Domínio integral - Integral domain

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v t e

Em matemática , especificamente na álgebra abstrata , um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero em que o produto de quaisquer dois elementos diferentes de zero é diferente de zero. Os domínios integrais são generalizações do anel de inteiros e fornecem um ambiente natural para estudar a divisibilidade . Em um domínio integral, todo elemento diferente de zero a tem a propriedade de cancelamento , ou seja, se a ≠ 0 , uma igualdade ab = ac implica b = c .

"Domínio integral" é definido quase universalmente como acima, mas há algumas variações. Este artigo segue a convenção de que os anéis têm uma identidade multiplicativa , geralmente denotada como 1, mas alguns autores não seguem isso, por não exigir que domínios integrais tenham uma identidade multiplicativa. Domínios integrais não comutativos às vezes são admitidos. Este artigo, entretanto, segue a convenção muito mais usual de reservar o termo "domínio integral" para o caso comutativo e usar " domínio " para o caso geral incluindo anéis não comutativos.

Algumas fontes, notavelmente Lang , usam o termo anel inteiro para domínio integral.

Alguns tipos específicos de domínios integrais são fornecidos com a seguinte cadeia de inclusões de classes :

RNG ⊃ anéis ⊃ anéis conmutativos ⊃ domínio de integridade ⊃ domínio integralmente fechado ⊃ domínios GCD ⊃ domínio fatorial ⊃ principais domínios de ideais ⊃ domínio euclidiano ⊃ campos ⊃ corpo algebricamente fechado

Estruturas algébricas
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álgebra -como Álgebra Associativo Não associativo Álgebra de composição Álgebra de mentira Classificado Bialgebra
v t e

Definição

Um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero em que o produto de quaisquer dois elementos diferentes de zero é diferente de zero. Equivalentemente:

• Um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero sem divisores de zero diferentes .
• Um domínio integral é um anel comutativo em que o ideal zero {0} é um ideal primo .
• Um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero para o qual todo elemento diferente de zero é cancelável sob multiplicação.
• Um domínio integral é um anel para o qual o conjunto de elementos diferentes de zero é um monóide comutativo sob multiplicação (porque um monóide deve ser fechado sob multiplicação).
• Um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero em que, para cada elemento r diferente de zero , a função que mapeia cada elemento x do anel para o produto xr é injetiva . Os elementos r com essa propriedade são chamados de regulares , portanto, é equivalente a exigir que todos os elementos diferentes de zero do anel sejam regulares.
• Um domínio integral é um anel isomorfo a um subanel de um campo . (Dado um domínio integral, pode-se incorporá-lo em seu campo de frações .)

Exemplos

• O exemplo arquetípico é o anel de todos os inteiros .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Cada campo é um domínio integral. Por exemplo, o campo de todos os números reais é um domínio integral. Por outro lado, todo domínio integral Artiniano é um campo. Em particular, todos os domínios integrais finitos são campos finitos (mais geralmente, pelo pequeno teorema de Wedderburn , domínios finitos são campos finitos ). O anel de inteiros fornece um exemplo de um domínio integral infinito não Artiniano que não é um campo, possuindo sequências descendentes infinitas de ideais, tais como:${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ supset 2 \ mathbb {Z} \ supset \ cdots \ supset 2 ^ {n} \ mathbb {Z} \ supset 2 ^ {n + 1} \ mathbb {Z} \ supset \ cdots }$

• Os anéis de polinômios são domínios integrais se os coeficientes vêm de um domínio integral. Por exemplo, o anel de todos os polinômios em uma variável com coeficientes inteiros é um domínio integral; o mesmo ocorre com o anel de todos os polinômios em n- variáveis ​​com coeficientes complexos .${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

• O exemplo anterior pode ser explorado posteriormente tomando quocientes de ideais primos. Por exemplo, o anel correspondente a uma curva elíptica plana é um domínio integral. A integralidade pode ser verificada mostrando um polinômio irredutível .${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2} -x (x-1) (x-2))}$${\ displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2)}$

• O anel é um domínio integral para qualquer inteiro não quadrado . Se , então, este anel é sempre um subanel de , caso contrário, é um subanel de${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) \ cong \ mathbb {Z} [{\ sqrt {n}}]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

• O anel de inteiros p-ádicos é um domínio integral.${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

• Se for um subconjunto aberto conectado do plano complexo , então o anel que consiste em todas as funções holomórficas é um domínio integral. O mesmo é verdadeiro para anéis de funções analíticas em subconjuntos abertos conectados de variedades analíticas .${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (U)}$

• Um anel local regular é um domínio integral. Na verdade, um anel local regular é um UFD .

