Teoria dos números transcendentais - Transcendental number theory

A teoria dos números transcendentais é um ramo da teoria dos números que investiga os números transcendentais (números que não são soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes racionais ), tanto de maneiras qualitativas quanto quantitativas.

Transcendência

Artigo principal: Número transcendental

O teorema fundamental da álgebra nos diz que se tivermos um polinômio não constante com coeficientes racionais (ou equivalentemente, limpando denominadores , com coeficientes inteiros ), então esse polinômio terá uma raiz nos números complexos . Ou seja, para qualquer polinômio P não constante com coeficientes racionais, haverá um número complexo α tal que P (α) = 0. A teoria da transcendência está preocupada com a questão inversa: dado um número complexo α, existe um polinômio P com coeficientes racionais tais que P (α) = 0? Se esse polinômio não existir, o número é chamado de transcendental.

De maneira mais geral, a teoria lida com a independência algébrica dos números. Um conjunto de números {α 1 , α 2 , ..., α n } é denominado algebricamente independente sobre um campo K se não houver polinômio P diferente de zero em n variáveis ​​com coeficientes em K tais que P (α 1 , α 2 , …, Α n ) = 0. Portanto, descobrir se um determinado número é transcendental é realmente um caso especial de independência algébrica onde n  = 1 e o campo K é o campo dos números racionais .

Uma noção relacionada é se existe uma expressão de forma fechada para um número, incluindo exponenciais e logaritmos, bem como operações algébricas. Existem várias definições de "forma fechada", e as questões sobre a forma fechada muitas vezes podem ser reduzidas a questões sobre a transcendência.

História

Aproximação por números racionais: Liouville a Roth

O uso do termo transcendental para se referir a um objeto que não é algébrico remonta ao século XVII, quando Gottfried Leibniz provou que a função seno não era uma função algébrica . A questão de saber se determinadas classes de números poderiam ser datas transcendentais volta para 1748, quando Euler afirmou que registrar o número um b não era algébrica de números racionais a e b fornecido b não é da forma b  =  um c por algum racional c .

A afirmação de Euler não foi provada até o século XX, mas quase cem anos depois de sua afirmação Joseph Liouville conseguiu provar a existência de números que não são algébricos, algo que até então não se sabia ao certo. Seus artigos originais sobre o assunto na década de 1840 esboçaram argumentos usando frações contínuas para construir números transcendentais. Mais tarde, na década de 1850, ele deu uma condição necessária para que um número fosse algébrico e, portanto, uma condição suficiente para que um número fosse transcendental. Esse critério de transcendência não era forte o suficiente para ser necessário também e, de fato, falha em detectar que o número e é transcendental. Mas seu trabalho forneceu uma classe maior de números transcendentais, agora conhecidos como números de Liouville em sua homenagem.

O critério de Liouville dizia essencialmente que os números algébricos não podem ser muito bem aproximados por números racionais. Portanto, se um número pode ser muito bem aproximado por números racionais, ele deve ser transcendental. O significado exato de "muito bem aproximado" na obra de Liouville se relaciona a um certo expoente. Ele mostrou que se α é um número algébrico de grau d  ≥ 2 e ε é qualquer número maior que zero, então a expressão

pode ser satisfeito apenas por um número finito de números racionais p / q . Usar isso como critério de transcendência não é trivial, pois é preciso verificar se existem infinitas soluções p / q para cada d  ≥ 2.

No século XX, o trabalho de Axel Thue , Carl Siegel e Klaus Roth reduziu o expoente no trabalho de Liouville de d  + ε para d / 2 + 1 + ε e, finalmente, em 1955, para 2 + ε. Este resultado, conhecido como teorema Thue-Siegel-Roth , é ostensivamente o melhor possível, uma vez que se o expoente 2 + ε for substituído por apenas 2, o resultado não é mais verdadeiro. No entanto, Serge Lang conjecturou uma melhora no resultado de Roth; em particular, ele conjecturou que q 2 + ε no denominador do lado direito poderia ser reduzido para q 2  log ( q ) 1 + ε .

O trabalho de Roth encerrou efetivamente o trabalho iniciado por Liouville, e seu teorema permitiu aos matemáticos provar a transcendência de muitos outros números, como a constante de Champernowne . O teorema ainda não é forte o suficiente para detectar todos os números transcendentais, entretanto, e muitas constantes famosas incluindo e e π não são ou não são conhecidas por serem muito bem aproximadas no sentido acima.

