Limpando denominadores - Clearing denominators

Em matemática , o método de limpar denominadores , também chamado de limpar frações , é uma técnica para simplificar uma equação que equaciona duas expressões, cada uma sendo uma soma de expressões racionais - o que inclui frações simples .

Exemplo

Considere a equação

${\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {y} {15z}} = 1.}$

O menor múltiplo comum dos dois denominadores 6 e 15 z é 30 z , então um multiplica ambos os lados por 30 z :

${\ displaystyle 5xz + 2y = 30z. \,}$

O resultado é uma equação sem frações.

A equação simplificada não é totalmente equivalente ao original. Pois quando substituímos y = 0 e z = 0 na última equação, ambos os lados se simplificam para 0, então obtemos 0 = 0 , uma verdade matemática. Mas a mesma substituição aplicada à equação original resulta em x / 6 + 0/0 = 1 , o que é matematicamente sem sentido .

Descrição

Sem perda de generalidade , podemos assumir que o lado direito da equação é 0, uma vez que uma equação E ₁ = E ₂ pode ser reescrita equivalentemente na forma E ₁ - E ₂ = 0 .

Então, deixe a equação ter a forma

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = 0.}$

O primeiro passo é determinar um denominador comum D dessas frações - de preferência o mínimo denominador comum , que é o mínimo múltiplo comum de Q _i .

Isso significa que cada Q _i é um fator de D , então D = R _i Q _i para alguma expressão R _i que não é uma fração. Então

${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {R_ {i} Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} \ ,,}$

desde que R _i Q _i não assuma o valor 0 - nesse caso, também D é igual a 0.

Então nós temos agora

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {R_ { i} P_ {i}} {D}} = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0.}$

Desde que D não assuma o valor 0, a última equação é equivalente a

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0 \ ,,}$

em que os denominadores desapareceram.

Conforme mostrado pelas ressalvas, deve-se tomar cuidado para não introduzir zeros de D - vistos como uma função das incógnitas da equação - como soluções espúrias .

Exemplo 2

Considere a equação

${\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} + {\ frac {1} {x (x + 2)}} - {\ frac {1} {(x + 1) (x + 2)}} = 0.}$

O mínimo denominador comum é x ( x + 1) ( x + 2) .

Seguir o método descrito acima resulta em

${\ displaystyle (x + 2) + (x + 1) -x = 0.}$

Simplificar ainda mais nos dá a solução x = −3 .

É facilmente verificado que nenhum dos zeros de x ( x + 1) ( x + 2) - a saber, x = 0 , x = −1 e x = −2 - é uma solução da equação final, portanto, não há soluções espúrias foram introduzidos.

Referências

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Álgebra: Beginning and Intermediate (3 ed.). Cengage Learning. p. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.