Número transcendental - Transcendental number
Em matemática , um número transcendental é um número que não é algébrico - isto é, não a raiz de um polinômio diferente de zero de grau finito com coeficientes racionais . Os números transcendentais mais conhecidos são π e e .
Embora apenas algumas classes de números transcendentais sejam conhecidas, em parte porque pode ser extremamente difícil mostrar que um determinado número é transcendental, os números transcendentais não são raros. De fato, quase todos os números reais e complexos são transcendentais, uma vez que os números algébricos compõem um conjunto contável , enquanto o conjunto de números reais e o conjunto de números complexos são conjuntos incontáveis e, portanto, maiores do que qualquer conjunto contável. Todos os números reais transcendentais (também conhecidos como números transcendentais reais ou números irracionais transcendentais ) são números irracionais , uma vez que todos os números racionais são algébricos. O contrário não é verdade: nem todos os números irracionais são transcendentais. Conseqüentemente, o conjunto de números reais consiste em números reais racionais, não racionais algébricos e transcendentais não sobrepostos. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é um número irracional, mas não é um número transcendental, pois é uma raiz da equação polinomial x 2 - 2 = 0 . A proporção áurea (denotada ou ) é outro número irracional que não é transcendental, pois é uma raiz da equação polinomial x 2 - x - 1 = 0 . A qualidade de um número sendo transcendental é chamada de transcendência .
História
O nome "transcendental" vem do latim transcendĕre 'escalar ou além, superar', e foi usado pela primeira vez para o conceito matemático no artigo de Leibniz de 1682 no qual ele provou que sen x não é uma função algébrica de x . Euler , no século 18, foi provavelmente a primeira pessoa a definir os números transcendentais no sentido moderno.
Johann Heinrich Lambert conjecturou que e e π eram ambos números transcendentais em seu artigo de 1768 provando que o número π é irracional , e propôs um esboço provisório de uma prova da transcendência de π .
Joseph Liouville provou pela primeira vez a existência de números transcendentais em 1844, e em 1851 deu os primeiros exemplos decimais, como a constante de Liouville
em que o n º dígitos depois do ponto decimal é 1 se n é igual a k ! ( fatorial k ) para algum k e 0 caso contrário. Em outras palavras, o n º dígito deste número é 1 somente se n é um dos números 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 , etc. Liouville mostrou que este número pertence a uma classe de números transcendentais que podem ser mais aproximados por números racionais do que qualquer número algébrico irracional, e esta classe de números são chamados de números de Liouville , nomeados em sua homenagem. Liouville mostrou que todos os números de Liouville são transcendentais.
O primeiro número a ser provado transcendental sem ter sido especificamente construído com o propósito de provar a existência dos números transcendentais foi e , de Charles Hermite em 1873.
Em 1874, Georg Cantor provou que os números algébricos são contáveis e os reais são incontáveis. Ele também deu um novo método para construir números transcendentais. Embora isso já estivesse implícito em sua prova da contabilidade dos números algébricos, Cantor também publicou uma construção que prova que existem tantos números transcendentais quanto reais. O trabalho de Cantor estabeleceu a onipresença dos números transcendentais.
Em 1882, Ferdinand von Lindemann publicou a primeira prova completa da transcendência de π . Ele primeiro provou que e a é transcendental se a for um número algébrico diferente de zero. Então, como e i π = −1 é algébrico (veja a identidade de Euler ), i π deve ser transcendental. Mas como i é algébrico, π deve ser transcendental. Essa abordagem foi generalizada por Karl Weierstrass para o que agora é conhecido como teorema de Lindemann-Weierstrass . A transcendência de π permitiu comprovar a impossibilidade de várias construções geométricas antigas envolvendo compasso e régua , incluindo a mais famosa, quadratura do círculo .
Em 1900, David Hilbert colocou uma questão influente sobre os números transcendentais, o sétimo problema de Hilbert : se a é um número algébrico que não é zero ou um, eb é um número algébrico irracional , a b é necessariamente transcendental? A resposta afirmativa foi fornecida em 1934 pelo teorema de Gelfond-Schneider . Este trabalho foi estendido por Alan Baker na década de 1960 em seu trabalho sobre limites inferiores para formas lineares em qualquer número de logaritmos (de números algébricos).
Propriedades
Um número transcendental é um número (possivelmente complexo) que não é a raiz de nenhum polinômio inteiro, o que significa que não é um número algébrico de nenhum grau. Todo número transcendental real também deve ser irracional, uma vez que um número racional é, por definição, um número algébrico de grau um. O conjunto de números transcendentais é infinitamente infinito . Uma vez que os polinômios com coeficientes racionais são contáveis , e como cada polinômio tem um número finito de zeros , os números algébricos também devem ser contáveis. No entanto, o argumento diagonal de Cantor prova que os números reais (e, portanto, também os números complexos) são incontáveis. Como os números reais são a união de números algébricos e transcendentais, é impossível que ambos os subconjuntos sejam contáveis. Isso torna os números transcendentais incontáveis.
