Quase tudo - Almost all
Em matemática , o termo " quase todos " significa "todos, exceto uma quantidade insignificante". Mais precisamente, se for um conjunto , "quase todos os elementos de " significa "todos os elementos de, exceto aqueles em um subconjunto insignificante de ". O significado de "insignificante" depende do contexto matemático; por exemplo, pode significar finito , contável ou nulo .
Em contraste, " quase nenhum " significa "uma quantidade insignificante"; ou seja, "quase nenhum elemento de " significa "uma quantidade insignificante de elementos de ".
Significados em diferentes áreas da matemática
Significado prevalente
Ao longo da matemática, "quase todos" às vezes é usado para significar "todos (elementos de um conjunto infinito ), mas finitamente muitos". Esse uso também ocorre na filosofia. Da mesma forma, "quase todos" pode significar "todos (elementos de um conjunto incontável ), mas contáveis muitos".
Exemplos:
- Quase todos os inteiros positivos são maiores que 1.000.000.000.000.
- Quase todos os números primos são ímpares (já que 2 é a única exceção).
- Quase todos os poliedros são irregulares (há apenas nove exceções: os cinco sólidos platônicos e os quatro poliedros Kepler-Poinsot ).
- Se P for um polinômio diferente de zero , então P (x) ≠ 0 para quase todo x (se não todo x ).
Significado na teoria da medida
Ao falar sobre os reais , às vezes "quase todos" pode significar "todos os reais, mas um conjunto nulo ". Da mesma forma, se S for algum conjunto de reais, "quase todos os números em S " podem significar "todos os números em S, exceto aqueles em um conjunto nulo". A linha real pode ser pensada como um espaço euclidiano unidimensional . No caso mais geral de um espaço n- dimensional (onde n é um número inteiro positivo), essas definições podem ser generalizadas para "todos os pontos, exceto aqueles em um conjunto nulo" ou "todos os pontos em S, exceto aqueles em um conjunto nulo" ( desta vez, S é um conjunto de pontos no espaço). Ainda mais geralmente, "quase todos" às vezes é usado no sentido de " quase em todos os lugares " na teoria da medida , ou no sentido intimamente relacionado de " quase certo " na teoria da probabilidade .
Exemplos:
- Em um espaço de medida , como a linha real, os conjuntos contáveis são nulos. O conjunto de números racionais é contável e, portanto, quase todos os números reais são irracionais.
- Como Georg Cantor provou em seu primeiro artigo sobre a teoria dos conjuntos, o conjunto de números algébricos também é contável, então quase todos os reais são transcendentais .
- Quase todos os reais são normais .
- O conjunto Cantor também é nulo. Assim, quase todos os reais não são membros dela, embora seja incontável.
- A derivada da função Cantor é 0 para quase todos os números no intervalo de unidade . Segue-se do exemplo anterior porque a função Cantor é localmente constante e, portanto, tem a derivada 0 fora do conjunto Cantor.
Significado na teoria dos números
Na teoria dos números , "quase todos os inteiros positivos" pode significar "os inteiros positivos em um conjunto cuja densidade natural é 1". Isto é, se A é um conjunto de números inteiros positivos, e se a proporção de inteiros positivos em um abaixo n (de todos os inteiros positivos abaixo n ) tende para 1 quando n tende ao infinito, em seguida, quase todos os inteiros positivos estão em uma .
Mais geralmente, seja S um conjunto infinito de inteiros positivos, como o conjunto de números positivos pares ou o conjunto de primos , se A for um subconjunto de S , e se a proporção de elementos de S abaixo de n que estão em A ( fora de todos os elementos de S abaixo n ) tende para 1 quando n tende ao infinito, então pode dizer-se que quase todos os elementos de S estão em um .
Exemplos:
- A densidade natural dos conjuntos de cofinitos de inteiros positivos é 1, portanto, cada um deles contém quase todos os inteiros positivos.
- Quase todos os inteiros positivos são compostos .
- Quase todos os números pares positivos podem ser expressos como a soma de dois primos.
- Quase todos os primos são isolados . Além disso, para cada número inteiro positivo g , quase todos os primos têm intervalos primos de mais de g tanto à esquerda quanto à direita; ou seja, não há outros primos entre p - g e p + g .
Significado na teoria dos grafos
Na teoria dos grafos , se A é um conjunto de gráficos ( rotulados finitos ) , pode-se dizer que ele contém quase todos os gráficos, se a proporção de gráficos com n vértices que estão em A tende a 1 enquanto n tende ao infinito. No entanto, às vezes é mais fácil trabalhar com probabilidades, então a definição é reformulada como segue. A proporção de gráficos com n vértices que estão em A é igual à probabilidade de que um gráfico aleatório com n vértices (escolhido com a distribuição uniforme ) esteja em A , e escolher um gráfico desta forma tem o mesmo resultado que gerar um gráfico invertendo um moeda para cada par de vértices para decidir se deve conectá-los. Portanto, de forma equivalente à definição anterior, o conjunto A contém quase todos os gráficos se a probabilidade de que um gráfico gerado por cara ou coroa com n vértices esteja em A tende a 1 enquanto n tende a infinito. Às vezes, a última definição é modificada para que o gráfico seja escolhido aleatoriamente de alguma outra forma , onde nem todos os gráficos com n vértices têm a mesma probabilidade e essas definições modificadas nem sempre são equivalentes à principal.
O uso do termo "quase todos" na teoria dos grafos não é padrão; o termo " assintoticamente quase certo " é mais comumente usado para este conceito.
Exemplo:
- Quase todos os gráficos são assimétricos .
- Quase todos os gráficos têm diâmetro 2.
Significado na topologia
Em topologia e especialmente na teoria de sistemas dinâmicos (incluindo aplicações em economia), "quase todos" os pontos de um espaço topológico podem significar "todos os pontos do espaço, exceto aqueles em um conjunto reduzido ". Alguns usam uma definição mais limitada, onde um subconjunto contém apenas quase todos os pontos do espaço se contiver algum conjunto denso aberto .
Exemplo:
- Dada uma variedade algébrica irredutível , as propriedades que valem para quase todos os pontos da variedade são exatamente as propriedades genéricas . Isso se deve ao fato de que em uma variedade algébrica irredutível equipada com a topologia de Zariski , todos os conjuntos abertos não vazios são densos.
Significado em álgebra
Em álgebra abstrata e lógica matemática , se U for um ultrafiltro em um conjunto X , "quase todos os elementos de X " às vezes significa "os elementos de algum elemento de U ". Para qualquer partição de X em dois conjuntos disjuntos , um deles será necessariamente conter quase todos os elementos da X . É possível pensar nos elementos de um filtro em X como contendo quase todos os elementos de X , mesmo que não seja um ultrafiltro.