystyle | \ operatorname {Gal} (E / F) | = [E: F]}$

Critério de Eisenstein

Uma ferramenta útil para determinar o grupo de Galois de um polinômio vem do critério de Eisenstein . Se um polinômio se transforma em polinômios irredutíveis, o grupo de Galois de pode ser determinado usando os grupos de Galois de cada um, uma vez que o grupo de Galois de contém cada um dos grupos de Galois do${\ displaystyle f \ in F [x]}$${\ displaystyle f = f_ {1} \ cdots f_ {k}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}.}$

Grupo trivial

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (F / F)}$ é o grupo trivial que possui um único elemento, a saber, o automorfismo de identidade.

Outro exemplo de um grupo de Galois que é trivial é De fato, pode ser mostrado que qualquer automorfismo de deve preservar a ordem dos números reais e, portanto, deve ser a identidade. ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathbb {R} / \ mathbb {Q}).}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Considere o campo O grupo contém apenas o automorfismo de identidade. Isso ocorre porque não é uma extensão normal , uma vez que as outras duas raízes cúbicas de , ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (K / \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ tfrac {2 \ pi i} {3}} \ right) {\ sqrt [{3}] {2}}}$ e ${\ displaystyle \ exp \ left ({\ tfrac {4 \ pi i} {3}} \ right) {\ sqrt [{3}] {2}},}$

estão faltando na extensão - em outras palavras, K não é um campo de divisão .

Grupos abelianos finitos

O grupo Galois possui dois elementos, o automorfismo de identidade e o automorfismo de conjugação complexa . ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {C} / \ mathbb {R})}$

Extensões quadráticas

A extensão de campo de grau dois possui o grupo de Galois com dois elementos, o automorfismo de identidade e o automorfismo que troca √ 2 e - √ 2 . Este exemplo generaliza para um número primo${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}).}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}.}$

Produto de extensões quadráticas

Usando a estrutura de rede dos grupos de Galois, para números primos não iguais, o grupo de Galois é ${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ left ({\ sqrt {p_ {1}}}, \ ldots, {\ sqrt {p_ {k}}} \ right) / \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} \ left (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {p_ {1}}}, \ ldots, {\ sqrt {p_ {k}}}) / \ mathbb {Q} \ right ) \ cong \ operatorname {Gal} \ left (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {p_ {1}}}) / \ mathbb {Q} \ right) \ times \ cdots \ times \ operatorname {Gal} \ left (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {p_ {k}}}) / \ mathbb {Q} \ right) \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ times \ cdots \ times \ mathbb {Z} / 2}$

Extensões ciclotômicas

Outra classe útil de exemplos vem dos campos de divisão de polinômios ciclotômicos . Estes são polinômios definidos como ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod _ {\ begin {matriz} 1 \ leq k \ leq n \\\ gcd (k, n) = 1 \ end {matriz}} \ left (xe ^ {\ frac {2ik \ pi} {n}} \ right)}$

cujo grau é , função totiente de Euler em . Então, o campo de divisão acabou é e tem automorfismos enviando para relativamente primo para . Como o grau do campo é igual ao grau do polinômio, esses automorfismos geram o grupo de Galois. Se então ${\ displaystyle \ phi (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ zeta _ {n})}$${\ displaystyle \ sigma _ {a}}$${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ mapsto \ zeta _ {n} ^ {a}}$${\ displaystyle 1 \ leq a <n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}},}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} (\ zeta _ {n}) / \ mathbb {Q}) \ cong \ prod _ {a_ {i}} \ operatorname {Gal} \ left (\ mathbb {Q} (\ zeta _ {p_ {i} ^ {a_ {i}}}) / \ mathbb {Q} \ right)}$

Se for um primo , um corolário disso é ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} (\ zeta _ {p}) / \ mathbb {Q}) \ cong \ mathbb {Z} / (p-1)}$

Na verdade, qualquer grupo abeliano finito pode ser encontrado como o grupo de Galois de algum subcampo de uma extensão de campo ciclotômico pelo teorema de Kronecker-Weber .

Campos finitos

Outra classe útil de exemplos de grupos de Galois com grupos abelianos finitos vem de campos finitos. Se q é uma potência primária e se e denotam os campos de Galois de ordem e respectivamente, então é cíclico de ordem ne gerado pelo homomorfismo de Frobenius . ${\ displaystyle F = \ mathbb {F} _ {q}}$${\ displaystyle E = \ mathbb {F} _ {q ^ {n}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F)}$

Exemplos de grau 4

A extensão de campo é um exemplo de extensão de campo de graduação . Isso tem dois automorfismos, onde e. Como esses dois geradores definem um grupo de ordem , os quatro grupos de Klein , eles determinam todo o grupo de Galois. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle \ sigma, \ tau}$${\ displaystyle \ sigma ({\ sqrt {2}}) = - {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle \ tau ({\ sqrt {3}}) = - {\ sqrt {3}}.}$${\ displaystyle 4}$

Outro exemplo é dado a partir do campo de divisão do polinômio ${\ displaystyle E / \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle f (x) = x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}$

Nota porque as raízes são Há automorphisms ${\ displaystyle (x-1) f (x) = x ^ {5} -1,}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ exp \ left ({\ tfrac {2k \ pi i} {5}} \ right).}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma _ {l}: E \ to E \\\ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {5}} \ right) \ mapsto \ left (\ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {5}} \ right) \ right) ^ {l} \ end {cases}}}$

gerando um grupo de ordem . Uma vez que gera este grupo, o grupo Galois é isomórfico a . ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4}$

Grupos finitos não abelianos

Considere agora onde está uma raiz cúbica primitiva de unidade . O grupo é isomórfico a S ₃ , o grupo diédrico de ordem 6 , e L é na verdade o campo de divisão de mais${\ displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ omega),}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Grupo quaternion

O grupo Quaternion pode ser encontrado como o grupo Galois de uma extensão de campo de . Por exemplo, a extensão do campo ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ left ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {(2 + {\ sqrt {2}}) (3 + {\ sqrt {3 }})}}\direito)}$

tem o grupo de Galois prescrito.

