número algébrico - Algebraic number


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Um número algébrico é qualquer número complexo (incluindo números reais ), que é uma raiz de um diferente de zero polinomial (ou seja, um valor que faz com que o polinômio para igualar 0) em uma variável com racionais coeficientes (ou equivalentemente - por limpar denominadores - com inteiros coeficientes). Todos os números inteiros e racionais são algébrica, como são todas as raízes de números inteiros . O mesmo não é verdade para todos os números reais ou todos os números complexos. Esses números reais e complexos que não são algébrica são chamados de números transcendentes . Eles incluem π e e . Enquanto o conjunto de números complexos é incontável , o conjunto de números algébricos é contáveis e tem medida zero na medida Lebesgue como um subconjunto dos números complexos, e, nesse sentido, quase todos os números complexos são transcendentes.

Exemplos

  • Todos os números racionais são algébrica. Qualquer número racional, expresso como o quociente dos dois inteiros um e b , b é igual a zero, corresponde à definição acima porque x = um / b é a raiz de uma polinomial diferente de zero, ou seja, bx - um .
  • Os surds quadráticos (raízes irracionais de um polinomial quadrática ax 2 + bx + c com inteiro coeficientes de um , b , e c ) são números algébricos. Se o polinomial quadrática é mónico ( um = 1 ), em seguida, as raízes são ainda qualificados como inteiros quadráticas .
  • Os números constructible são os números que podem ser construídas a partir de uma dada unidade de comprimento usando régua e bússola. Estes incluem todos os surds quadráticas, todos os números racionais, e todos os números que podem ser formados a partir destas utilizando as operações aritméticas básicas e a extracção de raízes quadradas. (Note-se que com a designação de pontos cardeais durante 1, -1, i , e - i , números complexos, tais como 3 + 2 i construtıvel são consideradas).
  • Qualquer expressão formado a partir de números algébricos utilizando qualquer combinação das operações aritméticas de base e extracção de n th raízes dá outro número algébrico.
  • Raizes de polinómios que não podem ser expressas em termos das operações aritméticas de base e extracção de n th raízes (tal como as raízes de x 5 - x + 1 ). Isso acontece com muitos , mas não todos, polinômios de grau 5 ou superior.
  • Inteiros de Gauss : os números complexos um + bi onde ambos um e b são números inteiros são também números inteiros quadráticas.
  • Valores de funções trigonométricas de racionais múltiplos de π (excepto quando indefinido): isto é, os números trigonométricas . Por exemplo, cada um dos cos pi / 7 , cos / 7 , cos / 7 satisfaz 8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 . Este polinomial é irredutível sobre os racionais, e assim estes três cossenos são conjugadas números algébricos. Da mesma forma, tan / 16 , tan / 16 , tan 11π / 16 , tan 15π / 16 todos satisfazer o polinómio irredutível x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 , e, assim, são conjugadas inteiros algébricos .
  • Alguns números irracionais são algébrica e alguns não são:
    • Os números 2 e 33 / 2 são algébrica uma vez que eles são raizes de polinómios x 2 - 2 e 8 x 3 - 3 , respectivamente.
    • A razão de ouro φ é algébrica uma vez que é uma raiz do polinomial x 2 - x - 1 .
    • Os números π e de e não são números algébricas (ver o teorema Lindemann-Weierstrass ); portanto, eles são transcendentes.

propriedades

Os números algébricos no plano complexo coloridos por grau (vermelho = 1, 2 = verde, azul = 3, amarelo = 4)
  • O conjunto de números algébricos é contáveis (enumeráveis).
  • Daí o conjunto de números algébricos tem Lebesgue medida zero (como um subconjunto dos números complexos), ou seja, " quase todos " os números complexos não são algébrica.
  • Dado um número algébrico, não há um único polinômio monic (com coeficientes racionais) de menor grau que tem o número como uma raiz. Este polinomial é chamada de polinômio mínimo . Se a sua polinomial mínimo tem grau n , em seguida, o número algébrico é dito ser de grau n . Um número algébrico de grau 1 é um número racional . Um número algébrica de grau 2 é um irracional quadrática .
  • Todos os números algébricos são computáveis e, portanto, definível e aritmética .
  • O conjunto de números algébricos reais é linearmente ordenados , contável, densamente ordenada e sem primeiro ou o último elemento, por isso é fim-isomorfo ao conjunto de números racionais.
  • Para números reais a e b , o complexo número um + bi é algébrica se e somente se ambos a e b são algébrica.

