e (constante matemática) - e (mathematical constant)
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O número e , também conhecido como número de Euler , é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 e pode ser caracterizado de várias maneiras. É a base do logaritmo natural . É o limite de (1 + 1 / n ) n quando n se aproxima do infinito, uma expressão que surge no estudo de juros compostos . Também pode ser calculado como a soma da série infinita
É também o único número positivo a tal que o gráfico da função y = a x tem uma inclinação de 1 em x = 0 .
A função exponencial (natural) f ( x ) = e x é a função única f que é igual a sua própria derivada e satisfaz a equação f (0) = 1 ; portanto, também se pode definir e como f (1) . O logaritmo natural, ou logaritmo na base e , é a função inversa da função exponencial natural. O logaritmo natural de um número k > 1 pode ser definido directamente como a área sob a curva de y = 1 / x entre x = 1 e x = k , caso em que e é o valor de K para o qual esta área é igual a um (ver imagem). Existem várias outras caracterizações .
e às vezes é chamado de número de Euler , em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (não deve ser confundido com γ , a constante de Euler-Mascheroni , às vezes chamada simplesmente de constante de Euler ), ou constante de Napier . No entanto, a escolha de Euler do símbolo e foi mantida em sua homenagem. A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.
O número e tem importância eminente em matemática, ao lado de 0, 1, π e i . Todos os cinco aparecem em uma formulação da identidade de Euler e desempenham papéis importantes e recorrentes na matemática. Como a constante π , e é irracional (ou seja, não pode ser representado como uma proporção de inteiros) e transcendental (ou seja, não é uma raiz de qualquer polinômio diferente de zero com coeficientes racionais). Para 50 casas decimais, o valor de e é:
História
As primeiras referências à constante foram publicadas em 1618 na tabela de um apêndice de uma obra sobre logaritmos de John Napier . No entanto, ele não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos calculados a partir da constante. Presume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred .
A descoberta da própria constante é creditada a Jacob Bernoulli em 1683, que tentou encontrar o valor da seguinte expressão (que é igual a e ):
O primeiro uso conhecido da constante, representado pela letra b , foi na correspondência de Gottfried Leibniz para Christiaan Huygens em 1690 e 1691. Leonhard Euler introduziu a letra e como base para logaritmos naturais, escrevendo em uma carta a Christian Goldbach em 25 Novembro de 1731. Euler começou a usar a letra e para a constante em 1727 ou 1728, em um artigo não publicado sobre forças explosivas em canhões, enquanto a primeira aparição de e em uma publicação foi na Mecânica de Euler (1736). Embora alguns pesquisadores tenham usado a letra c nos anos subsequentes, a letra e era mais comum e acabou se tornando padrão.
Em matemática, o padrão é escrever a constante como " e ", em itálico; a norma ISO 80000-2 : 2019 recomenda constantes de composição em um estilo vertical, mas isso não foi validado pela comunidade científica.
Formulários
Juros compostos
Jacob Bernoulli descobriu essa constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:
Uma conta começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $ 2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano?
Se os juros forem creditados duas vezes no ano, a taxa de juros a cada 6 meses será de 50%, então o $ 1 inicial é multiplicado por 1,5 duas vezes, resultando em $ 1,00 × 1,5 2 = $ 2,25 no final do ano. A composição trimestral rende $ 1,00 × 1,25 4 = $ 2,4414 ... , e a composição mensal rende $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = $ 2,613035 ... Se houver n intervalos compostos, os juros para cada intervalo serão de 100% / ne o o valor no final do ano será $ 1,00 × (1 + 1 / n ) n .
Bernoulli notou que essa sequência se aproxima de um limite (a força de interesse ) com n maiores e, portanto, intervalos compostos menores. A composição semanal ( n = 52 ) rende $ 2,692597 ..., enquanto a composição diária ( n = 365 ) rende $ 2,714567 ... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que n aumenta é o número que veio a ser conhecido como e . Ou seja, com capitalização contínua , o valor da conta chegará a $ 2,718281828 ...