Grupo simétrico de ordem principal

Se for um polinômio irredutível de grau primo com coeficientes racionais e exatamente duas raízes não reais, então o grupo de Galois de é o grupo simétrico completo${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle S_ {p}.}$

Por exemplo, é irredutível do critério de Eisenstein. Traçar o gráfico de com software gráfico ou papel mostra que ele tem três raízes reais, portanto, duas raízes complexas, mostrando que seu grupo de Galois é . ${\ displaystyle f (x) = x ^ {5} -4x + 2 \ in \ mathbb {Q} [x]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S_ {5}}$

Comparando grupos de Galois de extensões de campo de campos globais

Dada uma extensão de campo global (como ) oe uma classe de equivalência de avaliações em (como a avaliação -adic ), e em tal que suas conclusões forneçam uma extensão de campo de Galois${\ displaystyle K / k}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{5}] {3}}, \ zeta _ {5}) / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle K_ {w} / k_ {v}}$

de campos locais . Então, há uma ação induzida do grupo de Galois

${\ displaystyle G = \ operatorname {Gal} (K / k)}$

no conjunto de classes de equivalência de avaliações de modo que os preenchimentos dos campos sejam compatíveis. Isso significa que se houver uma isomórfica induzida de campos locais${\ displaystyle s \ in G}$

${\ displaystyle s_ {w}: K_ {w} \ para K_ {sw}}$

Uma vez que assumimos a hipótese que está acima (ou seja, há uma extensão do campo de Galois ), o morfismo do campo é na verdade um isomorfismo de -álgebras. Se tomarmos o subgrupo de isotropia de para a classe de avaliação${\ displaystyle w}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle K_ {w} / k_ {v}}$${\ displaystyle s_ {w}}$${\ displaystyle k_ {v}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle G_ {w} = \ {s \ in G: sw = w \}}$

então há uma superação do grupo de Galois global para o grupo de Galois local de forma que há um isomorfismo entre o grupo de Galois local e o subgrupo de isotropia. Diagramaticamente, isso significa

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Gal} (K / v) & \ twoheadrightarrow & \ operatorname {Gal} (K_ {w} / k_ {v}) \\\ downarrow && \ downarrow \\ G & \ twoheadrightarrow & G_ {w} \ end {matrix}}}$

onde as setas verticais são isomorfismos. Isso fornece uma técnica para construir grupos de Galois de campos locais usando grupos de Galois globais.

Grupos infinitos

Um exemplo básico de extensão de campo com um grupo infinito de automorfismos é , uma vez que contém toda extensão de campo algébrica . Por exemplo, as extensões de campo para um elemento sem quadrado têm, cada uma, um grau único de automorfismo, induzindo um automorfismo em${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathbb {C} / \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathbb {C} / \ mathbb {Q}).}$

Uma das classes mais estudadas do grupo de Galois infinito é o grupo de Galois absoluto , que é um grupo infinito e profinito definido como o limite inverso de todas as extensões finitas de Galois para um corpo fixo. O limite inverso é denotado ${\ displaystyle E / F}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {F}} / F): = \ varprojlim _ {E / F {\ text {separável finita}}} {\ operatorname {Gal} (E / F)}}$,

onde é o fechamento separável do campo . Observe que este grupo é um grupo topológico . Alguns exemplos básicos incluem e ${\ displaystyle {\ overline {F}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbb {F}}} _ {q} / \ mathbb {F} _ {q}) \ cong {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ cong \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}$.

Outro exemplo prontamente computável vem da extensão de campo contendo a raiz quadrada de cada primo positivo. Tem grupo Galois ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ ldots) / \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ ldots) / \ mathbb {Q}) \ cong \ prod _ {p} \ mathbb {Z} / 2}$,

que pode ser deduzido do limite profinito

${\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}) / \ mathbb {Q}) \ to \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}) \ to \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q})}$

e usando o cálculo dos grupos de Galois.

Propriedades

O significado de uma extensão sendo Galois é que ela obedece ao teorema fundamental da teoria de Galois : os subgrupos fechados (em relação à topologia de Krull ) do grupo de Galois correspondem aos campos intermediários da extensão do campo.

Se for uma extensão Galois, então pode ser fornecida uma topologia , chamada de topologia Krull, que a torna um grupo profinito . ${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F)}$

Veja também

• Teorema fundamental da teoria de Galois
• Grupo Galois Absoluto
• Representação de Galois
• Grupo Demushkin
• Grupo solucionável

Notas

Referências

• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Álgebra Básica I (2ª ed.). Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556

links externos

• "Galois group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Grupo Galois e o grupo Quaternion
• "Grupos Galois" . MathPages.com .
• Comparar os grupos galois globais e locais de uma extensão de campos numéricos
• Representações de Galois - Richard Taylor