O campo de números algébricos

Os números algébricos coloridos por grau (azul = 4, ciano = 3, vermelho = 2, verde = 1). O círculo unitário é preto.

A soma, diferença, produto e quociente (se o denominador é diferente de zero) de dois números algébricos é novamente algébrico (este facto pode ser demonstrado utilizando o resultante ), e, portanto, os números algébricos formar um campo Q (por vezes designado por A , embora esta geralmente indica o anel adele ). Cada raiz de uma equação polinomial cujos coeficientes são números algébricos é novamente algébrica. Isso pode ser reformulada dizendo que o campo de números algébricos é algebricamente fechado . De facto, é o campo algebricamente fechado mais pequeno contendo os racionais, e, portanto, é chamado o fecho algébrica dos racionais.

O conjunto de reais números algébricos se forma um campo.

Campos relacionados

Números definidos pelos radicais

Todos os números que podem ser obtidos a partir dos inteiros utilizando um finito número de inteiros adições , subtracções , multiplicações , divisões , e tendo n th raízes, onde n é um número inteiro positivo ( expressões radicais ) são algébrica. O inverso, no entanto, não é verdadeira: existem números algébricas que não podem ser obtidos desta maneira. Todos estes números são raízes de polinômios de grau 5 ou mais. Este é um resultado da teoria de Galois (ver equações de quinto grau eo teorema de Abel-Ruffini ). Um exemplo de um tal número é a única verdadeira raiz do polinomial x 5 - x - 1 (que é de aproximadamente 1.167 304 ).

número de forma fechada

Números algébricos são todos os números que podem ser definidos de forma explícita ou implicitamente em termos de polinômios, a partir dos números racionais. Pode-se generalizar esta a " números de forma fechada ", que podem ser definidas de várias formas. Mais amplamente, todos os números que podem ser definidos de forma explícita ou implicitamente em termos de polinômios, exponenciais e logaritmos são chamados "números elementares", e estas incluem os números algébricos, além de alguns números transcendentes. Mais estreita, pode-se considerar os números explicitamente definidas em termos de polinômios, exponenciais e logaritmos - isso não inclui todos os números algébricos, mas inclui alguns números transcendentais simples como e ou ln 2 .

inteiros algébricos

Os números algébricos coloridos por levando coeficiente (vermelho significa um para um número inteiro algébrico)

Um número inteiro algébrico é um número algébrico que é uma raiz de um polinómio com coeficientes inteiros com coeficiente principal 1 (um polinómio mônico). Exemplos de números inteiros são algébricas 5 + 13 2 , 2-6 i e 1 / 2 (1 + i 3 ) . Note-se, portanto, que os inteiros algébricos constituem uma adequada super dos números inteiros , como os últimos são as raízes de polinômios mônicos x - k para todos kZ . Neste sentido, inteiros algébricos são números algébricos que inteiros devem números racionais .

A soma, diferença e produto de inteiros algébricos são novamente inteiros algébricos, o que significa que os inteiros algébricos formar um anel . O nome inteiro algébrico vem do fato de que os únicos números racionais que são inteiros algébricos são os números inteiros, e porque os inteiros algébricos em qualquer campo de número são, em muitos aspectos análogos aos números inteiros. Se K é um campo de número, o seu anel de números inteiros é o subanel de inteiros algébricos em K , e é frequentemente denotado como ó K . Estes são os exemplos prototípicos de domínios Dedekind .

classes especiais de número algébrico

Notas

Referências

  • Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall , ISBN  0-13-004763-5 , MR  1129886
  • Hardy, GH e Wright, EM 1978, 2000 (com índice geral) Uma Introdução à Teoria dos Números: 5ª Edição , Clarendon Press, Oxford Reino Unido, ISBN  0-19-853171-0
  • Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Uma introdução clássica à teoria moderno número , Graduate Texts in Mathematics, 84 (Segunda ed.), Berlim, Nova York: Springer-Verlag, doi : 10,1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN  0-387-97329-X , MR  1.070.716
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