Anel total de frações - Total ring of fractions

Em álgebra abstrata , o anel quociente total , ou anel total de frações , é uma construção que generaliza a noção do campo de frações de um domínio integral para anéis comutativos R que podem ter zero divisores . A construção incorpora R em um anel maior, dando a cada divisor diferente de zero de R um inverso no anel maior. Se o homomorfismo de R para o novo anel for injetivo, nenhum outro elemento pode receber o inverso.

Definição

Let Ser um anel comutativo e deixe ser o conjunto de elementos que não são divisores zero em ; então é um conjunto multiplicativamente fechado . Portanto, podemos localizar o anel no conjunto para obter o anel quociente total . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R = Q (R)}$

Se for um domínio , então e o anel quociente total é o mesmo que o campo das frações. Isso justifica a notação , que às vezes é usada também para o campo das frações, já que não há ambigüidade no caso de um domínio. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S = R - \ {0 \}}$ ${\ displaystyle Q (R)}$

Como na construção não há divisores zero, o mapa natural é injetivo, então o anel quociente total é uma extensão de . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R \ a Q (R)}$ ${\ displaystyle R}$

Exemplos

Para um anel de produto A × B , o anel quociente total Q ( A × B ) é o produto dos anéis quocientes totais Q ( A ) × Q ( B ) . Em particular, se A e B são domínios integrais, é o produto de campos de quociente.

Para o anel de funções holomórficas em um conjunto aberto D de números complexos, o anel quociente total é o anel de funções meromórficas em D , mesmo se D não estiver conectado.

Em um anel Artinian , todos os elementos são unidades ou divisores zero. Logo, o conjunto de divisores diferentes de zero é o grupo de unidades do anel , e assim . Mas como todos esses elementos já possuem inversos ,. ${\ displaystyle R ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle Q (R) = (R ^ {\ times}) ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle Q (R) = R}$

Em um anel R regular comutativo de von Neumann , a mesma coisa acontece. Suponha que a em R não seja um divisor zero. Então, em um anel regular de von Neumann a = axa para algum x em R , dando a equação a ( xa - 1) = 0. Como a não é um divisor zero, xa = 1, mostrando que a é uma unidade. Aqui novamente ,. ${\ displaystyle Q (R) = R}$

Em geometria algébrica, considera-se um feixe de anéis quocientes totais em um esquema , e isso pode ser usado para dar uma definição possível de um divisor de Cartier .

O anel total de frações de um anel reduzido

Há um fato importante:

Proposição - Seja A um anel reduzido noetheriano com os ideais primos mínimos . Então ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1}, \ dots, {\ mathfrak {p}} _ {r}}$

{\ displaystyle Q (A) \ simeq \ prod _ {1} ^ {r} Q (A / {\ mathfrak {p}} _ {i}).}

Geometricamente, o esquema artiniano consiste (como um conjunto finito) dos pontos genéricos dos componentes irredutíveis de . ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (Q (A))}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$

Prova: cada elemento de Q ( A ) é uma unidade ou um zerodivisor. Assim, qualquer ideal próprio I de Q ( A ) deve consistir em zerodivisores. Visto que o conjunto de zerodivisores de Q ( A ) é a união dos ideais primos mínimos à medida que Q ( A ) é reduzido , por evasão primária , I deve estar contido em algum . Logo, os ideais são os ideais máximos de Q ( A ), cuja interseção é zero. Assim, pelo teorema do resto chinês aplicado a Q ( A ), temos: ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$

{\ displaystyle Q (A) \ simeq \ prod _ {i} Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}

.

Finalmente, é o campo residual de . Na verdade, escrever S para o conjunto multiplicativamente fechado de não-zerodivisores, pela exatidão da localização, ${\ displaystyle Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

{\ displaystyle Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A) = A [S ^ {- 1}] / {\ mathfrak {p}} _ {i} A [S ^ { -1}] = (A / {\ mathfrak {p}} _ {i}) [S ^ {- 1}]}

,

que já é um campo e deve ser . ${\ displaystyle Q (A / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$ ${\ displaystyle \ square}$

Generalização

Se é um anel conmutativo e é qualquer conjunto multiplicativamente fechado em , a localização pode ainda ser construída, mas a partir de homomorphism anel para poderia deixar de ser injetivo. Por exemplo, se , então é o anel trivial. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle 0 \ in S}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Citações

^ Matsumura 1980 , p. 12
^ Matsumura 1989 , p. 21

Referências

Matsumura, Hideyuki (1980), Commutative algebra
Matsumura, Hideyuki (1989), teoria do anel comutativo

[FOOTNOTEMatsumura198012-1] Matsumura 1980 , p. 12

[FOOTNOTEMatsumura198921-2] Matsumura 1989 , p. 21

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