Método de exaustão - Method of exhaustion

O método de exaustão ( Latina : exhaustionibus methodus ; francês : méthode des Anciens ) é um método para encontrar a área de uma forma por inscrevendo no seu interior uma sequência de polígonos cujas áreas convergem para a área da contendo de forma . Se a sequência é correctamente construído, a diferença na área entre o n ° de polígono e a forma contendo irá tornar-se arbitrariamente pequenas como n torna-se grande. À medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da forma são sistematicamente "exauridos" pelas áreas de limite inferior estabelecidas sucessivamente pelos membros da sequência.

O método da exaustão normalmente exigia uma forma de prova por contradição , conhecida como reductio ad absurdum . Isso equivale a encontrar uma área de uma região comparando-a primeiro com a área de uma segunda região (que pode ser “exaurida” de forma que sua área se torne arbitrariamente próxima da área real). A prova envolve assumir que a área verdadeira é maior do que a segunda área e, então, provar que essa afirmação é falsa e, então, supor que é menor que a segunda área, e provar que essa afirmação é falsa também.

História

Gregório de São Vicente

A ideia se originou no final do século 5 aC com Antiphon , embora não esteja totalmente claro o quão bem ele a entendeu. A teoria foi tornada rigorosa algumas décadas depois por Eudoxus de Cnido , que a usou para calcular áreas e volumes. Posteriormente, foi reinventado na China por Liu Hui no século III dC para encontrar a área de um círculo. O primeiro uso do termo foi em 1647 por Gregório de São Vicente em Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum .

O método da exaustão é visto como um precursor dos métodos de cálculo . O desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo integral rigoroso nos séculos 17 a 19 incluiu o método da exaustão de modo que não seja mais usado explicitamente para resolver problemas. Uma abordagem alternativa importante foi o princípio de Cavalieri , também denominado método dos indivisíveis, que eventualmente evoluiu para o cálculo infinitesimal de Roberval , Torricelli , Wallis , Leibniz e outros.

Euclides

Euclides usou o método da exaustão para provar as seguintes seis proposições no 12º livro de seus Elementos .

Proposição 2 : A área dos círculos é proporcional ao quadrado de seus diâmetros.

Proposição 5 : Os volumes de dois tetraedros de mesma altura são proporcionais às áreas de suas bases triangulares.

Proposição 10 : O volume de um cone é um terço do volume do cilindro correspondente que tem a mesma base e altura.

Proposição 11 : O volume de um cone (ou cilindro) de mesma altura é proporcional à área da base.

Proposição 12: O volume de um cone (ou cilindro) semelhante a outro é proporcional ao cubo da razão dos diâmetros das bases.

Proposição 18 : O volume de uma esfera é proporcional ao cubo de seu diâmetro.

Arquimedes

Arquimedes usou o método de exaustão para calcular a área dentro de um círculo

Arquimedes usou o método da exaustão como forma de calcular a área dentro de um círculo, preenchendo o círculo com um polígono de maior área e maior número de lados . O quociente formado pela área deste polígono dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser feito arbitrariamente próximo de π conforme o número de lados do polígono torna-se grande, provando que a área dentro do círculo de raio r é πr 2 , sendo π definido como a razão entre a circunferência e o diâmetro (C / d).

Ele também fornecidos os limites 3 +  10 / 71  <  π  <3 +  10 / 70 , (dando uma gama de 1 / 497 ) por comparação dos perímetros do círculo com os perímetros do inscrito e circunscrito 96-sided polígonos regulares.

Outros resultados que obteve com o método de exaustão incluíram

  • A área delimitada pela intersecção de uma linha e uma parábola é 4/3 daquela do triângulo com a mesma base e altura;
  • A área de uma elipse é proporcional a um retângulo com lados iguais aos seus eixos maior e menor;
  • O volume de uma esfera é 4 vezes o de um cone de base do mesmo raio e altura igual a este raio;
  • O volume de um cilindro de altura igual ao seu diâmetro é 3/2 o de uma esfera de mesmo diâmetro;
  • A área limitada por uma rotação espiral e uma linha é 1/3 daquela do círculo com um raio igual ao comprimento do segmento de linha;
  • O uso do método da exaustão também levou à avaliação bem-sucedida de uma série geométrica infinita (pela primeira vez).

Veja também

Referências