Teorema de Lindemann-Weierstrass - Lindemann–Weierstrass theorem

Na teoria dos números transcendentais , o teorema de Lindemann-Weierstrass é um resultado muito útil para estabelecer a transcendência dos números. Ele afirma o seguinte.

Em outras palavras, o campo de extensão ( e ^{α ₁} , ...,  e ^{α _n} ) tem grau de transcendência n acima . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Uma formulação equivalente ( Baker 1990 , Capítulo 1, Teorema 1.4) é a seguinte.

Essa equivalência transforma uma relação linear sobre os números algébricos em uma relação algébrica ao usar o fato de que um polinômio simétrico cujos argumentos são todos conjugados um do outro fornece um número racional. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

O teorema foi nomeado em homenagem a Ferdinand von Lindemann e Karl Weierstrass . Lindemann provou em 1882 que e ^α é transcendental para todo número algébrico diferente de zero α, estabelecendo assim que π é transcendental (veja abaixo). Weierstrass provou a afirmação mais geral acima em 1885.

O teorema, junto com o teorema de Gelfond-Schneider , é estendido pelo teorema de Baker , e todos eles são posteriormente generalizados pela conjectura de Schanuel .

Convenção de nomes

O teorema também é conhecido como teorema de Hermite-Lindemann e teorema de Hermite-Lindemann-Weierstrass . Charles Hermite primeiro provou o teorema mais simples, em que os expoentes α _i devem ser inteiros racionais e a independência linear só é garantida sobre os inteiros racionais, um resultado às vezes referido como teorema de Hermite. Embora aparentemente seja um caso especial do teorema acima, o resultado geral pode ser reduzido a este caso mais simples. Lindemann foi o primeiro a permitir números algébricos no trabalho de Hermite em 1882. Pouco depois, Weierstrass obteve o resultado completo, e outras simplificações foram feitas por vários matemáticos, principalmente por David Hilbert e Paul Gordan .

Transcendência de e e π

A transcendência de e e π são corolários diretos deste teorema.

Suponha que α seja um número algébrico diferente de zero; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais e, portanto, pela primeira formulação do teorema { e ^α } é um conjunto algebricamente independente; ou em outras palavras, e ^α é transcendental. Em particular, e ¹ = e é transcendental. (Uma prova mais elementar de que e é transcendental é descrita no artigo sobre números transcendentais .)

Alternativamente, pela segunda formulação do teorema, se α é um número algébrico diferente de zero, então {0, α} é um conjunto de números algébricos distintos e, portanto, o conjunto { e ⁰ ,  e ^α } = {1,  e ^α } é linearmente independente dos números algébricos e em particular e ^α não pode ser algébrico e, portanto, é transcendental.

Para provar que π é transcendental, provamos que não é algébrico. Se π fosse algébrico, π i seria algébrico também, e então pelo teorema de Lindemann-Weierstrass e ^{π i} = −1 (ver identidade de Euler ) seria transcendental, uma contradição. Portanto, π não é algébrico, o que significa que é transcendental.

Uma ligeira variação na mesma prova mostrará que se α é um número algébrico diferente de zero, então sin (α), cos (α), tan (α) e suas contrapartes hiperbólicas também são transcendentais.

conjectura p -adic

Conjectura modular

Um análogo do teorema envolvendo a função modular j foi conjecturado por Daniel Bertrand em 1997, e permanece um problema aberto. Escrevendo q  =  e ^{2 π i τ} para o quadrado do nome e j (τ) =  J ( q ), a conjectura é a seguinte.

Teorema de Lindemann-Weierstrass

Prova

A prova se baseia em dois lemas preliminares. Observe que o próprio Lema B já é suficiente para deduzir a afirmação original do teorema de Lindemann-Weierstrass.