De maneira mais geral, uma conta que começa em $ 1 e oferece uma taxa de juros anual de R , após t anos, renderá e Rt dólares com composição contínua.
(Observe aqui que R é o equivalente decimal da taxa de juros expressa como uma porcentagem , portanto, para 5% de juros, R = 5/100 = 0,05 .)
Provas de Bernoulli
O próprio número e também tem aplicações na teoria da probabilidade , de uma forma que não está obviamente relacionada ao crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue uma máquina caça-níqueis que paga com probabilidade de um em n e jogue n vezes. Então, para n grande , a probabilidade de o jogador perder todas as apostas é de aproximadamente 1 / e . Para n = 20 , isso já é aproximadamente 1 / 2,79.
Este é um exemplo de processo de julgamento de Bernoulli . Cada vez que o jogador joga nas slots, há uma chance em n de ganhar. Jogar n vezes é modelado pela distribuição binomial , que está intimamente relacionada ao teorema binomial e ao triângulo de Pascal . A probabilidade de ganhar k vezes em n tentativas é:
Em particular, a probabilidade de ganhar zero vezes ( k = 0 ) é
O limite da expressão acima, como n tende ao infinito, é precisamente 1 / e .
Distribuição normal padrão
A distribuição normal com média zero e desvio padrão da unidade é conhecida como distribuição normal padrão , dada pela função de densidade de probabilidade
A restrição da variância da unidade (e, portanto, também o desvio padrão da unidade) resulta no 1/2no expoente, e a restrição da área total da unidade sob a curva resulta no fator . [prova] Esta função é simétrica em torno de x = 0 , onde atinge seu valor máximo , e tem pontos de inflexão em x = ± 1 .
Perturbações
Outra aplicação de e , também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Remond de Montmort , está no problema de desarranjos , também conhecido como problema do cheque de chapéu : n convidados são convidados para uma festa, e na porta, todos os convidados verifique seus chapéus com o mordomo, que por sua vez os coloca em n caixas, cada uma etiquetada com o nome de um convidado. Mas o mordomo não perguntou a identidade dos convidados, então ele coloca os chapéus em caixas selecionadas ao acaso. O problema de De Montmort é encontrar a probabilidade de que nenhum dos chapéus seja colocado na caixa certa. Esta probabilidade, denotada por , é:
Como o número n de convidados tende ao infinito, p n se aproxima de 1 / e . Além disso, o número de maneiras pelas quais os chapéus podem ser colocados nas caixas de modo que nenhum deles fique na caixa certa é n ! / E ( arredondado para o inteiro mais próximo para cada n positivo ).
Problemas de planejamento ideal
Um pedaço de comprimento L é dividido em n partes iguais. O valor de n que maximiza o produto dos comprimentos é então
- ou
O resultado declarado segue porque o valor máximo de ocorre em ( problema de Steiner , discutido abaixo ). A quantidade é uma medida de informação obtida de um evento que ocorre com probabilidade , de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o problema da secretária .
Assintóticos
O número e ocorre naturalmente em conexão com muitos problemas envolvendo assintóticos . Um exemplo é a fórmula de Stirling para a assintótica da função fatorial , na qual os números e e π aparecem:
Como consequência,
Em cálculo
A principal motivação para introduzir o número e , particularmente no cálculo , é realizar o cálculo diferencial e integral com funções exponenciais e logaritmos . Uma função exponencial geral y = a x tem uma derivada, dada por um limite :
O limite entre parênteses à direita é independente da variável x . Seu valor acaba sendo o logaritmo de a para a base e . Assim, quando o valor de a é definido como e , esse limite é igual a 1 , e assim chega-se à seguinte identidade simples:
Conseqüentemente, a função exponencial com base e é particularmente adequada para fazer cálculos. Escolher e (em oposição a algum outro número como base da função exponencial) torna os cálculos envolvendo as derivadas muito mais simples.
Outra motivação vem de considerar a derivada da base - um logaritmo (ou seja, log a x ), para x > 0 :
onde a substituição u = h / x foi feita. A base- a logaritmo de e é 1, se a for igual a e . Então, simbolicamente,
O logaritmo com essa base especial é chamado de logaritmo natural e é denotado como ln ; ele se comporta bem sob diferenciação já que não há limite indeterminado para realizar os cálculos.
