Geometria Riemanniana - Riemannian geometry

Geometria
Projetando uma esfera em um plano
Contorno História
Galhos Euclidiana Não Euclidiano Elíptico Esférico Hiperbólico Geometria não arquimediana Projetiva Afim Sintético Analítico Algébrico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniana Simplético Diferencial discreto Complexo Finito Discreto / Combinatório Digital Convexo Computacional Fractal Incidência
Conceitos Recursos Dimensão Construções de régua e compasso Ângulo Curva Diagonal Ortogonalidade ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruência Similaridade Simetria
Zero-dimensional Apontar
Unidimensional Linha segmento raio Comprimento
Bidimensional Avião Área Polígono Triângulo Altitude Hipotenusa teorema de Pitágoras Paralelogramo Quadrado Retângulo Losango Rombóide Quadrilátero Trapézio Pipa Círculo Diâmetro Circunferência Área
Tridimensional Volume Cubo cubóide Cilindro Pirâmide Esfera
Quatro - / outra dimensão Tesseract Hiperesfera
Geômetras
pelo nome Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolônio Arquimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geômetras
por período AC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquimedes Apolônio 1-1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Nos Dias de Hoje Atiyah Gromov
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A geometria Riemanniana é o ramo da geometria diferencial que estuda variedades Riemannianas , variedades suaves com uma métrica Riemanniana , ou seja, com um produto interno no espaço tangente em cada ponto que varia suavemente de ponto a ponto. Isso dá, em particular, noções locais de ângulo , comprimento das curvas , área de superfície e volume . Destes, algumas outras quantidades globais podem ser derivadas integrando as contribuições locais.

A geometria riemanniana se originou com a visão de Bernhard Riemann expressa em sua palestra inaugural " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre as hipóteses nas quais a geometria se baseia.") É uma generalização muito ampla e abstrata do diferencial geometria das superfícies em R ³ . O desenvolvimento da geometria Riemanniana resultou na síntese de diversos resultados relativos à geometria de superfícies e ao comportamento das geodésicas sobre elas, com técnicas que podem ser aplicadas ao estudo de variedades diferenciáveis de dimensões superiores. Ele permitiu a formulação de Einstein da teoria geral de relatividade , feita profundo impacto sobre a teoria dos grupos e a teoria da representação , bem como a análise , e estimulou o desenvolvimento de algébrica e topologia diferencial .

Introdução

A geometria riemanniana foi apresentada pela primeira vez em geral por Bernhard Riemann no século XIX. Ele lida com uma ampla gama de geometrias cujas propriedades métricas variam de ponto a ponto, incluindo os tipos padrão de geometria não euclidiana .

Cada variedade suave admite uma métrica Riemanniana , que freqüentemente ajuda a resolver problemas de topologia diferencial . Ele também serve como um nível de entrada para a estrutura mais complicada de variedades pseudo-Riemannianas , que (em quatro dimensões) são os principais objetos da teoria da relatividade geral . Outras generalizações da geometria Riemanniana incluem a geometria Finsler .

Existe uma analogia próxima da geometria diferencial com a estrutura matemática de defeitos em cristais regulares. Deslocamentos e desclinações produzem torções e curvaturas.

Os artigos a seguir fornecem algum material introdutório útil:

• Tensor métrico
• Variedade Riemanniana
• Conexão Levi-Civita
• Curvatura
• Tensor de curvatura de Riemann
• Lista de tópicos de geometria diferencial
• Glossário de geometria riemanniana e métrica

Teoremas clássicos

O que se segue é uma lista incompleta dos teoremas mais clássicos da geometria Riemanniana. A escolha é feita em função da importância e elegância da formulação. A maioria dos resultados pode ser encontrada na monografia clássica de Jeff Cheeger e D. Ebin (veja abaixo).

As formulações dadas estão longe de ser muito exatas ou as mais gerais. Esta lista é voltada para aqueles que já conhecem as definições básicas e desejam saber do que tratam essas definições.

Teoremas gerais

1. Gauss-Bonnet O integral da curvatura de Gauss em um colector compacto de Riemannian 2-dimensional é igual a 2πχ ( H ) onde χ ( M ) indica a característica de Euler de M . Este teorema tem uma generalização para qualquer variedade Riemanniana de dimensão uniforme compacta, consulte o teorema de Gauss-Bonnet generalizado .
2. Teoremas de incorporação de Nash . Eles afirmam que toda variedade Riemanniana pode ser isometricamente embutida em um espaço euclidiano R ⁿ .

Geometria em grande

Em todos os teoremas a seguir, assumimos algum comportamento local do espaço (geralmente formulado usando a suposição de curvatura) para derivar algumas informações sobre a estrutura global do espaço, incluindo alguma informação sobre o tipo topológico da variedade ou sobre o comportamento dos pontos em distâncias "suficientemente grandes".

Curvatura seccional comprimida

1. Teorema da esfera . Se M é umavariedade Riemannianacompacta n- dimensionalsimplesmente conectadacom curvatura seccional estritamente comprimida entre 1/4 e 1, então M é difeomórfico a uma esfera.
2. Teorema da finitude de Cheeger. Dadas as constantes C , D e V , existem apenas finitamente muitas (até difeomorfismo) variedades Riemannianas compactas n- dimensionais com curvatura seccional | K | ≤ C , diâmetro ≤ D e o volume ≥ V .
3. Coletores quase planos de Gromov . Existe um ε _n > 0 tal que se umavariedade Riemanniana n- dimensional tem uma métrica com curvatura seccional | K | ≤ ε _ne diâmetro ≤ 1 então sua cobertura finita é difeomórfica a uma variedade nula .