Lemas preliminares

Prova do Lema A. Para simplificar o conjunto de notações:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & n_ {0} = 0, && \\ & n_ {i} = \ sum \ nolimits _ {k = 1} ^ {i} m (k), && i = 1, \ ldots, r \\ & n = n_ {r}, && \\ & \ alpha _ {n_ {i-1} + j} = \ gamma (i) _ {j}, && 1 \ leq i \ leq r, \ 1 \ leq j \ leq m (i) \\ & \ beta _ {n_ {i-1} + j} = c (i). \ end {alinhado}}}$

Então a declaração se torna

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ beta _ {k} e ^ {\ alpha _ {k}} \ neq 0.}$

Seja p um número primo e defina os seguintes polinômios:

${\ displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {\ ell ^ {np} (x- \ alpha _ {1}) ^ {p} \ cdots (x- \ alpha _ {n}) ^ {p }} {(x- \ alpha _ {i})}},}$

onde ℓ é um inteiro diferente de zero, que são todos inteiros algébricos. Definir ${\ displaystyle \ ell \ alpha _ {1}, \ ldots, \ ell \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle I_ {i} (s) = \ int _ {0} ^ {s} e ^ {sx} f_ {i} (x) \, dx.}$

Usando a integração por partes , chegamos a

${\ displaystyle I_ {i} (s) = e ^ {s} \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} f_ {i} ^ {(j)} (0) - \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} f_ {i} ^ {(j)} (s),}$

onde é o grau de , e é a derivada j -ésima de . Isso também vale para o complexo s (neste caso, a integral deve ser considerada uma integral de contorno, por exemplo, ao longo do segmento reto de 0 a s ) porque ${\ displaystyle np-1}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {(j)}}$${\ displaystyle f_ {i}}$

${\ displaystyle -e ^ {sx} \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} f_ {i} ^ {(j)} (x)}$

é um primitivo de . ${\ displaystyle e ^ {sx} f_ {i} (x)}$

Considere a seguinte soma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} J_ {i} & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ beta _ {k} I_ {i} (\ alpha _ {k}) \\ [5pt] & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ beta _ {k} \ left (e ^ {\ alpha _ {k}} \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} f_ {i } ^ {(j)} (0) - \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {k}) \ right) \\ [5pt ] & = \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {np-1} f_ {i} ^ {(j)} (0) \ right) \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n } \ beta _ {k} e ^ {\ alpha _ {k}} \ right) - \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} \ beta _ {k} f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {k}) \\ [5pt] & = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} \ beta _ {k} f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {k}) \ end {alinhado}}}$

Na última linha, assumimos que a conclusão do Lema é falsa. Para completar a prova, precisamos chegar a uma contradição. Faremos isso estimando de duas maneiras diferentes. ${\ displaystyle | J_ {1} \ cdots J_ {n} |}$

O primeiro é um inteiro algébrico que é divisível por p ! para e desaparece para a menos que e , caso em que é igual a ${\ displaystyle f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {k})}$${\ displaystyle j \ geq p}$${\ displaystyle j <p}$${\ displaystyle j = p-1}$${\ displaystyle k = i}$

${\ displaystyle \ ell ^ {np} (p-1)! \ prod _ {k \ neq i} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {k}) ^ {p}.}$

Isso não é divisível por p quando p é grande o suficiente, caso contrário, colocando

${\ displaystyle \ delta _ {i} = \ prod _ {k \ neq i} (\ ell \ alpha _ {i} - \ ell \ alpha _ {k})}$

(que é um inteiro algébrico diferente de zero) e chamando o produto de seus conjugados (que ainda é diferente de zero), obteríamos que p se divide , o que é falso. ${\ displaystyle d_ {i} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ ell ^ {p} (p-1)! d_ {i} ^ {p}}$

Portanto, um inteiro algébrico diferente de zero é divisível por ( p  - 1) !. Agora ${\ displaystyle J_ {i}}$

${\ displaystyle J_ {i} = - \ sum _ {j = 0} ^ {np-1} \ sum _ {t = 1} ^ {r} c (t) \ left (f_ {i} ^ {(j )} (\ alpha _ {n_ {t-1} +1}) + \ cdots + f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {n_ {t}}) \ right).}$