Funções auxiliares: Hermite para Baker

Felizmente, outros métodos foram introduzidos no século XIX para lidar com as propriedades algébricas de e e , conseqüentemente, de π por meio da identidade de Euler . Este trabalho centrou-se na utilização da chamada função auxiliar . Essas são funções que normalmente têm muitos zeros nos pontos em consideração. Aqui, "muitos zeros" podem significar muitos zeros distintos, ou apenas um zero, mas com alta multiplicidade , ou mesmo muitos zeros, todos com alta multiplicidade. Charles Hermite usou funções auxiliares que aproximam as funções e kx para cada número natural k a fim de provar a transcendência de e em 1873. Seu trabalho foi desenvolvido por Ferdinand von Lindemann na década de 1880 para provar que e α é transcendental para valores diferentes de zero números algébricos α. Em particular, isso provou que π é transcendental, visto que e π i é algébrico e, portanto, respondeu negativamente ao problema da antiguidade quanto à possibilidade de quadrar o círculo . Karl Weierstrass desenvolveu seu trabalho ainda mais e, eventualmente, provou o teorema de Lindemann-Weierstrass em 1885.

Em 1900, David Hilbert apresentou sua famosa coleção de problemas . O sétimo deles , e um dos mais difíceis na estimativa de Hilbert, questionado sobre a transcendência de números da forma um b , onde a e b são algébrica, um não zero ou um é, e b é irracional . Na década de 1930, Alexander Gelfond e Theodor Schneider provaram que todos esses números eram de fato transcendentais, usando uma função auxiliar não explícita, cuja existência foi concedida pelo lema de Siegel . Esse resultado, o teorema de Gelfond-Schneider , provou a transcendência de números como e π e a constante de Gelfond-Schneider .

O próximo grande resultado nesse campo ocorreu na década de 1960, quando Alan Baker fez progresso em um problema colocado por Gelfond em formas lineares em logaritmos . O próprio Gelfond conseguiu encontrar um limite inferior não trivial para a quantidade

onde todas as quatro incógnitas são algébricas, sendo os αs nem zero nem um e os βs irracionais. No entanto, encontrar limites inferiores semelhantes para a soma de três ou mais logaritmos havia escapado a Gelfond. A prova do teorema de Baker continha tais limites, resolvendo o problema do número de classe de Gauss para a classe número um no processo. Este trabalho ganhou a medalha Baker the Fields por sua utilização na resolução de equações Diofantinas . Do ponto de vista da teoria dos números puramente transcendental, Baker provou que se α 1 , ..., α n são números algébricos, nenhum deles zero ou um, e β 1 , ..., β n são números algébricos tais que 1, β 1 , ..., β n são linearmente independentes sobre os números racionais, então o número

é transcendental.

Outras técnicas: Cantor e Zilber

Na década de 1870, Georg Cantor começou a desenvolver a teoria dos conjuntos e, em 1874, publicou um artigo provando que os números algébricos podiam ser colocados em correspondência um a um com o conjunto de números naturais e, portanto, que o conjunto de números transcendentais deve seja incontável . Mais tarde, em 1891, Cantor usou seu argumento diagonal mais familiar para provar o mesmo resultado. Embora o resultado de Cantor seja freqüentemente citado como sendo puramente existencial e, portanto, inutilizável para construir um único número transcendental, as provas em ambos os artigos mencionados fornecem métodos para construir números transcendentais.

Enquanto Cantor usou a teoria dos conjuntos para provar a plenitude dos números transcendentais, um desenvolvimento recente foi o uso da teoria do modelo nas tentativas de provar um problema não resolvido na teoria dos números transcendentais. O problema é determinar o grau de transcendência do campo

para números complexos x 1 , ..., x n que são linearmente independentes sobre os números racionais. Stephen Schanuel conjecturou que a resposta é pelo menos n , mas nenhuma prova é conhecida. Em 2004, porém, Boris Zilber publicou um artigo que usava técnicas de modelagem para criar uma estrutura que se comporta de maneira muito semelhante aos números complexos equipados com as operações de adição, multiplicação e exponenciação. Além disso, nessa estrutura abstrata, a conjectura de Schanuel realmente se mantém. Infelizmente, ainda não se sabe que essa estrutura é de fato igual aos números complexos com as operações mencionadas; poderia existir alguma outra estrutura abstrata que se comporta de forma muito semelhante aos números complexos, mas onde a conjectura de Schanuel não se sustenta. Zilber forneceu vários critérios que provariam que a estrutura em questão era C , mas não conseguiu provar o chamado axioma de Fechamento Exponencial Forte. O caso mais simples desse axioma já foi provado, mas uma prova de que ele se sustenta em toda a generalidade é necessária para completar a prova da conjectura.

