Número algébrico - Algebraic number

A raiz quadrada de 2 é um número algébrico igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de comprimento 1.

Um número algébrico é qualquer número complexo (incluindo números reais ) que é uma raiz de um polinômio diferente de zero (ou seja, um valor que faz com que o polinômio seja igual a 0) em uma variável com coeficientes racionais (ou equivalentemente, limpando denominadores , com coeficientes inteiros ).

Todos os inteiros e números racionais são algébricos, assim como todas as raízes de inteiros . Os números reais e complexos que não são algébricos, como π e e , são chamados de números transcendentais .

O conjunto de números complexos é incontável , mas o conjunto de números algébricos é contável e tem medida zero na medida de Lebesgue como um subconjunto dos números complexos. Nesse sentido, quase todos os números complexos são transcendentais .

Exemplos

  • Todos os números racionais são algébricos. Qualquer número racional, expresso como o quociente de um inteiro a e um (diferente de zero) número natural b , satisfaz a definição acima porque x = uma/bé a raiz de um polinômio diferente de zero, ou seja, bx - a .
  • Os números irracionais quadráticos de um polinômio quadrático ax 2 + bx + c com coeficientes inteiros a , b e c ) são números algébricos. Se o polinômio quadrático for monic ( a = 1 ), as raízes serão qualificadas posteriormente como inteiros quadráticos .
  • Um número construtível pode ser construído a partir de uma determinada unidade de comprimento usando régua e compasso. Inclui todas as raízes irracionais quadráticas, todos os números racionais e todos os números que podem ser formados a partir deles usando as operações aritméticas básicas e a extração de raízes quadradas. (Ao designar direções cardeais para 1, −1, i , e - i , números complexos como são considerados construtíveis.)
  • Qualquer expressão formada a partir de números algébricos usando qualquer combinação das operações aritméticas básicas e extração de n- ésimas raízes fornece outro número algébrico.
  • Raízes polinomiais que não podem ser expressas em termos de operações aritméticas básicas e extração de n- ésimas raízes (como as raízes de x 5 - x + 1 ). Isso acontece com muitos, mas não todos os polinômios de grau 5 ou superior.
  • Inteiros de Gauss , os números complexos um + bi para a qual tanto uma e b são números inteiros, são também números inteiros quadráticas.
  • Valores de funções trigonométricas de múltiplos racionais de π (exceto quando indefinido): isto é, os números trigonométricos , como cosπ/7, cos3 π/7, cos5 π/7satisfaz 8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 . O polinômio é irredutível sobre os racionais e, portanto, os três cossenos são números algébricos conjugados . Da mesma forma, bronzeado3 π/16, bronzeado7 π/16, bronzeado11 π/16, bronzeado15 π/16satisfazer o polinômio irredutível x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 , e assim são inteiros algébricos conjugados .
  • Alguns, mas não todos os números irracionais, são algébricos:
    • Os números e são algébricos, pois são raízes de polinômios x 2 - 2 e 8 x 3 - 3 , respectivamente.
    • A razão áurea φ é algébrica, pois é a raiz do polinômio x 2 - x - 1 .
    • Os números π e e não são números algébricos (consulte o teorema de Lindemann-Weierstrass ).

Propriedades

Números algébricos no plano complexo coloridos em graus (vermelho = 1, verde = 2, azul = 3, amarelo = 4)
  • Dado um número algébrico, existe um polinômio mônico único (com coeficientes racionais) de menor grau que tem o número como raiz. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo . Se seu polinômio mínimo tiver grau n , então o número algébrico é considerado de grau n . Por exemplo, todos os números racionais têm grau 1 e um número algébrico de grau 2 é um irracional quadrático .
  • Os números algébricos reais são densos em reais , ordenados linearmente e sem primeiro ou último elemento (e, portanto , isomórficos de ordem para o conjunto de números racionais).
  • O conjunto de números algébricos é contável (enumerável) e, portanto, sua medida de Lebesgue como um subconjunto dos números complexos é 0 (essencialmente, os números algébricos não ocupam espaço nos números complexos). Ou seja, "quase todos" os números reais e complexos são transcendentais.
  • Todos os números algébricos são computáveis e, portanto, definíveis e aritméticos .
  • Para números reais a e b , o número complexo a + bi é algébrica se e somente se ambos a e b são algébrica.

Campo

Números algébricos coloridos por graus (azul = 4, ciano = 3, vermelho = 2, verde = 1). O círculo unitário é preto.

A soma, diferença, produto e quociente (se o denominador for diferente de zero) de dois números algébricos é novamente algébrico, como pode ser demonstrado usando o resultante , e os números algébricos formam um campo (às vezes denotado por , mas que geralmente denota o adele anel ). Cada raiz de uma equação polinomial cujos coeficientes são números algébricos é novamente algébrica. Isso pode ser reformulado dizendo que o campo dos números algébricos é algebricamente fechado . Na verdade, é o menor campo algebricamente fechado contendo os racionais e por isso é chamado de fechamento algébrico dos racionais.

O próprio conjunto de números algébricos reais forma um campo.

Campos relacionados

Números definidos por radicais

Todos os números que podem ser obtidos a partir de inteiros usando um número finito de adições complexas , subtrações , multiplicações , divisões e tomando n th raízes onde n é um inteiro positivo ( expressões radicais ), são algébricos. O inverso, entretanto, não é verdade: existem números algébricos que não podem ser obtidos dessa maneira. Esses números são raízes de polinômios de grau 5 ou superior, um resultado da teoria de Galois (ver Equações quinticas e o teorema de Abel-Ruffini ). Por exemplo, a equação:

tem uma raiz real única que é dada por:

Onde

é a função hipergeométrica generalizada .

Número de formulário fechado

Os números algébricos são todos os números que podem ser definidos explícita ou implicitamente em termos de polinômios, a partir dos números racionais. Pode-se generalizar isso para " números de forma fechada ", que podem ser definidos de várias maneiras. Mais amplamente, todos os números que podem ser definidos explícita ou implicitamente em termos de polinômios, exponenciais e logaritmos são chamados de " números elementares " e incluem os números algébricos, além de alguns números transcendentais. Mais especificamente , pode-se considerar os números definidos explicitamente em termos de polinômios, exponenciais e logaritmos - isso não inclui todos os números algébricos, mas inclui alguns números transcendentais simples, como e ou ln 2 .

Inteiros algébricos

Números algébricos coloridos pelo coeficiente inicial (vermelho significa 1 para um inteiro algébrico)

Um inteiro algébrico é um número algébrico que é a raiz de um polinômio com coeficientes inteiros com coeficiente líder 1 (um polinômio mônico ). Exemplos de inteiros algébricos são e Portanto, os inteiros algébricos constituem um superconjunto próprio dos inteiros , já que os últimos são as raízes dos polinômios mônicos x - k para todo k. Nesse sentido, os inteiros algébricos estão para os números algébricos o que os inteiros estão para os números racionais .

A soma, diferença e produto de inteiros algébricos são novamente inteiros algébricos, o que significa que os inteiros algébricos formam um anel . O nome inteiro algébrico vem do fato de que os únicos números racionais que são inteiros algébricos são os inteiros, e porque os inteiros algébricos em qualquer campo numérico são em muitos aspectos análogos aos inteiros. Se K é um campo de número, o seu anel de números inteiros é o subanel de inteiros algébricos em K , e é frequentemente denotado como ó K . Estes são os exemplos prototípicos dos domínios de Dedekind .

Aulas especiais

Notas

Referências

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