Uma vez que cada um é obtido dividindo um polinômio fixo com coeficientes inteiros por , ele tem a forma ${\ displaystyle f_ {i} (x)}$${\ displaystyle (x- \ alpha _ {i})}$

${\ displaystyle f_ {i} (x) = \ sum _ {m = 0} ^ {np-1} g_ {m} (\ alpha _ {i}) x ^ {m},}$

onde é um polinômio (com coeficientes inteiros) independente de i . O mesmo vale para os derivativos . ${\ displaystyle g_ {m}}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {(j)} (x)}$

Portanto, pelo teorema fundamental dos polinômios simétricos,

${\ displaystyle f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {n_ {t-1} +1}) + \ cdots + f_ {i} ^ {(j)} (\ alpha _ {n_ {t }})}$

é um polinômio fixo com coeficientes racionais avaliados em (isto é visto agrupando os mesmos poderes de aparecer na expansão e usando o fato de que esses números algébricos são um conjunto completo de conjugados). Portanto, o mesmo é verdadeiro para , ou seja, é igual , onde G é um polinômio com coeficientes racionais independentes de i . ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ alpha _ {n_ {t-1} +1}, \ dots, \ alpha _ {n_ {t}}}$${\ displaystyle J_ {i}}$${\ displaystyle G (\ alpha _ {i})}$

Finalmente é racional (novamente pelo teorema fundamental dos polinômios simétricos) e é um inteiro algébrico diferente de zero divisível por (já que os são inteiros algébricos divisíveis por ). Portanto ${\ displaystyle J_ {1} \ cdots J_ {n} = G (\ alpha _ {1}) \ cdots G (\ alpha _ {n})}$${\ displaystyle (p-1)! ^ {n}}$${\ displaystyle J_ {i}}$${\ displaystyle (p-1)!}$

${\ displaystyle | J_ {1} \ cdots J_ {n} | \ geq (p-1)! ^ {n}.}$

No entanto, um claramente tem:

${\ displaystyle | I_ {i} (\ alpha _ {k}) | \ leq | \ alpha _ {k} | e ^ {| \ alpha _ {k} |} F_ {i} (| \ alpha _ {k } |),}$

onde F _i é o polinômio cujos coeficientes são os valores absolutos daqueles de f _i (isso segue diretamente da definição de ). Assim ${\ displaystyle I_ {i} (s)}$

${\ displaystyle | J_ {i} | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | \ beta _ {k} \ alpha _ {k} \ right | e ^ {| \ alpha _ {k } |} F_ {i} \ left (\ left | \ alpha _ {k} \ right | \ right)}$

e assim, pela construção de 's, temos um C suficientemente grande, independente de p , o que contradiz a desigualdade anterior. Isso prova o Lema A. ∎ ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle | J_ {1} \ cdots J_ {n} | \ leq C ^ {p}}$

Prova do Lema B: Assumindo

${\ displaystyle b (1) e ^ {\ gamma (1)} + \ cdots + b (n) e ^ {\ gamma (n)} = 0,}$

vamos derivar uma contradição, provando assim o Lema B.

Vamos escolher um polinômio com coeficientes inteiros que desaparece em todos os 'se deixe todas as suas raízes distintas. Seja b ( n  + 1) = ... =  b ( N ) = 0. ${\ displaystyle \ gamma (k)}$${\ displaystyle \ gamma (1), \ ldots, \ gamma (n), \ gamma (n + 1), \ ldots, \ gamma (N)}$

O polinômio

${\ displaystyle P (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) = \ prod _ {\ sigma \ in S_ {N}} (b (1) x _ {\ sigma (1)} + \ cdots + b (N) x _ {\ sigma (N)})}$

desaparece por suposição. Uma vez que o produto é simétrica, por qualquer monómios e tem o mesmo coeficiente de expansão de P . ${\ displaystyle (e ^ {\ gamma (1)}, \ dots, e ^ {\ gamma (N)})}$${\ displaystyle \ tau \ in S_ {N}}$${\ displaystyle x _ {\ tau (1)} ^ {h_ {1}} \ cdots x _ {\ tau (N)} ^ {h_ {N}}}$${\ displaystyle x_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots x_ {N} ^ {h_ {N}}}$