Curvatura seccional limitada abaixo

1. Teorema da alma de Cheeger – Gromoll . Se M for uma variedade Riemanniana n- dimensional não compacta completa não curvada negativamente , então M contém uma subvariedade compacta totalmente geodésica S tal que M é difeomórfico ao feixe normal de S ( S é chamado de alma de M ). em particular, se M tem curvatura estritamente positiva em todos os lugares, então é difeomórfico para R ⁿ . G. Perelman em 1994 deu uma prova surpreendentemente elegante / curta da conjectura da alma: M é difeomórfico a R ⁿ se tiver curvatura positiva em apenas um ponto.
2. Teorema do número de Betti de Gromov. Há uma constante C = C ( N ) de tal forma que se M é um ligado compacto n Riemaniano multiplicado -dimensional com curvatura em corte positivo, então a soma dos seus números de Betti é no máximo C .
3. Teorema da finitude de Grove-Petersen. Constantes dadas C , D e V , existem apenas um número finito de tipos de homotopia compactas n variedades Riemannianas -dimensional com curvatura em corte K ≥ C , diâmetro ≤ D e o volume ≥ V .

Curvatura seccional limitada acima

1. O Cartan-Hadamard teorema indica que uma completa simplesmente ligado Riemaniano multiplicado M com curvatura em corte nonpositive é difeomórfico para o espaço euclidiano R ⁿ com n = dim M através do mapa exponencial em qualquer ponto. Isso implica que quaisquer dois pontos de uma variedade Riemanniana completa simplesmente conectada com curvatura seccional não positiva são unidos por uma geodésica única.
2. O fluxo geodésico de qualquer variedade Riemanniana compacta com curvatura seccional negativa é ergódico .
3. Se M é uma variedade Riemanniana completa com curvatura seccional limitada acima por uma constante k estritamente negativa, então é um espaço CAT ( k ) . Consequentemente, seu grupo fundamental Γ =  π ₁ ( M ) é Gromov hiperbólico . Isso tem muitas implicações para a estrutura do grupo fundamental:

• é finitamente apresentado ;
• a palavra problema para Γ tem uma solução positiva;
• o grupo Γ possui dimensão cohomológica virtual finita ;
• ele contém apenas finitamente muitas classes de conjugação de elementos de ordem finita ;
• os abelianos subgrupos de Γ são praticamente cíclico , de modo que ele não contenha um subgrupo isomorfo a Z × Z .

Curvatura de Ricci limitada abaixo

1. Teorema de Myers . Se uma variedade Riemanniana compacta tem curvatura de Ricci positiva, então seu grupo fundamental é finito.
2. Fórmula de Bochner . Se uma variedade n Riemanniana compactatem curvatura de Ricci não negativa, então seu primeiro número de Betti é no máximo n , com igualdade se e somente se a variedade Riemanniana for um toro plano.
3. Teorema de divisão . Se umavariedade Riemanniana n- dimensionalcompletatem curvatura de Ricci não negativa e uma linha reta (ou seja, uma geodésica que minimiza a distância em cada intervalo), então ela é isométrica para um produto direto da linha real e umRiemanniano( n -1) -dimensionalcompletovariedade com curvatura de Ricci não negativa.
4. Desigualdade de Bispo-Gromov . O volume de uma bola métrica de raio r em umavariedade Riemanniana n- dimensionalcompletacom curvatura de Ricci positiva tem volume no máximo igual ao volume de uma bola de mesmo raio r no espaço euclidiano.
5. Teorema da compactação de Gromov . O conjunto de todas as variedades Riemannianas com curvatura de Ricci positiva e diâmetro no máximo D é pré-compacto na métrica de Gromov-Hausdorff .

Curvatura de Ricci negativa

1. O grupo de isometria de uma variedade Riemanniana compacta com curvatura de Ricci negativa é discreto .
2. Qualquer variedade lisa de dimensão n ≥ 3 admite uma métrica Riemanniana com curvatura de Ricci negativa. ( Isso não é verdade para superfícies .)

Curvatura escalar positiva

1. O toro n- dimensional não admite métrica com curvatura escalar positiva.
2. Se o raio de injetividade de uma variedade Riemanniana n- dimensional compacta é ≥ π, então a curvatura escalar média é no máximo n ( n -1).

Veja também

• Forma do universo
• Introdução básica à matemática do espaço-tempo curvo
• Coordenadas normais
• Geometria sistólica
• Geometria de Riemann-Cartan na teoria de Einstein-Cartan (motivação)
• Superfície mínima de Riemann

Notas

Referências

Livros

• Berger, Marcel (2000), Riemannian Geometry Durante a Segunda Metade do Século XX , University Lecture Series, 17 , Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2052-4. (Fornece uma revisão histórica e pesquisa, incluindo centenas de referências.)
• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008), Teoremas de comparação em geometria Riemanniana , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing; Reimpressão revisada do original de 1975.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), geometria Riemanniana , Universitext (3ª ed.), Berlin: Springer-Verlag.
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Petersen, Peter (2006), Riemannian Geometry , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos e Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN  978-3-319-60039-0

Papéis

• Brendle, Simon ; Schoen, Richard M. (2007), classificação dos colectores com curvaturas fracamente 1/4-comprimidas , Arxiv : 0705.3963 , bibcode : 2007arXiv0705.3963B

links externos

• Geometria Riemanniana por VA Toponogov na Encyclopedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. "Riemannian Geometry" . MathWorld .