Número inteiro quadrático - Quadratic integer

Na teoria dos números , inteiros quadráticos são uma generalização dos inteiros usuais para campos quadráticos . Os inteiros quadráticos são inteiros algébricos de grau dois, ou seja, soluções de equações da forma

x ² + bx + c = 0

com b e c (usuais) inteiros. Quando inteiros algébricos são considerados, os inteiros usuais são freqüentemente chamados de inteiros racionais .

Exemplos comuns de inteiros quadráticos são as raízes quadradas de inteiros racionais, como √ 2 , e o número complexo i = √ –1 , que gera os inteiros gaussianos . Outro exemplo comum é a raiz cúbica não real da unidade -1 + √ -3/2, que gera os inteiros de Eisenstein .

Os inteiros quadráticos ocorrem nas soluções de muitas equações diofantinas , como as equações de Pell e outras questões relacionadas às formas quadráticas integrais . O estudo de anéis de inteiros quadráticos é básico para muitas questões da teoria algébrica dos números .

História

Os matemáticos indianos medievais já haviam descoberto uma multiplicação de inteiros quadráticos do mesmo D , o que lhes permitia resolver alguns casos da equação de Pell .

A caracterização dada em § Representação explícita dos inteiros quadráticos foi dada pela primeira vez por Richard Dedekind em 1871.

Definição

Um inteiro quadrático é um inteiro algébrico de grau dois. Mais explicitamente, que é um número complexo , o que resolve uma equação da forma x ² + bx + c = 0 , com b e c números inteiros . Cada inteiro quadrático que não é um inteiro não é racional - ou seja, é um número irracional real se b ² - 4 c > 0 e não real se b ² - 4 c <0 - e está em um campo quadrático determinado exclusivamente , o extensão de gerado pela raiz quadrada do único inteiro livre de quadrado D que satisfaz b ² - 4 c = De ² para algum inteiro e . Se D for positivo, o inteiro quadrático é real. Se D <0, é imaginário (isto é, complexo e não real). ${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4c}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Os inteiros quadráticos (incluindo os inteiros ordinários), que pertencem a um campo quadrático , formam um domínio integral denominado anel de inteiros de${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Embora os inteiros quadráticos pertencentes a um determinado campo quadrático formem um anel , o conjunto de todos os inteiros quadráticos não é um anel porque não é fechado sob adição ou multiplicação . Por exemplo, e são inteiros quadráticos, mas e não são, pois seus polinômios mínimos têm grau quatro. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) \ cdot {\ sqrt {3}}}$

Representação explícita

Aqui e no seguinte, os inteiros quadráticos que são considerados pertencem a um campo quadrático onde D é um inteiro livre de quadrados . Isso não restringe a generalidade, pois a igualdade √ a ² D = a √ D (para qualquer inteiro positivo a ) implica${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Um elemento x de é um inteiro quadrático se e somente se houver dois inteiros a e b tais que qualquer um ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

${\ displaystyle x = a + b {\ sqrt {D}},}$

ou, se D - 1 é um múltiplo de 4

${\ displaystyle x = {\ frac {a} {2}} + {\ frac {b} {2}} {\ sqrt {D}},}$com a e b ambos ímpares

Em outras palavras, cada inteiro quadrático pode ser escrito a + ωb  , onde a e  b são inteiros, e onde ω é definido por:

${\ displaystyle \ omega = {\ begin {cases} {\ sqrt {D}} & {\ mbox {if}} D \ equiv 2,3 {\ pmod {4}} \\ {{1 + {\ sqrt { D}}} \ over 2} & {\ mbox {if}} D \ equiv 1 {\ pmod {4}} \ end {cases}}}$

(como D foi suposto livre de quadrados, o caso é impossível, uma vez que implicaria que D seria divisível pelo quadrado 4). ${\ displaystyle D \ equiv 0 {\ pmod {4}}}$

Norma e conjugação

Um número inteiro quadrático em pode ser escrito ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

onde um e  b são ou ambos inteiros, ou, se D ≡ 1 (mod 4) , ambas as metades de inteiros impares . A norma desse número inteiro quadrático é

N ( a + b √ D ) = a ² - Db ² .

A norma de um inteiro quadrático é sempre um inteiro. Se D <0 , a norma de um inteiro quadrático é o quadrado de seu valor absoluto como um número complexo (isso é falso se D > 0 ). A norma é uma função completamente multiplicativa , o que significa que a norma de um produto de inteiros quadráticos é sempre o produto de suas normas.