Assim, expandindo de acordo e agrupando os termos com o mesmo expoente, vemos que os expoentes resultantes formam um conjunto completo de conjugados e, se dois termos possuem expoentes conjugados, eles são multiplicados pelo mesmo coeficiente. ${\ displaystyle P (e ^ {\ gamma (1)}, \ dots, e ^ {\ gamma (N)})}$${\ displaystyle h_ {1} \ gamma (1) + \ dots + h_ {N} \ gamma (N)}$

Portanto, estamos na situação do Lema A. Para chegar a uma contradição, basta ver que pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero. Isso é visto equipando C com a ordem lexicográfica e escolhendo para cada fator no produto o termo com coeficiente diferente de zero que tem expoente máximo de acordo com esta ordem: o produto desses termos tem coeficiente diferente de zero na expansão e não seja simplificado por nenhum outro termo. Isso prova o Lema B. ∎

Passo final

Passamos agora a provar o teorema: sejam a (1), ..., a ( n ) números algébricos diferentes de zero e α (1), ..., α ( n ) números algébricos distintos. Então, vamos supor que:

${\ displaystyle a (1) e ^ {\ alpha (1)} + \ cdots + a (n) e ^ {\ alpha (n)} = 0.}$

Mostraremos que isso leva à contradição e, assim, provaremos o teorema. A prova é muito semelhante à do Lema B, exceto que desta vez as escolhas são feitas sobre os a ( i ):

Para cada i ∈ {1, ..., n }, a ( i ) é algébrico, então é a raiz de um polinômio irredutível com coeficientes inteiros de grau d ( i ). Vamos denotar as raízes distintas desse polinômio a ( i ) ₁ , ..., a ( i ) _{d ( i )} , com a ( i ) ₁ = a ( i ).

Sejam S as funções σ que escolhem um elemento de cada uma das sequências (1, ..., d (1)), (1, ..., d (2)), ..., (1, .. ., d ( n )), de modo que para cada 1 ≤  i  ≤  n , σ ( i ) é um número inteiro entre 1 e d ( i ). Nós formamos o polinômio nas variáveis${\ displaystyle x_ {11}, \ dots, x_ {1d (1)}, \ dots, x_ {n1}, \ dots, x_ {nd (n)}, y_ {1}, \ dots, y_ {n} }$

${\ displaystyle Q (x_ {11}, \ dots, x_ {nd (n)}, y_ {1}, \ dots, y_ {n}) = \ prod \ nolimits _ {\ sigma \ in S} \ left ( x_ {1 \ sigma (1)} y_ {1} + \ pontos + x_ {n \ sigma (n)} y_ {n} \ direita).}$

Uma vez que o produto abrange todas as funções de escolha possíveis σ, Q é simétrico em para cada i . Portanto, Q é um polinômio com coeficientes inteiros em polinômios simétricos elementares das variáveis ​​acima, para cada i , e nas variáveis y _i . Cada um dos últimos polinômios simétricos é um número racional quando avaliado em . ${\ displaystyle x_ {i1}, \ dots, x_ {id (i)}}$${\ displaystyle a (i) _ {1}, \ dots, a (i) _ {d (i)}}$

O polinômio avaliado desaparece porque uma das escolhas é apenas σ ( i ) = 1 para todo i , para o qual o fator correspondente desaparece de acordo com nossa suposição acima. Assim, o polinômio avaliado é uma soma da forma ${\ displaystyle Q (a (1) _ {1}, \ dots, a (n) _ {d (n)}, e ^ {\ alpha (1)}, \ dots, e ^ {\ alpha (n) })}$

