Ângulo hiperbólico - Hyperbolic angle

Um ângulo hiperbólico é uma figura delimitada por dois raios e um arco hiperbólico. O setor sombreado está na posição padrão se a = 1

Em matemática , um ângulo hiperbólico é uma figura geométrica que define um setor hiperbólico . A relação de um ângulo hiperbólico com uma hipérbole é paralela à relação de um ângulo "comum" com um círculo .

A magnitude do ângulo hiperbólico é a área do setor correspondente da hipérbole xy = 1. Esta hipérbole é retangular com um semieixo maior de , análogo à magnitude de um ângulo circular correspondente à área de um setor circular em um círculo com raio . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

O ângulo hiperbólico é usado como variável independente para as funções hiperbólicas sinh, cosh e tanh, porque essas funções podem ser baseadas em analogias hiperbólicas às funções trigonométricas circulares correspondentes, considerando um ângulo hiperbólico como definindo um triângulo hiperbólico . O parâmetro torna-se assim um dos mais úteis no cálculo de variáveis reais .

Definição

Considere a hipérbole retangular e (por convenção) preste atenção especial ao galho . ${\ displaystyle \ textstyle \ {(x, {\ frac {1} {x}}): x> 0 \}}$ ${\ displaystyle x> 1}$

Primeiro defina:

• O ângulo hiperbólica em posição padrão é o ângulo a entre o raio a e o raio a , onde .${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle (1,1)}$${\ displaystyle \ textstyle (x, {\ frac {1} {x}})}$${\ displaystyle x> 1}$
• A magnitude desse ângulo é a área do setor hiperbólico correspondente , que acaba sendo .${\ displaystyle \ operatorname {ln} x}$

Observe que, devido ao papel desempenhado pelo logaritmo natural :

• Ao contrário do ângulo circular, o ângulo hiperbólico é ilimitado (porque é ilimitado); isso está relacionado ao fato de que a série harmônica é ilimitada.${\ displaystyle \ operatorname {ln} x}$
• A fórmula para a magnitude do ângulo sugere que, para , o ângulo hiperbólico deve ser negativo. Isso reflete o fato de que, conforme definido, o ângulo é direcionado .${\ displaystyle 0 <x <1}$

Finalmente, estenda a definição de ângulo hiperbólico para aquele subtendido por qualquer intervalo da hipérbole. Suponha que existam números reais positivos tais que e , de modo que e sejam pontos na hipérbole e determinem um intervalo nela. Em seguida, o mapeamento de compressão mapeia o ângulo para o ângulo de posição padrão . Pelo resultado de Gregoire de Saint-Vincent , os setores hiperbólicos determinados por esses ângulos têm a mesma área, que é considerada a magnitude do ângulo. Essa magnitude é . ${\ displaystyle a, b, c, d}$${\ displaystyle ab = cd = 1}$${\ displaystyle c> a> 1}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (c, d)}$${\ displaystyle xy = 1}$ ${\ displaystyle \ textstyle f: (x, y) \ to (bx, ay)}$${\ displaystyle \ angle \! \ left ((a, b), (0,0), (c, d) \ right)}$${\ displaystyle \ angle \! \ left ((1,1), (0,0), (bc, ad) \ right)}$${\ displaystyle \ operatorname {ln} {(bc)} = \ operatorname {ln} (c / a) = \ operatorname {ln} c- \ operatorname {ln} a}$

Comparação com ângulo circular

A hipérbole da unidade possui um setor com metade da área do ângulo hiperbólico

Ângulo circular vs. hiperbólico

Um círculo unitário tem um setor circular com metade da área do ângulo circular em radianos. Analogamente, uma hipérbole unitária tem um setor hiperbólico com metade da área do ângulo hiperbólico. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$

Há também uma resolução projetiva entre os casos circulares e hiperbólicos: ambas as curvas são seções cônicas e, portanto, são tratadas como faixas projetivas na geometria projetiva . Dado um ponto de origem em uma dessas faixas, outros pontos correspondem a ângulos. A ideia de adição de ângulos, básica para a ciência, corresponde à adição de pontos em uma dessas faixas da seguinte forma:

Os ângulos circulares podem ser caracterizados geometricamente pela propriedade de que se duas cordas P ₀ P ₁ e P ₀ P ₂ subtendem os ângulos L ₁ e L ₂ no centro de um círculo, sua soma L ₁ + L ₂ é o ângulo subtendido por uma corda PQ , onde PQ deve ser paralelo a P ₁ P ₂ .