Cada inteiro quadrático a + b √ D tem um conjugado

${\ displaystyle {\ overline {a + b {\ sqrt {D}}}} = ab {\ sqrt {D}}.}$

Um inteiro quadrático tem a mesma norma que seu conjugado, e essa norma é o produto do inteiro quadrático e seu conjugado. O conjugado de uma soma ou produto de inteiros quadráticos é a soma ou o produto (respectivamente) dos conjugados. Isso significa que a conjugação é um automorfismo do anel dos inteiros de —ver § Anéis inteiros quadráticos , abaixo. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Anéis inteiros quadráticos

Cada inteiro livre de quadrados (diferente de 0 e 1) D define um anel inteiro quadrático , que é o domínio integral que consiste nos inteiros algébricos contidos em É o conjunto Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, onde se D = 4 k +1 , e ω = √ D caso contrário. É frequentemente denotado , porque é o anel de inteiros de Q ( √ D ), que é o fechamento integral de Z em O anel Z [ ω ] consiste em todas as raízes de todas as equações x ² + Bx + C = 0 cujo discriminante B ² - 4 C é o produto de D pelo quadrado de um inteiro. Em particular, √ D pertence a Z [ ω ] , sendo a raiz da equação x ² - D = 0 , que tem 4 D como discriminante. ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {D}}} {2}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

A raiz quadrada de qualquer inteiro é um inteiro quadrático, já que todo inteiro pode ser escrito n = m ² D , onde D é um inteiro livre de quadrado e sua raiz quadrada é uma raiz de x ² - m ² D = 0 .

O teorema fundamental da aritmética não é verdadeiro em muitos anéis de inteiros quadráticos. No entanto, há uma fatoração única para ideais , que é expressa pelo fato de que cada anel de inteiros algébricos é um domínio de Dedekind . Sendo os exemplos mais simples de inteiros algébricos, os inteiros quadráticos são comumente os exemplos iniciais da maioria dos estudos da teoria algébrica dos números .

Os anéis inteiros quadráticas dividem em duas classes de acordo com o sinal de D . Se D > 0 , todos os elementos de são reais e o anel é um anel inteiro quadrático real . Se D <0 , os únicos elementos reais de são os inteiros ordinários e o anel é um anel inteiro quadrático complexo . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

Para anéis inteiros quadráticos reais, o número da classe , que mede a falha da fatoração única, é fornecido em OEIS A003649 ; para o caso imaginário, são dados em OEIS A000924 .

Unidades

Um inteiro quadrático é uma unidade no anel dos inteiros de se e somente se sua norma é 1 ou -1 . No primeiro caso, seu inverso multiplicativo é seu conjugado. É a negação de seu conjugado no segundo caso. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Se D <0 , o anel dos inteiros de tem no máximo seis unidades. No caso dos inteiros gaussianos ( D = –1 ), as quatro unidades são 1, –1, √ –1 , - √ –1 . No caso dos inteiros de Eisenstein ( D = –3 ), as seis unidades são ± 1,${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$± 1 ± √ –3/2. Para todos os outros D negativos , existem apenas duas unidades, que são 1 e -1 .

Se D > 0 , o anel dos inteiros de tem um número infinito de unidades iguais a ± u ⁱ , onde i é um inteiro arbitrário e u é uma unidade particular chamada unidade fundamental . Dada uma unidade fundamental u , existem três outras unidades fundamentais, seu conjugado e também e comumente, chama-se a unidade fundamental, a única que tem um valor absoluto maior que 1 (como um número real). É a unidade fundamental única que pode ser escrita como a + b √ D , com a e b positivos (inteiros ou metades de inteiros). ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle {\ overline {u}},}$${\ displaystyle -u}$${\ displaystyle - {\ overline {u}}.}$

As unidades fundamentais para os 10 menores D livres de quadrados positivos são 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(a proporção áurea ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Para D maior , os coeficientes da unidade fundamental podem ser muito grandes. Por exemplo, para D = 19, 31, 43 , as unidades fundamentais são respectivamente 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 e 3482 + 531 √ 43 .

Exemplos de anéis inteiros quadráticos complexos

Para D  <0, ω é um número complexo ( imaginário ou não real). Portanto, é natural tratar um anel inteiro quadrático como um conjunto de números complexos algébricos .

• Um exemplo clássico são os inteiros gaussianos , que foram introduzidos por Carl Gauss por volta de 1800 para estabelecer sua lei de reciprocidade biquadrática.${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$
• Os elementos em são chamados de inteiros de Eisenstein .${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-3}})} = \ mathbf {Z} \ left [{{1 + {\ sqrt {-3}}} \ over 2} \ right]}$

Ambos os anéis mencionados acima são anéis de inteiros de campos ciclotômicos Q (ζ ₄ ) e Q (ζ ₃ ) correspondentemente. Em contraste, Z [ √ −3 ] nem mesmo é um domínio de Dedekind .