${\ displaystyle b (1) e ^ {\ beta (1)} + b (2) e ^ {\ beta (2)} + \ cdots + b (N) e ^ {\ beta (N)} = 0, }$

onde já agrupamos os termos com o mesmo expoente. Portanto, no lado esquerdo, temos valores distintos β (1), ..., β ( N ), cada um dos quais ainda é algébrico (sendo uma soma de números algébricos) e coeficientes . A soma é não trivial: se for máxima na ordem lexicográfica, o coeficiente de é apenas um produto de a ( i ) _j 's (com possíveis repetições), que é diferente de zero. ${\ displaystyle b (1), \ dots, b (N) \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ alpha (i)}$${\ displaystyle e ^ {| S | \ alpha (i)}}$

Multiplicando a equação com um fator inteiro apropriado, obtemos uma equação idêntica, exceto que agora b (1), ..., b ( N ) são todos inteiros. Portanto, de acordo com o Lema B, a igualdade não pode ser mantida, e somos levados a uma contradição que completa a prova. ∎

Observe que o Lema A é suficiente para provar que e é irracional , caso contrário, podemos escrever e = p / q , onde p e q são inteiros diferentes de zero, mas pelo Lema A teríamos qe  -  p ≠ 0, que é uma contradição. O lema A também é suficiente para provar que π é irracional, pois de outra forma podemos escrever π = k / n , onde k e n são inteiros) e então ± i π são as raízes de n ² x ² + k ² = 0; assim, 2 - 1 - 1 = 2 e ⁰ + e ^{i π} + e ^{- i π} ≠ 0; mas isso é falso.

Da mesma forma, o Lema B é suficiente para provar que e é transcendental, uma vez que o Lema B diz que se a ₀ , ..., a _n são inteiros nem todos são zero, então

${\ displaystyle a_ {n} e ^ {n} + \ cdots + a_ {0} e ^ {0} \ neq 0.}$

O Lema B também é suficiente para provar que π é transcendental, pois do contrário teríamos 1 +  e ^{i π}  ≠ 0.

Equivalência das duas afirmações

A formulação de Baker do teorema implica claramente a primeira formulação. Na verdade, se forem números algébricos que são linearmente independentes , e ${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum b_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$

é um polinômio com coeficientes racionais, então temos

${\ displaystyle P \ left (e ^ {\ alpha (1)}, \ dots, e ^ {\ alpha (n)} \ right) = \ sum b_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} e ^ {i_ {1} \ alpha (1) + \ cdots + i_ {n} \ alpha (n)},}$

e uma vez que são números algébricos que são linearmente independentes dos racionais, os números são algébricos e são distintos para n- duplas distintas . Portanto, da formulação de Baker do teorema, obtemos todas as n- duplas . ${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle i_ {1} \ alpha (1) + \ cdots + i_ {n} \ alpha (n)}$${\ displaystyle (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$${\ displaystyle b_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} = 0}$${\ displaystyle (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$

Agora suponha que a primeira formulação do teorema seja válida. Pois a formulação de Baker é trivial, então vamos supor que , e sejam números algébricos diferentes de zero, e números algébricos distintos, tais que: ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle a (1), \ ldots, a (n)}$${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$

${\ displaystyle a (1) e ^ {\ alpha (1)} + \ cdots + a (n) e ^ {\ alpha (n)} = 0.}$

Como visto na seção anterior, e com a mesma notação usada lá, o valor do polinômio

${\ displaystyle Q (x_ {11}, \ ldots, x_ {nd (n)}, y_ {1}, \ dots, y_ {n}) = \ prod \ nolimits _ {\ sigma \ in S} \ left ( x_ {1 \ sigma (1)} y_ {1} + \ pontos + x_ {n \ sigma (n)} y_ {n} \ direita),}$

no

${\ displaystyle \ left (a (1) _ {1}, \ ldots, a (n) _ {d (n)}, e ^ {\ alpha (1)}, \ ldots, e ^ {\ alpha (n )}\direito)}$

tem uma expressão da forma

${\ displaystyle b (1) e ^ {\ beta (1)} + b (2) e ^ {\ beta (2)} + \ cdots + b (M) e ^ {\ beta (M)} = 0, }$

