Propriedade comutativa - Commutative property
Em matemática , uma operação binária é comutativa se a alteração da ordem dos operandos não altera o resultado. É uma propriedade fundamental de muitas operações binárias e muitas provas matemáticas dependem dela. Mais familiar como o nome da propriedade que diz algo como "3 + 4 = 4 + 3" ou "2 × 5 = 5 × 2" , a propriedade também pode ser usada em configurações mais avançadas. O nome é necessário porque existem operações, como divisão e subtração , que não o possuem (por exemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3" ); essas operações não são comutativas e, portanto, são chamadas de operações não comutativas . A ideia de que operações simples, como a multiplicação e adição de números, são comutativas, foi por muitos anos assumida implicitamente. Assim, essa propriedade não foi nomeada até o século 19, quando a matemática começou a se formalizar. Uma propriedade correspondente existe para relações binárias ; uma relação binária é dita simétrica se a relação se aplica independentemente da ordem de seus operandos; por exemplo, a igualdade é simétrica, pois dois objetos matemáticos iguais são iguais, independentemente de sua ordem.
Usos comuns
A propriedade comutativa (ou lei comutativa ) é uma propriedade geralmente associada a operações e funções binárias . Se a propriedade comutativa é válida para um par de elementos sob uma certa operação binária, então os dois elementos são considerados comutantes sob aquela operação.
Definições matemáticas
Uma operação binária em um conjunto S é chamada comutativa se
Diz-se que x comuta com y ou que x e y comuta sob se
Uma função binária às vezes é chamada de comutativa se
Exemplos
Operações comutativas na vida cotidiana
- Calçar meias assemelha-se a uma operação comutativa, pois a meia calçada primeiro não é importante. De qualquer forma, o resultado (com as duas meias) é o mesmo. Em contraste, vestir roupas íntimas e calças não é comutativo.
- A comutatividade de adição é observada no pagamento de um item à vista. Independentemente da ordem de entrega das notas, sempre dão o mesmo total.
Operações comutativas em matemática
Dois exemplos bem conhecidos de operações binárias comutativas:
- A adição de números reais é comutativa, uma vez que
- A multiplicação dos números reais é comutativa, uma vez que
Por exemplo, 3 × 5 = 5 × 3, uma vez que ambas as expressões são iguais a 15.
Como consequência direta disso, também é verdade que expressões na forma y% de z e z% de y são comutativas para todos os números reais y e z. Por exemplo, 64% de 50 = 50% de 64, já que ambas as expressões são iguais a 32 e 30% de 50% = 50% de 30%, já que ambas as expressões são iguais a 15%.
-
Algumas funções de verdade binárias também são comutativas, pois as tabelas de verdade para as funções são as mesmas quando se altera a ordem dos operandos.
Por exemplo, a função bicondicional lógica p ↔ q é equivalente a q ↔ p. Essa função também é escrita como p IFF q, ou como p ≡ q, ou como E pq .
A última forma é um exemplo da notação mais concisa no artigo sobre funções de verdade, que lista as dezesseis funções de verdade binárias possíveis, das quais oito são comutativas: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (AND) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .
- Outros exemplos de operações binárias comutativas incluem adição e multiplicação de números complexos , adição e multiplicação escalar de vetores e interseção e união de conjuntos .
Operações não comutativas na vida diária
-
A concatenação , o ato de unir cadeias de caracteres, é uma operação não comutativa. Por exemplo,
- EA + T = COMER ≠ TEA = T + EA
- Lavar e secar roupas assemelha-se a uma operação não comutativa; lavar e depois secar produz um resultado marcadamente diferente do que secar e depois lavar.
- Girar um livro 90 ° em torno de um eixo vertical e, em seguida, 90 ° em torno de um eixo horizontal produz uma orientação diferente de quando as rotações são realizadas na ordem oposta.
- Os movimentos de qualquer quebra-cabeça de combinação (como as torções de um cubo de Rubik , por exemplo) são não comutativos. Isso pode ser estudado usando a teoria dos grupos .
- Os processos de pensamento são não comutativos: uma pessoa fez uma pergunta (A) e, em seguida, uma pergunta (B) pode dar respostas diferentes para cada pergunta do que uma pessoa fez primeiro (B) e depois (A), porque fazer uma pergunta pode mudar o estado da pessoa da mente.
- O ato de vestir é comutativo ou não, dependendo dos itens. Vestir roupas íntimas e roupas normais não é comutativo. Calçar meia esquerda e direita é comutativo.