Não exemplos

Os anéis a seguir não são domínios integrais.

• O anel zero (o anel no qual ).${\ displaystyle 0 = 1}$

• O anel quociente quando m é um número composto . Na verdade, escolha uma fatoração adequada (o que significa que e não são iguais a ou ). Então e , mas .${\ displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle m = xy}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle x \ not \ equiv 0 {\ bmod {m}}}$${\ displaystyle y \ not \ equiv 0 {\ bmod {m}}}$${\ displaystyle xy \ equiv 0 {\ bmod {m}}}$

• Um produto de dois anéis comutativos diferentes de zero. Em tal produto , um tem .${\ displaystyle R \ times S}$${\ displaystyle (1,0) \ cdot (0,1) = (0,0)}$

• O quociente soa para qualquer um . As imagens de e são diferentes de zero, enquanto seu produto é 0 neste anel.${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n ^ {2})}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x + n}$${\ displaystyle xn}$

• O anel de n x n matrizes sobre qualquer anel diferente de zero quando n ≥ 2. Se e são matrizes de modo a que a imagem de está contido no núcleo de , em seguida . Por exemplo, isso acontece para .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle MN = 0}$${\ displaystyle M = N = ({\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {smallmatrix}})}$

• O anel quociente para qualquer campo e quaisquer polinômios não constantes . As imagens de f e g neste anel quociente são elementos diferentes de zero cujo produto é 0. mostra este argumento, de forma equivalente, que não é um ideal primo . A interpretação geométrica desse resultado é que os zeros de fg formam um conjunto algébrico afim que não é irredutível (ou seja, não é uma variedade algébrica ) em geral. O único caso em que este conjunto algébrico pode ser irredutível é quando fg é uma potência de um polinômio irredutível , que define o mesmo conjunto algébrico.${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / (fg)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f, g \ in k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle (fg)}$

• O toque de funções contínuas no intervalo da unidade . Considere as funções

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1-2x & x \ in \ left [0, {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ 0 & x \ in \ left [{\ tfrac {1 } {2}}, 1 \ right] \ end {cases}} \ qquad g (x) = {\ begin {cases} 0 & x \ in \ left [0, {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ 2x-1 & x \ in \ left [{\ tfrac {1} {2}}, 1 \ right] \ end {cases}}}$

Nem nem está em todo lugar zero, mas é.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle fg}$

• O produto tensorial . Este anel possui dois idempotentes não triviais , e . Eles são ortogonais, o que significa que , portanto, não é um domínio. Na verdade, existe um isomorfismo definido por . Seu inverso é definido por . Este exemplo mostra que um produto de fibra de esquemas afins irredutíveis não precisa ser irredutível.${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle e_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (1 \ otimes 1) - {\ tfrac {1} {2}} (i \ otimes i)}$${\ displaystyle e_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (1 \ otimes 1) + {\ tfrac {1} {2}} (i \ otimes i)}$${\ displaystyle e_ {1} e_ {2} = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (z, w) \ mapsto z \ cdot e_ {1} + w \ cdot e_ {2}}$${\ displaystyle z \ otimes w \ mapsto (zw, z {\ overline {w}})}$

Divisibilidade, elementos principais e elementos irredutíveis

Nesta seção, R é um domínio integral.

Dado elementos um e b de R , diz-se que um divide b , ou que um é um divisor de b , ou que b é um múltiplo de um , se existe um elemento x em R tal que ax = b .

As unidades de R são os elementos que dividem 1; estas são precisamente os elementos invertíveis em R . As unidades dividem todos os outros elementos.

Se a divide b e b divide a , então a e b são elementos ou associados associados . De forma equivalente, um e b são associados se um = ub por alguma unidade de u .

Um elemento irredutível é uma não unidade diferente de zero que não pode ser escrita como um produto de duas não unidades.

Um não-unidade diferente de zero p é um elemento primo se, sempre que p divide um produto ab , então p divide a ou p divide b . Equivalentemente, um elemento p é primo se e somente se o ideal principal ( p ) for um ideal primo diferente de zero.