onde agrupamos os exponenciais com o mesmo expoente. Aqui, como provado acima, existem números racionais, nem todos iguais a zero, e cada expoente é uma combinação linear de com coeficientes inteiros. Então, uma vez e são pairwise distinta, o subespaço -vector da gerada pelo não é trivial e podemos escolher para formar uma base para Para cada , temos ${\ displaystyle b (1), \ ldots, b (M)}$${\ displaystyle \ beta (m)}$${\ displaystyle \ alpha (i)}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle \ alpha (i_ {1}), \ ldots, \ alpha (i_ {k})}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle m = 1, \ dots, M}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ beta (m) = q_ {m, 1} \ alpha (i_ {1}) + \ cdots + q_ {m, k} \ alpha (i_ {k}), && q_ { m, j} = {\ frac {c_ {m, j}} {d_ {m, j}}}; \ qquad c_ {m, j}, d_ {m, j} \ in \ mathbb {Z}. \ fim {alinhado}}}$

Para cada, deixe ser o mínimo múltiplo comum de todos os for e put . Então, são os números algébricos, eles formam uma base de , e cada um é uma combinação linear de com coeficientes inteiros. Multiplicando a relação ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, k,}$${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle d_ {m, j}}$${\ displaystyle m = 1, \ ldots, M}$${\ displaystyle v_ {j} = {\ tfrac {1} {d_ {j}}} \ alpha (i_ {j})}$${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {k}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ beta (m)}$${\ displaystyle v_ {j}}$

${\ displaystyle b (1) e ^ {\ beta (1)} + b (2) e ^ {\ beta (2)} + \ cdots + b (M) e ^ {\ beta (M)} = 0, }$

por , onde é um número inteiro positivo grande o suficiente, obtemos uma relação algébrica não trivial com coeficientes racionais conectando-se , contra a primeira formulação do teorema. ${\ displaystyle e ^ {N (v_ {1} + \ cdots + v_ {k})}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle e ^ {v_ {1}}, \ cdots, e ^ {v_ {k}}}$

Veja também

• Teorema de Gelfond-Schneider
• Teorema de Baker ; uma extensão do teorema de Gelfond-Schneider
• Conjectura de Schanuel ; se provado, implicaria tanto no teorema de Gelfond-Schneider quanto no teorema de Lindemann-Weierstrass

Notas

Referências

• Gordan, P. (1893), "Transcendenz von e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 222–224, doi : 10.1007 / bf01443647 , S2CID  123203471
• Hermite, C. (1873), "Sur la fonction exponentielle." , Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 77 : 18-24
• Hermite, C. (1874), Sur la fonction exponentielle. , Paris: Gauthier-Villars
• Hilbert, D. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 216–219, doi : 10.1007 / bf01443645 , S2CID  179177945 , arquivado do original em 06/10/2017 , recuperado em 24/12/2018
• Lindemann, F. (1882), "Über die Ludolph'sche Zahl." , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 2 : 679-682
• Lindemann, F. (1882), "Über die Zahl π ." , Mathematische Annalen , 20 : 213-225, doi : 10.1007 / bf01446522 , S2CID  120469397 , arquivado do original em 06/10/2017 , recuperado em 24-12-2018
• Weierstrass, K. (1885), "Zu Lindemann's Abhandlung." Über die Ludolph'sche Zahl "." , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085

Leitura adicional

• Baker, Alan (1990), Teoria dos números transcendentais , Cambridge Mathematical Library (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, MR  0422171
• Bertrand, D. (1997), "Theta functions and transcendence", The Ramanujan Journal , 1 (4): 339-350, doi : 10.1023 / A: 1009749608672 , S2CID  118628723
• Gelfond, AO (2015) [1960], Transcendental and Algebraic Numbers , Dover Books on Mathematics, traduzido por Boron, Leo F. , Nova York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, MR  0057921
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra , I (2ª ed.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1

links externos

• Weisstein, Eric W. "Hermite-Lindemann Theorem" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Lindemann-Weierstrass Theorem" . MathWorld .