Nenhum número racional é transcendental e todos os números transcendentais reais são irracionais. Os números irracionais contêm todos os números transcendentais reais e um subconjunto dos números algébricos, incluindo os irracionais quadráticos e outras formas de irracionais algébricos.
Qualquer função algébrica não constante de uma única variável produz um valor transcendental quando aplicada a um argumento transcendental. Por exemplo, sabendo que π é transcendental, pode-se deduzir imediatamente que números como 5 π , π -3/√ 2, ( √ π - √ 3 ) 8 e 4 √ π 5 +7 também são transcendentais.
No entanto, uma função algébrica de várias variáveis pode produzir um número algébrico quando aplicada a números transcendentais se esses números não forem algebricamente independentes . Por exemplo, π e (1 - π ) são ambos transcendentais, mas π + (1 - π ) = 1 obviamente não é. Não se sabe se e + π , por exemplo, é transcendental, embora pelo menos um de e + π e eπ deva ser transcendental. Mais geralmente, para quaisquer dois números transcendentes a e b , pelo menos, um de um + b e ab deve ser transcendental. Para ver isso, considere o polinômio ( x - a ) ( x - b ) = x 2 - ( a + b ) x + ab . Se ( a + b ) e ab fossem ambos algébricos, então este seria um polinômio com coeficientes algébricos. Como os números algébricas formar um corpo algebricamente fechado , isto implicaria que as raízes do polinómio, um e b , deve ser algébrico. Mas isso é uma contradição e, portanto, deve ser o caso de pelo menos um dos coeficientes ser transcendental.
Os números não computáveis são um subconjunto estrito dos números transcendentais.
Todos os números de Liouville são transcendentais, mas não vice-versa. Qualquer número de Liouville deve ter quocientes parciais ilimitados em sua expansão contínua da fração . Usando um argumento de contagem, pode-se mostrar que existem números transcendentais que têm quocientes parciais limitados e, portanto, não são números de Liouville.
Usando a expansão de fração contínua explícita de e , pode-se mostrar que e não é um número de Liouville (embora os quocientes parciais em sua expansão de fração contínua sejam ilimitados). Kurt Mahler mostrou em 1953 que π também não é um número de Liouville. É conjecturado que todas as frações contínuas infinitas com termos limitados que não são eventualmente periódicos são transcendentais (eventualmente as frações contínuas periódicas correspondem a irracionais quadráticos).
Números comprovadamente transcendentais
Números comprovadamente transcendentais:
- e a seaforalgébricoe diferente de zero (peloteorema de Lindemann-Weierstrass).
- π (pelo teorema de Lindemann – Weierstrass ).
- e π , constante de Gelfond , bem como e - π / 2 = i i (pelo teorema de Gelfond-Schneider ).
- a b onde a é algébrico, mas não 0 ou 1, e b é algébrico irracional (pelo teorema de Gelfond-Schneider), em particular:
- 2 √ 2 , a constante de Gelfond-Schneider (ou número de Hilbert)
- sen a , cos a , tan a , csc a , sec a , e cot a , e suas contrapartes hiperbólicas , para qualquer número algébrico diferente de zero a , expresso em radianos (pelo teorema de Lindemann-Weierstrass).
- O ponto fixo da função cosseno (também conhecido como o número dottie d ) - a solução real única para a equação cos x = x , onde x está em radianos (pelo teorema de Lindemann-Weierstrass).
- ln a se a for algébrico e diferente de 0 ou 1, para qualquer ramo da função logaritmo (pelo teorema de Lindemann-Weierstrass).
- log b a se a e b forem inteiros positivos e não ambas as potências do mesmo inteiro (pelo teorema de Gelfond-Schneider).
- W ( a )seafor algébrico e diferente de zero, para qualquer ramo da Função de Lambert W (pelo teorema de Lindemann-Weierstrass), em particular:Ωaconstante ômega
- √ x s , a super-raiz quadrada de qualquer número natural é um inteiro ou transcendental (pelo teorema de Gelfond-Schneider)
- Γ (1/3) , Γ (1/4) e Γ (1/6) .
- 0,64341054629 ..., constante de Cahen .
- As constantes de Champernowne , os números irracionais formados por representações concatenadas de todos os inteiros positivos.
- Ω , constante de Chaitin (por ser um número não computável).
- As chamadas constantes de Fredholm, como
- que também é válido substituindo 10 por qualquer b algébrico > 1 .
- A constante de Gauss .
- As duas constantes lemniscadas L 1 (às vezes denotadas como ϖ ) e L 2 .
- A constante de Liouville mencionada acima para qualquer b ∈ algébrico (0, 1) .
- A constante de Prouhet – Thue – Morse .
- A constante de Komornik-Loreti.
- Qualquer número para o qual os dígitos em relação a alguma base fixa formam uma palavra sturmiana .
- Para β > 1
- onde fica a função chão .
- 3,300330000000000330033 ... e seu recíproco 0,30300000303 ..., dois números com apenas dois dígitos decimais diferentes cujas posições de dígitos diferentes de zero são dadas pela sequência de Moser – de Bruijn e seu duplo.