Ambas as noções de elementos irredutíveis e elementos primos generalizam a definição comum de números primos no anel se considerarmos como primos os primos negativos. ${\ displaystyle \ mathbb {Z},}$

Cada elemento principal é irredutível. O inverso não é verdadeiro em geral: por exemplo, no anel inteiro quadrático o elemento 3 é irredutível (se for fatorado de forma não trivial, cada um dos fatores teria que ter a norma 3, mas não há elementos da norma 3, pois não tem soluções inteiras) , mas não primo (já que 3 se divide sem dividir nenhum dos fatores). Em um domínio de fatoração único (ou mais geralmente, um domínio GCD ), um elemento irredutível é um elemento primo. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}$${\ displaystyle a ^ {2} + 5b ^ {2} = 3}$${\ displaystyle \ left (2 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (2 - {\ sqrt {-5}} \ right)}$

Embora a fatoração única não seja válida , há uma fatoração única de ideais . Veja o teorema Lasker-Noether . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}$

Propriedades

• Um anel comutativo R é um domínio integral se e somente se o ideal (0) de R é um ideal primo.
• Se R é um anel comutativo e P é um ideal em R , então o anel quociente R / P é um domínio integral se e somente se P é um ideal primo .
• Seja R um domínio integral. Então, os anéis polinomiais sobre R (em qualquer número de indeterminados) são domínios inteiros. Este é o caso em particular se R for um campo .
• A propriedade de cancelamento vale em qualquer domínio integral: para qualquer a , b e c em um domínio integral, se a ≠ 0 e ab = ac então b = c . Outra maneira de dizer isso é que a função x ↦ machado é injective para qualquer diferente de zero a no domínio.
• A propriedade de cancelamento de reserva para os ideais em qualquer domínio integrante: se xi = xJ , então ou x é zero ou I = J .
• Um domínio integral é igual à interseção de suas localizações em ideais máximos.
• Um limite indutivo de domínios integrais é um domínio integral.
• Se forem domínios integrais sobre um campo k algebraicamente fechado , então é um domínio integral. Isso é uma consequência do nullstellensatz de Hilbert e, na geometria algébrica, implica a afirmação de que o anel coordenado do produto de duas variedades algébricas afins sobre um campo algébricamente fechado é novamente um domínio integral.${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}$

Campo de frações

O campo de fracções de K de um domínio integral R é o conjunto de fracções de um / b com um e b em R e b ≠ 0 modulo uma relação de equivalência apropriado, equipado com a adição habitual de multiplicação e operações. É "o menor campo contendo R  " no sentido de que há um anel injetivo homomorphism R → K de tal modo que qualquer anel homomorphism injetivo de R de um campo através de factores K . O campo das frações do anel dos inteiros é o campo dos números racionais. O campo das frações de um campo é isomorfo ao próprio campo. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Geometria algébrica

Os domínios integrais são caracterizados pela condição de serem reduzidos (ou seja, x ² = 0 implica x = 0) e irredutíveis (ou seja, há apenas um ideal primário mínimo ). A primeira condição garante que o nilradical do anel seja zero, de modo que a interseção de todos os primos mínimos do anel seja zero. A última condição é que o anel tenha apenas um primo mínimo. Segue-se que o ideal primário mínimo único de um anel reduzido e irredutível é o ideal zero, portanto, tais anéis são domínios integrais. O inverso é claro: um domínio integral não tem elementos nilpotentes diferentes de zero, e o ideal zero é o ideal primário mínimo único.

Isso se traduz, em geometria algébrica , no fato de que o anel coordenado de um conjunto algébrico afim é um domínio integral se e somente se o conjunto algébrico for uma variedade algébrica .

Mais geralmente, um anel comutativo é um domínio integral se e somente se seu espectro for um esquema afim integral .

Características e homomorfismos

A característica de um domínio integral é 0 ou um número primo .

Se R é um domínio integral da característica primária p , então o endomorfismo de Frobenius f ( x ) = x ^p é injetivo .

Veja também

• Norma Dedekind-Hasse - a estrutura extra necessária para um domínio integral ser o principal
• Propriedade de produto zero

Notas

Referências

• Adamson, Iain T. (1972). Anéis e módulos elementares . University Mathematical Texts. Oliver e Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Álgebra, capítulos 1–3 . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1967). Álgebra . Nova York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR  0214415 .
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª ed.). Nova York: Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Hungerford, Thomas W. (2013). Abstract Algebra: An Introduction (3ª ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 211 . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. MR  1878556 .
• Sharpe, David (1987). Anéis e fatoração . Cambridge University Press . ISBN 0-521-33718-6.
• Rowen, Louis Halle (1994). Álgebra: grupos, anéis e campos . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.
• Lanski, Charles (2005). Conceitos de álgebra abstrata . Livraria AMS. ISBN 0-534-42323-X.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Uma introdução aos anéis de grupo . Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• BL van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

links externos

• "de onde vem o termo" domínio integral "?" .