Álgebra de divisão - Division algebra

No campo da matemática chamado álgebra abstrata , uma álgebra de divisão é, grosso modo, uma álgebra sobre um campo em que a divisão , exceto por zero, é sempre possível.

Definições

Formalmente, começamos com uma álgebra diferente de zero D sobre um campo . Chamamos D uma álgebra divisão se por qualquer elemento um em D e qualquer elemento diferente de zero b em D existe precisamente um elemento x em D com um = bx e precisamente um elemento y em D de tal modo que um = yb .

Para álgebras associativas , a definição pode ser simplificada da seguinte forma: uma álgebra associativa diferente de zero sobre um campo é uma álgebra de divisão se e somente se ela tiver um elemento de identidade multiplicativo 1 e cada elemento diferente de zero a tiver um inverso multiplicativo (ou seja, um elemento x com ax = xa = 1 ).

Álgebras de divisão associativa

Os exemplos mais conhecidos de álgebras de divisão associativa são os reais de dimensão finita (isto é, álgebras sobre o campo R de números reais , que são de dimensão finita como um espaço vetorial sobre os reais). O teorema de Frobenius afirma que até o isomorfismo existem três dessas álgebras: os próprios reais (dimensão 1), o campo dos números complexos (dimensão 2) e os quatérnios (dimensão 4).

O pequeno teorema de Wedderburn afirma que se D é uma álgebra de divisão finita, então D é um corpo finito .

Sobre um campo algebricamente fechado K (por exemplo, os números complexos C ), não há álgebras de divisão associativa de dimensão finita, exceto o próprio K.

Álgebras de divisão associativa não têm divisores zero . Uma álgebra associativa unital de dimensão finita (sobre qualquer campo) é uma álgebra de divisão se e somente se não tiver divisores zero.

Sempre que A é uma álgebra associativa unital sobre o campo F e S é um módulo simples sobre A , então o anel de endomorfismo de S é uma álgebra de divisão sobre F ; toda álgebra de divisão associativa sobre F surge dessa maneira.

O centro de uma álgebra associativa divisão D sobre o campo K é um campo contendo K . A dimensão de tal álgebra sobre seu centro, se finita, é um quadrado perfeito : é igual ao quadrado da dimensão de um subcampo máximo de D sobre o centro. Dado um campo F , as equivalência Brauer classes de simples (contém ideais de dois lados única triviais) álgebras de divisão associativas, cujo centro é F e que são de dimensão finita sobre F pode ser transformado em um grupo, o grupo Brauer do campo F .

Uma maneira de construir álgebras de divisão associativa de dimensão finita sobre campos arbitrários é fornecida pelas álgebras de quaternion (ver também quaternions ).

Para álgebras de divisão associativa infinita, os casos mais importantes são aqueles em que o espaço tem alguma topologia razoável . Veja, por exemplo, álgebras de divisão normada e álgebras de Banach .

Não necessariamente álgebras de divisão associativa

Se a álgebra de divisão não for considerada associativa, geralmente alguma condição mais fraca (como alternatividade ou associatividade de potência ) é imposta. Veja álgebra sobre um campo para uma lista de tais condições.

Sobre os reais existem (até o isomorfismo) apenas duas álgebras de divisão comutativa finita unitária : os próprios reais e os números complexos. Obviamente, ambos são associativos. Para um exemplo não associativo, considere os números complexos com multiplicação definida tomando o conjugado complexo da multiplicação usual:

Esta é uma álgebra de divisão comutativa e não associativa de dimensão 2 sobre os reais e não possui elemento de unidade. Existem infinitamente muitas outras álgebras divisionais reais não isomórficas, comutativas, não associativas e de dimensão finita, mas todas têm dimensão 2.

Na verdade, toda álgebra de divisão comutativa real de dimensão finita é unidimensional ou bidimensional. Isso é conhecido como teorema de Hopf e foi provado em 1940. A prova usa métodos da topologia . Embora uma prova posterior tenha sido encontrada usando geometria algébrica , nenhuma prova algébrica direta é conhecida. O teorema fundamental da álgebra é um corolário do teorema de Hopf.

Deixando de lado a exigência de comutatividade, Hopf generalizou seu resultado: Qualquer álgebra de divisão real de dimensão finita deve ter dimensão uma potência de 2.

Trabalhos posteriores mostraram que, de fato, qualquer álgebra de divisão real de dimensão finita deve ter dimensão 1, 2, 4 ou 8. Isso foi provado independentemente por Michel Kervaire e John Milnor em 1958, novamente usando técnicas de topologia algébrica , em particular K -teoria . Adolf Hurwitz havia mostrado em 1898 que a identidade era válida apenas para as dimensões 1, 2, 4 e 8. (Veja o teorema de Hurwitz .) O desafio de construir uma álgebra de divisão de três dimensões foi enfrentado por vários matemáticos antigos. Kenneth O. May pesquisou essas tentativas em 1966.

Qualquer álgebra de divisão de dimensão finita real sobre os reais deve ser

  • isomorfo a R ou C se unitário e comutativo (equivalentemente: associativo e comutativo)
  • isomorfo aos quatérnions se não comutativo, mas associativo
  • isomórfico às octonions se não associativo, mas alternativo .

O seguinte é conhecido sobre a dimensão de uma álgebra de divisão de dimensão finita A sobre um campo K :

  • dim A = 1 se K for algebraicamente fechado ,
  • dim A = 1, 2, 4 ou 8 se K for realmente fechado , e
  • Se K é nem algebricamente nem verdadeira fechado, então existem infinitamente muitas dimensões em que não existem álgebras de divisão mais de K .

Veja também

Notas

  1. ^ Lam (2001), p. 203
  2. ^ Cohn (2003), Proposição 5.4.5, p. 150
  3. ^ Roger Penrose (2005). A estrada para a realidade . Vintage. ISBN   0-09-944068-7 . , p.202
  4. ^ Kenneth O. maio (1966) "A impossibilidade de uma divisão de álgebra de vetores no espaço tridimensional", American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 doi : 10.2307 / 2315349

Referências

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