Ambos os exemplos acima são anéis ideais principais e também domínios euclidianos para a norma. Este não é o caso de

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})} = \ mathbf {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right],}$

que nem mesmo é um domínio de fatoração único . Isso pode ser demonstrado do seguinte modo.

Em nós temos ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})},}$

${\ displaystyle 9 = 3 \ cdot 3 = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}$

Os fatores 3, e são irredutíveis , pois todos possuem uma norma 9, e se não fossem irredutíveis, teriam um fator de norma 3, o que é impossível, sendo a norma de um elemento diferente de ± 1 no mínimo 4 Assim, a fatoração de 9 em fatores irredutíveis não é única. ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$

Os ideais e não são principais , pois um simples cálculo mostra que seu produto é o ideal gerado por 3 e, se fossem principais, isso implicaria que 3 não seria irredutível. ${\ displaystyle \ langle 3,1 + {\ sqrt {-5}} \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 3,1 - {\ sqrt {-5}} \ rangle}$

Exemplos de anéis inteiros quadráticos reais

Para D > 0 , ω é um número real irracional positivo e o anel inteiro quadrático correspondente é um conjunto de números reais algébricos . As soluções da equação de Pell X ² - D  Y ² = 1 , equação Diofantina amplamente estudada, são as unidades desses anéis, para D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Para D = 5 , ω =1+ √ 5/2é a proporção áurea . Este anel foi estudado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Suas unidades têm a forma ± ω ⁿ , onde n é um número inteiro arbitrário. Este anel também surge do estudo da simetria rotacional de 5 vezes no plano euclidiano, por exemplo, as telhas de Penrose .
• O matemático indiano Brahmagupta tratou a equação de Pell X ² - 61  Y ² = 1 , correspondendo ao anel é Z [ √ 61 ] . Alguns resultados foram apresentados à comunidade europeia por Pierre Fermat em 1657.

Anéis principais de inteiros quadráticos

A propriedade de fatoração única nem sempre é verificada para anéis de inteiros quadráticos, como visto acima para o caso de Z [ √ −5 ] . No entanto, como para todo domínio de Dedekind , um anel de inteiros quadráticos é um domínio de fatoração único se e somente se for um domínio ideal principal . Isso ocorre se e somente se o número da classe do campo quadrático correspondente for um.

Os anéis imaginários de inteiros quadráticos que são os anéis ideais principais foram completamente determinados. Estes são para ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Este resultado foi conjecturado pela primeira vez por Gauss e provado por Kurt Heegner , embora a prova de Heegner não fosse acreditada até que Harold Stark fornecesse uma prova posterior em 1967. (Veja o teorema de Stark-Heegner .) Este é um caso especial do famoso problema do número de classe .

Existem muitos inteiros positivos conhecidos D > 0 , para os quais o anel dos inteiros quadráticos é o anel ideal principal. No entanto, a lista completa não é conhecida; não se sabe nem se o número desses anéis ideais principais é finito ou não.

Anéis euclidianos de inteiros quadráticos

Quando um anel de inteiros quadráticos é um domínio ideal principal , é interessante saber se é um domínio euclidiano . Este problema foi completamente resolvido da seguinte maneira.

Equipado com a norma como uma função euclidiana , é um domínio euclidiano para D negativo quando ${\ displaystyle N (a + b {\ sqrt {D}}) = a ^ {2} -Db ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

e, para D positivo , quando

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sequência A048981 no OEIS ).

Não há nenhum outro anel de inteiros quadráticos que seja euclidiano com a norma como uma função euclidiana.

Para D negativo , um anel de inteiros quadráticos é euclidiano se e somente se a norma for uma função euclidiana para ele. Segue-se que, para

D = −19, −43, −67, −163 ,

os quatro anéis correspondentes de inteiros quadráticos estão entre os raros exemplos conhecidos de domínios ideais principais que não são domínios euclidianos.

Por outro lado, a hipótese generalizada de Riemann implica que um anel de inteiros quadráticos reais que é um domínio ideal principal também é um domínio euclidiano para alguma função euclidiana, que pode de fato diferir da norma usual. Os valores D = 14, 69 foram os primeiros para os quais o anel de inteiros quadráticos foi provado ser euclidiano, mas não euclidiano normal.

Notas

Referências

• Bourbaki, Nicolas (1994). Elementos da história da matemática . Traduzido por Meldrum, John. Berlim: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. Página visitada em 5 de agosto de 2009
• Dummit, DS e Foote, RM, 2004. Abstract Algebra , 3rd ed.
• Artin, M, Algebra , 2ª ed., Capítulo 13.

Leitura adicional

• JS Milne. Teoria Algébrica dos Números , versão 3.01, 28 de setembro de 2008. notas de aula online