Portanto, existem duas maneiras de selecionar esses números especiais a . Uma maneira é definir a derivada da função exponencial a x igual a a x e resolver para a . A outra maneira é definir a derivada da base a logaritmo para 1 / xe resolver para a . Em cada caso, chega-se a uma escolha conveniente de base para fazer cálculo. Acontece que essas duas soluções para a são na verdade as mesmas : o número e .
Caracterizações alternativas
Outras caracterizações de e também são possíveis: uma é como o limite de uma sequência , outra é como a soma de uma série infinita e outras ainda dependem do cálculo integral . Até agora, as seguintes duas propriedades (equivalentes) foram introduzidas:
- O número e é o número real positivo único tal que .
- O número e é o número real positivo único tal que .
As seguintes quatro caracterizações podem ser comprovadas como equivalentes :
- O número e é o limite
De forma similar:
- O número e é a soma da série infinita
- onde n ! é o fatorial de n .
- O número e é o número real positivo único de modo que
- Se f ( t ) é uma função exponencial , então a quantidade é uma constante, às vezes chamada de constante de tempo (é o recíproco da constante de crescimento exponencial ou constante de decaimento ). A constante de tempo é o tempo que leva para a função exponencial para aumento por um fator de e : .
Propriedades
Cálculo
Como na motivação, a função exponencial e x é importante em parte porque é a única função não trivial que é sua própria derivada (até a multiplicação por uma constante):
e, portanto, sua própria antiderivada também:
Desigualdades
O número e é o número real único tal que
para todos os x positivos .
Além disso, temos a desigualdade
para todo x real , com igualdade se e somente se x = 0 . Além disso, e é a única base da exponencial para a qual a desigualdade a x ≥ x + 1 é válida para todo x . Este é um caso limite da desigualdade de Bernoulli .
Funções tipo exponencial
O problema de Steiner pede para encontrar o máximo global para a função
Este máximo ocorre precisamente em x = e .
O valor deste máximo é 1,4446 6786 1009 7661 3365 ... (com precisão de 20 casas decimais).
Para prova, a desigualdade , de cima, avaliada em e simplificando dá . Portanto, para todos os x positivos .
Da mesma forma, x = 1 / e é onde ocorre o mínimo global para a função
definido para x positivo . Mais geralmente, para a função
o máximo global para x positivo ocorre em x = 1 / e para qualquer n <0 ; e o mínimo global ocorre em x = e −1 / n para qualquer n > 0 .
A infinita tetração
- ou
converge se e somente se e - e ≤ x ≤ e 1 / e (ou aproximadamente entre 0,0660 e 1,4447), devido a um teorema de Leonhard Euler .
Teoria dos Números
O número real e é irracional . Euler provou isso mostrando que sua expansão de fração contínua simples é infinita. (Veja também a prova de Fourier de que e é irracional .)
Além disso, pelo teorema de Lindemann-Weierstrass , e é transcendental , o que significa que não é uma solução de qualquer equação polinomial não constante com coeficientes racionais. Foi o primeiro número a ser provado transcendental sem ter sido especificamente construído para esse propósito (compare com o número de Liouville ); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.
Presume-se que e seja normal , o que significa que quando e é expresso em qualquer base, os dígitos possíveis nessa base são uniformemente distribuídos (ocorrem com igual probabilidade em qualquer sequência de determinado comprimento).
Números complexos
A função exponencial e x pode ser escrita como uma série de Taylor
Como essa série é convergente para cada valor complexo de x , ela é comumente usada para estender a definição de e x aos números complexos. Isso, com a série de Taylor para sin e cos x , permite derivar a fórmula de Euler :
que vale para todo complexo x . O caso especial com x = π é a identidade de Euler :
do que se segue que, no ramo principal do logaritmo,
Além disso, usando as leis de exponenciação,
que é a fórmula de de Moivre .
A expressão
às vezes é referido como cis ( x ) .