Abordagens

Um problema típico nesta área da matemática é descobrir se um determinado número é transcendental. Cantor usou um argumento de cardinalidade para mostrar que existem apenas muitos números algébricos contáveis e, portanto, quase todos os números são transcendentais. Os números transcendentais, portanto, representam o caso típico; mesmo assim, pode ser extremamente difícil provar que um determinado número é transcendental (ou mesmo simplesmente irracional).

Por esta razão, a teoria da transcendência freqüentemente trabalha para uma abordagem mais quantitativa. Assim, dado um determinado número complexo α, pode-se perguntar quão próximo α está de ser um número algébrico. Por exemplo, se alguém supõe que o número α é algébrico, então pode-se mostrar que ele deve ter grau muito alto ou um polinômio mínimo com coeficientes muito grandes? Em última análise, se for possível mostrar que nenhum grau finito ou tamanho de coeficiente é suficiente, então o número deve ser transcendental. Uma vez que um número α é transcendental se e somente se P (α) ≠ 0 para cada polinômio diferente de zero P com coeficientes inteiros, este problema pode ser abordado tentando encontrar limites inferiores da forma

onde o lado direito é alguma função positiva dependendo de alguma medida A do tamanho dos coeficientes de P , e seu grau d , e tal que esses limites inferiores se apliquem a todos P ≠ 0. Tal limite é chamado de medida de transcendência .

O caso de d  = 1 é o da aproximação diofantina "clássica" solicitando limites inferiores para

.

Os métodos da teoria da transcendência e da aproximação diofantina têm muito em comum: ambos usam o conceito de função auxiliar .

Resultados principais

O teorema de Gelfond-Schneider foi o principal avanço na teoria da transcendência no período 1900-1950. Na década de 1960, o método de Alan Baker em formas lineares em logaritmos de números algébricos reanimou a teoria da transcendência, com aplicações em vários problemas clássicos e equações diofantinas .

Classificação de Mahler

Kurt Mahler em 1932 repartiu os números transcendentes em 3 classes, chamado S , T , e L . A definição dessas classes baseia-se em uma extensão da ideia de um número de Liouville (citada acima).

Medida de irracionalidade de um número real

Uma maneira de definir um número de Liouville é considerar quão pequeno um dado número real x torna polinômios lineares | qx  -  p | sem torná-los exatamente 0. Aqui p , q são inteiros com | p |, | q | delimitada por um número inteiro positivo  H .

Seja m ( x , 1,  H ) o valor absoluto mínimo diferente de zero que esses polinômios tomam e tomam:

ω ( x , 1) é freqüentemente chamado de medida de irracionalidade de um número real  x . Para números racionais, ω ( x , 1) = 0 e é pelo menos 1 para números reais irracionais. Um número de Liouville é definido como tendo uma medida infinita de irracionalidade. O teorema de Roth diz que os números algébricos reais irracionais têm medida de irracionalidade 1.

Medida de transcendência de um número complexo

Em seguida, considere os valores dos polinômios em um número complexo x , quando esses polinômios têm coeficientes inteiros, grau no máximo n e altura no máximo H , com n , H sendo inteiros positivos.

Seja m ( x , n , H ) o valor absoluto mínimo diferente de zero que tais polinômios tomam em x e tomam:

Suponha que isso seja infinito para algum número inteiro positivo mínimo  n . Um número complexo x , neste caso, é chamado de número U de grau  n .

Agora podemos definir

ω ( x ) é freqüentemente chamado de medida de transcendência de  x . Se o ω ( x , n ) são delimitadas, depois ω ( x ) é finito, e x é chamado um número S . Se a ω ( x , n ) são finitos mas ilimitado, x é chamado de número T . x  é algébrico se e somente se ω ( x ) = 0.

Claramente, os números de Liouville são um subconjunto dos números U. William LeVeque em 1953 construiu números U de qualquer grau desejado. Os números de Liouville e, portanto, os números U são conjuntos incontáveis. Eles são conjuntos de medida 0.