A mesma construção também pode ser aplicada à hipérbole. Se P ₀ for considerado o ponto (1, 1) , P ₁ o ponto ( x ₁ , 1 / x ₁ ) e P ₂ o ponto ( x ₂ , 1 / x ₂ ) , então a condição paralela requer que Q seja o ponto ( x ₁ x ₂ , 1 / x ₁ 1 / x ₂ ) . Portanto, faz sentido definir o ângulo hiperbólico de P ₀ até um ponto arbitrário na curva como uma função logarítmica do valor do ponto de x .

Enquanto na geometria euclidiana movendo-se continuamente em uma direção ortogonal para um raio da origem traça um círculo, em um plano pseudo-euclidiano movendo-se continuamente ortogonalmente para um raio da origem traça uma hipérbole. No espaço euclidiano, o múltiplo de um determinado ângulo traça distâncias iguais em torno de um círculo, enquanto ele traça distâncias exponenciais na linha hiperbólica.

Tanto o ângulo circular quanto o hiperbólico fornecem instâncias de uma medida invariável . Arcos com magnitude angular em um círculo geram uma medida em certos conjuntos mensuráveis no círculo, cuja magnitude não varia conforme o círculo gira ou gira . Para a hipérbole, a curva é feita por mapeamento de compressão , e as magnitudes dos ângulos hiperbólicos permanecem as mesmas quando o plano é pressionado por um mapeamento

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), com r > 0.

Relação com o elemento da linha Minkowski

Há também uma curiosa relação entre um ângulo hiperbólico e a métrica definida no espaço de Minkowski. Assim como a geometria euclidiana bidimensional define seu elemento de linha como

${\ displaystyle ds_ {e} ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2},}$

o elemento de linha no espaço de Minkowski é

${\ displaystyle ds_ {m} ^ {2} = dx ^ {2} -dy ^ {2}.}$

Considere uma curva embutida no espaço euclidiano bidimensional,

${\ displaystyle x = f (t), y = g (t).}$

Onde o parâmetro é um número real executado entre e ( ). O comprimento de arco desta curva no espaço euclidiano é calculado como: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leqslant t <b}$

${\ displaystyle S = \ int _ {a} ^ {b} ds_ {e} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2}}} dt.}$

Se define um círculo unitário, uma única solução parametrizada definida para esta equação é e . Deixando , calculando o comprimento do arco dá . Agora fazendo o mesmo procedimento, exceto substituindo o elemento euclidiano pelo elemento da linha de Minkowski, ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x = \ cos t}$${\ displaystyle y = \ sin t}$${\ displaystyle 0 \ leqslant t <\ theta}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S = \ theta}$

${\ displaystyle S = \ int _ {a} ^ {b} ds_ {m} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2}}} dt,}$

e definiu uma hipérbole "unitária" como com seu conjunto de solução parametrizada correspondente e , e deixando (o ângulo hiperbólico), chegamos ao resultado de . Em outras palavras, isso significa exatamente como o ângulo circular pode ser definido como o comprimento de arco de um arco no círculo unitário subtendido pelo mesmo ângulo usando a métrica definida euclidiana, o ângulo hiperbólico é o comprimento de arco do arco na "unidade" hipérbole subtendida pelo ângulo hiperbólico usando a métrica definida de Minkowski. ${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = 1}$${\ displaystyle y = \ cosh t}$${\ displaystyle x = \ sinh t}$${\ displaystyle 0 \ leqslant t <\ eta}$${\ displaystyle S = \ eta}$

História

A quadratura da hipérbole é a avaliação da área de um setor hiperbólico . Pode ser mostrado que é igual à área correspondente contra uma assíntota . A quadratura foi realizada pela primeira vez por Gregoire de Saint-Vincent em 1647 no Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni . Conforme expresso por um historiador,

[Ele fez a] quadratura de uma hipérbole às suas assíntotas e mostrou que à medida que a área aumentava nas séries aritméticas, as abscissas aumentavam nas séries geométricas .