As expressões de sen x e cos x em termos da função exponencial podem ser deduzidas:
Equações diferenciais
A família de funções
onde C é qualquer número real, é a solução para a equação diferencial
Representações
O número e pode ser representado de várias maneiras: como uma série infinita , um produto infinito , uma fração contínua ou um limite de uma sequência . Duas dessas representações, frequentemente usadas em cursos introdutórios ao cálculo , são o limite
dado acima, e a série
obtido avaliando em x = 1 a representação da série de potências acima de e x .
Menos comum é a fração contínua
que escrito parece
Esta fração contínua para e converge três vezes mais rapidamente:
Muitas outras séries, sequência, fração contínua e representações de produto infinito de e foram provadas.
Representações estocásticas
Além de expressões analíticas exatas para representação de e , existem técnicas estocásticas para estimar e . Uma tal abordagem começa com uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes X 1 , X 2 ..., extraídas da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja V o menor número n tal que a soma das primeiras n observações exceda 1:
Então, o valor esperado de V é e : E ( V ) = e .
Dígitos conhecidos
O número de dígitos conhecidos de e aumentou substancialmente nas últimas décadas. Isso se deve tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto às melhorias dos algoritmos.
Encontro | Dígitos decimais | Cálculo realizado por |
---|---|---|
1690 | 1 | Jacob Bernoulli |
1714 | 13 | Roger Cotes |
1748 | 23 | Leonhard Euler |
1853 | 137 | William Shanks |
1871 | 205 | William Shanks |
1884 | 346 | J. Marcus Boorman |
1949 | 2.010 | John von Neumann (no ENIAC ) |
1961 | 100.265 | Daniel Shanks e John Wrench |
1978 | 116.000 | Steve Wozniak no Apple II |
Desde cerca de 2010, a proliferação de modernos computadores desktop de alta velocidade tornou viável para a maioria dos amadores computar trilhões de dígitos de e dentro de períodos de tempo aceitáveis. Atualmente, foi calculado para 31.415.926.535.897 dígitos.
Na cultura da informática
Durante o surgimento da cultura da Internet , indivíduos e organizações às vezes prestavam homenagem ao número e .
Em um exemplo anterior, o cientista da computação Donald Knuth permitiu que os números de versão de seu programa Metafont se aproximassem de e . As versões são 2, 2.7, 2.71, 2.718 e assim por diante.
Em outra instância, o pedido de IPO do Google em 2004, em vez de uma quantia de dinheiro de número redondo típico, a empresa anunciou sua intenção de levantar US $ 2.718.281.828 , que é e bilhões de dólares arredondados para o dólar mais próximo.
O Google também foi responsável por um outdoor que apareceu no coração do Vale do Silício e, mais tarde, em Cambridge, Massachusetts ; Seattle, Washington ; e Austin, Texas . Ele dizia "{primeiros 10 dígitos primos encontrados em dígitos consecutivos de e } .com". O primeiro primo de 10 dígitos em e é 7427466391, que começa no 99º dígito. Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora extinto) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em 10- números de dígitos encontrados em dígitos consecutivos de e cujos dígitos somam 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127º dígito. A resolução desse segundo problema finalmente levou a uma página da web do Google Labs, onde o visitante era convidado a enviar um currículo.
Notas
Leitura adicional
- Maor, Eli; e : The Story of a Number , ISBN 0-691-05854-7
- Comentário sobre a nota final 10 do livro Prime Obsession para outra representação estocástica
- McCartin, Brian J. (2006). "e: O mestre de tudo" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 28 (2): 10–21. doi : 10.1007 / bf02987150 .
links externos
- O número e para 1 milhão de lugares e NASA.gov 2 e 5 milhões de lugares
- e Aproximações - Wolfram MathWorld
- Primeiros usos de símbolos para constantes , 13 de janeiro de 2008
- "The story of e " , de Robin Wilson em Gresham College , 28 de fevereiro de 2007 (disponível para download de áudio e vídeo)
- e Search Engine 2 bilhões de dígitos pesquisáveis de e , π e √ 2