Os números T também incluem um conjunto de medida 0. Demorou cerca de 35 anos para mostrar sua existência. Wolfgang M. Schmidt em 1968 mostrou que existem exemplos. No entanto, quase todos os números complexos são números S. Mahler provou que a função exponencial envia todos os números algébricos diferentes de zero para números S: isso mostra que e é um número S e dá uma prova da transcendência de π . Este número π não é conhecido por ser um número U. Muitos outros números transcendentais permanecem sem classificação.

Dois números x , y são chamados de dependentes algébricos se houver um polinômio diferente de zero P em dois indeterminados com coeficientes inteiros tais que P ( x ,  y ) = 0. Há um poderoso teorema ao qual dois números complexos que são dependentes algébricamente pertencem a mesma classe Mahler. Isso permite a construção de novos números transcendentais, como a soma de um número de Liouville com e ou  π .

O símbolo S provavelmente representava o nome do professor de Mahler, Carl Ludwig Siegel , e T e U são apenas as próximas duas letras.

Classificação equivalente de Koksma

Jurjen Koksma em 1939 propôs outra classificação baseada na aproximação por números algébricos.

Considere a aproximação de um número complexo x por números algébricas de grau ≤  n e altura ≤  H . Seja α um número algébrico desse conjunto finito tal que | x  - α | tem o valor mínimo positivo. Defina ω * ( x , H , n ) e ω * ( x , n ) por:

Se para um menor inteiro positivo n , ω * ( x , n ) é infinito, x é chamado de U * -número de grau  n .

Se os ω * ( x , n ) são limitados e não convergem para 0, x é chamado de número S * ,

Um número x é chamado de A * -number se ω * ( x , n ) convergir para 0.

Se os ω * ( x , n ) são todos finitos, mas ilimitados, x é chamado de T * -number ,

As classificações de Koksma e Mahler são equivalentes porque dividem os números transcendentais nas mesmas classes. Os números A * são os números algébricos.

Construção de LeVeque

Deixar

Pode ser mostrado que o n ° de raiz λ (um número Liouville) é um L-número de grau n .

Esta construção pode ser melhorada para criar uma família incontável de números U de grau n . Seja Z o conjunto que consiste em todas as outras potências de 10 na série acima para λ. O conjunto de todos os subconjuntos de Z é incontável. A exclusão de qualquer um dos subconjuntos de Z da série para λ cria incontáveis ​​muitos números de Liouville distintos, cujas n- ésimas raízes são números U de grau n .

Modelo

O supremo da sequência {ω ( x ,  n )} é chamado de tipo . Quase todos os números reais são números S do tipo 1, o que é mínimo para números S reais. Quase todos os números complexos são números S do tipo 1/2, que também é mínimo. As reivindicações de quase todos os números foram conjecturadas por Mahler e em 1965 provadas por Vladimir Sprindzhuk.

Problemas abertos

Embora o teorema de Gelfond-Schneider provasse que uma grande classe de números era transcendental, essa classe ainda era contável. Muitas constantes matemáticas conhecidas ainda não são consideradas transcendentais e, em alguns casos, nem mesmo se sabe se são racionais ou irracionais. Uma lista parcial pode ser encontrada aqui .

Um grande problema na teoria da transcendência é mostrar que um determinado conjunto de números é algebricamente independente, em vez de apenas mostrar que os elementos individuais são transcendentais. Portanto, embora saibamos que e e π são transcendentais, isso não implica que e  +  π seja transcendental, nem outras combinações dos dois (exceto e π , a constante de Gelfond , que é conhecida como transcendental). Outro grande problema é lidar com números que não estão relacionados à função exponencial. Os principais resultados na teoria da transcendência tendem a girar em torno de e e da função logaritmo, o que significa que métodos totalmente novos tendem a ser necessários para lidar com números que não podem ser expressos em termos desses dois objetos de uma forma elementar.

A conjectura de Schanuel resolveria o primeiro desses problemas de alguma forma, pois lida com a independência algébrica e, de fato, confirmaria que e + π é transcendental. No entanto, ele ainda gira em torno da função exponencial e, portanto, não lidaria necessariamente com números como a constante de Apéry ou a constante de Euler-Mascheroni . Outro problema não resolvido extremamente difícil é o chamado problema constante ou de identidade .

Notas

Referências

Leitura adicional