- O embaralhamento de um baralho não é comutativo. Dadas duas maneiras, A e B, de embaralhar um baralho de cartas, fazer A primeiro e depois B em geral não é o mesmo que fazer B primeiro e depois A.
Operações não comutativas em matemática
Algumas operações binárias não comutativas:
Divisão, subtração e exponenciação
A divisão é não comutativa, pois .
A subtração é não comutativa, pois . No entanto, é classificado mais precisamente como anticomutativo , uma vez que .
A exponenciação é não comutativa, pois .
Funções verdade
Algumas funções de verdade são não comutativas, uma vez que as tabelas de verdade para as funções são diferentes quando se altera a ordem dos operandos. Por exemplo, as tabelas de verdade para (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) e (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) são
UMA B A ⇒ B B ⇒ A F F T T F T T F T F F T T T T T
Composição de funções lineares
A composição de funções lineares dos números reais aos números reais é quase sempre não comutativa. Por exemplo, deixe e . Então
e
Isso também se aplica de forma mais geral para transformações lineares e afins de um espaço vetorial para ele mesmo (veja abaixo a representação de Matriz).
Multiplicação da matriz
A multiplicação de matrizes quadradas é quase sempre não comutativa, por exemplo:
Produto vetorial
O produto vetorial (ou produto cruzado ) de dois vetores em três dimensões é anti-comutativo ; ou seja, b × a = - ( a × b ).
História e etimologia
Registros do uso implícito da propriedade comutativa remontam aos tempos antigos. Os egípcios usavam a propriedade comutativa da multiplicação para simplificar os produtos de computação . Euclides é conhecido por ter assumido a propriedade comutativa da multiplicação em seu livro Elementos . Os usos formais da propriedade comutativa surgiram no final do século 18 e no início do século 19, quando os matemáticos começaram a trabalhar em uma teoria das funções. Hoje, a propriedade comutativa é uma propriedade bem conhecida e básica usada na maioria dos ramos da matemática.
O primeiro uso registrado do termo comutativo foi em um livro de memórias de François Servois em 1814, que usou a palavra comutativa para descrever funções que têm o que hoje é chamado de propriedade comutativa. A palavra é uma combinação da palavra francesa comutador que significa "substituir ou trocar" e o sufixo -ativo que significa "tendendo a", então a palavra significa literalmente "tendendo a substituir ou trocar". O termo apareceu então em inglês em 1838 no artigo de Duncan Farquharson Gregory intitulado "Sobre a natureza real da álgebra simbólica" publicado em 1840 no Transactions of the Royal Society of Edinburgh .
Lógica proposicional
Regra de substituição
Na lógica proposicional verdade-funcional, comutação , ou comutatividade referem-se a duas válidas as regras de substituição . As regras permitem transpor variáveis proposicionais dentro de expressões lógicas em provas lógicas . As regras são:
e
onde " " é um símbolo metalógico que representa "pode ser substituído em uma prova por".
Conectivos funcionais verdade
A comutatividade é uma propriedade de alguns conectivos lógicos da lógica proposicional funcional de verdade . As seguintes equivalências lógicas demonstram que a comutatividade é uma propriedade de conectivos particulares. A seguir estão tautologias funcionais de verdade .
- Comutatividade de conjunção
- Comutatividade de disjunção
- Comutatividade de implicação (também chamada de lei de permutação)
- Comutatividade de equivalência (também chamada de lei comutativa completa de equivalência)
Teoria de conjuntos
Na teoria de grupos e conjuntos , muitas estruturas algébricas são chamadas comutativas quando certos operandos satisfazem a propriedade comutativa. Em ramos superiores da matemática, como análise e álgebra linear, a comutatividade de operações bem conhecidas (como adição e multiplicação em números reais e complexos) é freqüentemente usada (ou implicitamente assumida) nas provas.
Estruturas matemáticas e comutatividade
- Um semigrupo comutativo é um conjunto dotado de uma operação total, associativa e comutativa.
- Se a operação adicionalmente tiver um elemento de identidade , temos um monóide comutativo
- Um grupo abeliano , ou grupo comutativo, é um grupo cuja operação de grupo é comutativa.
- Um anel comutativo é um anel cuja multiplicação é comutativa. (A adição em um anel é sempre comutativa.)
- Em um campo, tanto a adição quanto a multiplicação são comutativas.