- O número π/2S 0 (2)/J 0 (2)- γ , onde Y α ( x ) e J α ( x ) são funções de Bessel e γ é a constante de Euler-Mascheroni .
Possíveis números transcendentais
Números que ainda não foram comprovados como transcendentais ou algébricos:
- A maioria das somas, produtos, potências, etc. do número π e do número e , por exemplo, eπ , e + π , π - e , π / e , π π , e e , π e , π √ 2 , e π 2 são não conhecido por ser racional, algébrico, irracional ou transcendental. Uma exceção notável é e π √ n (para qualquer número inteiro positivo n ) que foi comprovado como transcendental.
- A constante de Euler-Mascheroni γ : Em 2010, M. Ram Murty e N. Saradha considerou uma lista infinita de números também contendoγ/4e mostrou que todos, exceto no máximo um deles, devem ser transcendentais. Em 2012, foi mostrado que pelo menos um de γ e a constante de Euler-Gompertz δ é transcendental.
- Constante do catalão , nem mesmo provado ser irracional.
- A constante de Khinchin , também não provou ser irracional.
- A constante de Apéry ζ (3) (que Apéry provou ser irracional).
- A função zeta de Riemann em outros inteiros ímpares, ζ (5) , ζ (7) , ... (não provou ser irracional).
- As constantes de Feigenbaum δ e α , também não se mostraram irracionais.
- Constante de Mills , também não provou ser irracional.
- A constante de Copeland – Erdős , formada pela concatenação das representações decimais dos números primos.
Conjecturas:
Esboço de uma prova de que e é transcendental
A primeira prova de que a base dos logaritmos naturais, e , é transcendental data de 1873. Seguiremos agora a estratégia de David Hilbert (1862–1943) que simplificou a prova original de Charles Hermite . A ideia é a seguinte:
Suponha, para fins de encontrar uma contradição, que e é algébrico. Então, existe um conjunto finito de coeficientes inteiros c 0 , c 1 , ..., c n satisfazendo a equação:
Agora, para um número inteiro positivo k , definimos o seguinte polinômio:
e multiplique ambos os lados da equação acima por
para chegar à equação:
Ao dividir os respectivos domínios de integração, esta equação pode ser escrita na forma
Onde
Lema 1. Para uma escolha apropriada de k , é um inteiro diferente de zero.
Prova. Cada termo em P é um número inteiro vezes uma soma de fatoriais, que resulta da relação
que é válido para qualquer inteiro positivo j (considere a função Gama ).
É diferente de zero porque para cada a satisfazendo 0 < a ≤ n , o integrando em
é e −x vezes uma soma de termos cuja menor potência de x é k +1 após substituir x por x + a na integral. Então, isso se torna uma soma de integrais da forma
- Onde A j-k é inteiro.
com k +1 ≤ j , e é, portanto, um inteiro divisível por ( k +1) !. Depois de dividir por k! , obtemos módulo zero ( k +1). No entanto, podemos escrever:
e assim
Portanto, ao dividir cada integral em P por k! , o inicial não é divisível por k +1, mas todos os outros são, desde que k +1 seja primo e maior que n e | c 0 |. Segue-se que ele mesmo não é divisível pelo primo k +1 e, portanto, não pode ser zero.
Lema 2. para suficientemente grande .
Prova. Observe que
onde e são funções contínuas de para todos , então são limitados no intervalo . Ou seja, existem constantes tais que
Portanto, cada uma dessas integrais que compõem é limitada, sendo o pior caso
Agora é possível limitar a soma também:
onde é uma constante que não depende de . Segue que
terminando a prova deste lema.
Escolher um valor para satisfazer ambos os lemas leva a um número inteiro diferente de zero ( ) adicionado a uma quantidade cada vez menor ( ) sendo igual a zero, é uma impossibilidade. Segue-se que a suposição original de que e pode satisfazer uma equação polinomial com coeficientes inteiros também é impossível; ou seja, e é transcendental.
A transcendência de π
Uma estratégia semelhante, diferente da abordagem original de Lindemann , pode ser usada para mostrar que o número π é transcendental. Além da função gama e algumas estimativas como na prova para e , fatos sobre polinômios simétricos desempenham um papel vital na prova.
Para obter informações detalhadas sobre as provas da transcendência de π e e , consulte as referências e links externos.
Veja também
- Teoria dos números transcendentais, o estudo de questões relacionadas aos números transcendentais
- Teorema de Gelfond-Schneider
- Aproximação diofantina
- Períodos , um conjunto de números (incluindo números transcendentais e algébricos) que podem ser definidos por equações integrais.
Notas
Referências
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links externos
602440 | Número transcendental (matemática)}
- Weisstein, Eric W. "Transcendental Number" . MathWorld .
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- Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant" . MathWorld .
- (em inglês) Prova de que e é transcendental
- (em inglês) Prova de que a constante de Liouville é transcendental
- (em alemão) Prova de que e é transcendental (PDF)
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