AA de Sarasa interpretou a quadratura como um logaritmo e, portanto, o logaritmo natural geometricamente definido (ou "logaritmo hiperbólico") é entendido como a área sob y = 1 / x à direita de x = 1 . Como exemplo de função transcendental , o logaritmo é mais familiar do que seu motivador, o ângulo hiperbólico. No entanto, o ângulo hiperbólico desempenha um papel quando o teorema de Saint-Vincent é avançado com o mapeamento de compressão .

A trigonometria circular foi estendida à hipérbole por Augustus De Morgan em seu livro Trigonometria e Álgebra Dupla . Em 1878, WK Clifford usou o ângulo hiperbólico para parametrizar uma hipérbole unitária , descrevendo-a como " movimento quase harmônico ".

Em 1894, Alexander Macfarlane divulgou seu ensaio "The Imaginary of Algebra", que usava ângulos hiperbólicos para gerar versores hiperbólicos , em seu livro Papers on Space Analysis . No ano seguinte, o Bulletin of the American Mathematical Society publicou o esboço das funções hiperbólicas de Mellen W. Haskell .

Quando Ludwik Silberstein escreveu seu popular livro de 1914 sobre a nova teoria da relatividade , ele usou o conceito de rapidez baseado no ângulo hiperbólico a , onde tanh a = v / c , a razão entre a velocidade v e a velocidade da luz . Ele escreveu:

Parece valer a pena mencionar que à rapidez da unidade corresponde uma grande velocidade, chegando a 3/4 da velocidade da luz; mais precisamente, temos v = (0,7616) c para a = 1 .

a rapidez a = 1 , [...] conseqüentemente representará a velocidade 0,76  c que está um pouco acima da velocidade da luz na água.

Silberstein também usa o conceito de ângulo de paralelismo Π ( a ) de Lobachevsky para obter cos Π ( a ) = v / c .

Ângulo circular imaginário

O ângulo hiperbólico é freqüentemente apresentado como se fosse um número imaginário . Assim, se x é um número real ei ² = −1 , então

${\ displaystyle \ cos (ix) = \ cosh (x) \ quad {\ text {e}} \ quad \ sin (ix) = i \ sinh (x)}$

de modo que as funções hiperbólicas cosh e sinh podem ser apresentadas por meio das funções circulares. Mas essas identidades não surgem de um círculo ou rotação, mas podem ser entendidas em termos de séries infinitas . Em particular, aquele que expressa a função exponencial ( ) consiste em termos pares e ímpares, os primeiros compreendem a função cosh ( ), os últimos a função sinh ( ). A série infinita para cosseno é derivada de cosh transformando-a em uma série alternada , e a série para seno vem de fazer sinh em uma série alternada. As identidades acima usam o número i para remover o fator alternativo (−1) ⁿ dos termos da série para restaurar as metades completas da série exponencial. No entanto, na teoria das funções holomórficas , as funções seno e cosseno hiperbólicas são incorporadas às funções seno e cosseno complexas . ${\ displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x \!}$${\ displaystyle \ textstyle \ cosh x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sinh x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$

Veja também

• Ângulo transcendente

Notas

Referências

• Janet Heine Barnett (2004) "Entra, centro do palco: o drama inicial das funções hiperbólicas", disponível em (a) Mathematics Magazine 77 (1): 15–30 ou (b) capítulo 7 de Euler em 300 , RE Bradley, LA D'Antonio, editores da CE Sandifer, Mathematical Association of America ISBN  0-88385-565-8 .
• Arthur Kennelly (1912) Aplicação de funções hiperbólicas a problemas de engenharia elétrica
• William Mueller, Explorando o Pré-cálculo , § O Número e, Trigonometria Hiperbólica .
• John Stillwell (1998) Números e geometria, exercício 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN  0-387-98289-2 .