Propriedades relacionadas
Associatividade
A propriedade associativa está intimamente relacionada à propriedade comutativa. A propriedade associativa de uma expressão contendo duas ou mais ocorrências do mesmo operador afirma que as operações de ordem são realizadas não afeta o resultado final, desde que a ordem dos termos não mude. Em contraste, a propriedade comutativa afirma que a ordem dos termos não afeta o resultado final.
A maioria das operações comutativas encontradas na prática também são associativas. No entanto, comutatividade não implica associatividade. Um contra-exemplo é a função
que é claramente conmutativo (trocando x e y não afecta o resultado), mas não é associativo (uma vez que, por exemplo, mas ). Mais de tais exemplos podem ser encontrados em magmas não associativos comutativos .
Distributiva
Simetria
Algumas formas de simetria podem estar diretamente ligadas à comutatividade. Quando uma operação comutativa é escrita como uma função binária , essa função é chamada de função simétrica , e seu gráfico no espaço tridimensional é simétrico ao longo do plano . Por exemplo, se a função f for definida como então é uma função simétrica.
Para relações, uma relação simétrica é análoga a uma operação comutativa, pois se uma relação R é simétrica, então .
Operadores não comutantes em mecânica quântica
Na mecânica quântica, conforme formulada por Schrödinger , as variáveis físicas são representadas por operadores lineares como (significando multiplicar por ) e . Esses dois operadores não comutam como pode ser visto considerando o efeito de suas composições e (também chamados de produtos de operadores) em uma função de onda unidimensional :
De acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg , se os dois operadores que representam um par de variáveis não comutam, então esse par de variáveis são mutuamente complementares , o que significa que não podem ser medidos simultaneamente ou conhecidos com precisão. Por exemplo, a posição e o momento linear na direção de uma partícula são representados pelos operadores e , respectivamente (onde é a constante de Planck reduzida ). Este é o mesmo exemplo, exceto para a constante , então novamente os operadores não comutam e o significado físico é que a posição e o momento linear em uma determinada direção são complementares.
Veja também
- Propriedade anticomutativa
- Centralizador e normalizador (também chamado de comutante)
- Diagrama comutativo
- Comutativo (neurofisiologia)
- Comutador
- Lei do paralelogramo
- Estatísticas de partículas (para comutatividade em física )
- Prova de que os axiomas de Peano implicam na comutatividade da adição de números naturais
- Propriedade quase comutativa
- Monóide de rastreamento
- Probabilidade de deslocamento
Notas
Referências
Livros
-
Axler, Sheldon (1997). Álgebra Linear Bem Feito, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- Teoria da álgebra abstrata. Abrange a comutatividade nesse contexto. Usa propriedade ao longo do livro.
- Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Introdução à lógica (12ª ed.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
-
Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
- Teoria da álgebra linear. Explica a comutatividade no capítulo 1 e a usa em todo o processo.
-
Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
- Teoria da álgebra abstrata. Usa propriedade de comutatividade em todo o livro.
- Hurley, Patrick J .; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12ª ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.
Artigos
-
Lumpkin, B. (1997). "O legado matemático do Egito Antigo - uma resposta a Robert Palter" (PDF) (manuscrito não publicado). Arquivado do original (PDF) em 13 de julho de 2007. Citar diário requer
|journal=
( ajuda )- Artigo que descreve a habilidade matemática de civilizações antigas.
-
Gay, Robins R .; Shute, Charles CD (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text . Museu Britânico. ISBN 0-7141-0944-4.
- Tradução e interpretação do Rhind Mathematical Papyrus .
Recursos online
- "Commutativity" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath ., Acessado em 8 de agosto de 2007.
- Definição de comutatividade e exemplos de operações comutativas
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Weisstein, Eric W. "Commute" . MathWorld ., Acessado em 8 de agosto de 2007.
- Explicação do termo comutar
-
"Yark" . Exemplos de operações não comutativas em PlanetMath ., Acessado em 8 de agosto de 2007
- Exemplos que comprovam algumas operações não comutativas
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O'Conner, JJ; Robertson, EF "História dos números reais" . MacTutor . Página visitada em 8 de agosto de 2007 .
- Artigo que dá a história dos números reais
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Cabillón, Julio; Miller, Jeff. "Primeiros usos conhecidos de termos matemáticos" . Página visitada em 22 de novembro de 2008 .
- Página que cobre os primeiros usos de termos matemáticos
-
O'Conner, JJ; Robertson, EF "biografia de François Servois" . MacTutor . Página visitada em 8 de agosto de 2007 .
- Biografia de François Servois, o primeiro a usar o termo