Domínio de fatoração único - Unique factorization domain

Em matemática , um domínio de fatoração único ( UFD ) (também às vezes chamado de anel fatorial seguindo a terminologia de Bourbaki ) é um anel no qual uma afirmação análoga ao teorema fundamental da aritmética é válida. Especificamente, um UFD é um domínio integral (um anel comutativo não trivial em que o produto de quaisquer dois elementos diferentes de zero é diferente de zero) em que cada elemento não unitário diferente de zero pode ser escrito como um produto de elementos primos (ou elementos irredutíveis ), exclusivamente por ordem e unidades.

Exemplos importantes de UFDs são os inteiros e anéis polinomiais em uma ou mais variáveis ​​com coeficientes provenientes dos inteiros ou de um campo .

Domínios de fatoração exclusivos aparecem na seguinte cadeia de inclusões de classes :

RNG ⊃ anéis ⊃ anéis conmutativos ⊃ domínio de integridade ⊃ domínio integralmente fechado ⊃ domínios GCD ⊃ domínio fatorial ⊃ principais domínios de ideais ⊃ domínio euclidiano ⊃ campos ⊃ corpo algebricamente fechado

Definição

Formalmente, um domínio de fatoração único é definido como um domínio integral R em que cada elemento diferente de zero x de R pode ser escrito como um produto (um produto vazio se x for uma unidade) de elementos irredutíveis p _i de R e uma unidade vc :

x = u p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n com n ≥ 0

e esta representação é única no seguinte sentido: Se q ₁ , ..., q _m são elementos irredutíveis de R e w é uma unidade tal que

x = w q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m com m ≥ 0,

então m = n , e existe um mapa bijetivo φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m } tal que p _i está associado a q _{φ ( i )} para i ∈ {1, ..., n }.

A parte da exclusividade geralmente é difícil de verificar, por isso a seguinte definição equivalente é útil:

Um domínio fatorial é um domínio integral R em que cada elemento diferente de zero pode ser escrito como um produto de uma unidade e elementos principais de R .

Exemplos

A maioria dos anéis familiares da matemática elementar são UFDs:

• Todos os domínios ideais principais , portanto todos os domínios euclidianos , são UFDs. Em particular, os inteiros (veja também o teorema fundamental da aritmética ), os inteiros gaussianos e os inteiros de Eisenstein são UFDs.
• Se R é um UFD, então também o é R [ X ], o anel de polinómios com coeficientes em R . A menos que R seja um campo, R [ X ] não é um domínio ideal principal. Por indução, um anel polinomial em qualquer número de variáveis ​​sobre qualquer UFD (e em particular sobre um campo ou sobre os inteiros) é um UFD.
• O anel de série de potência formal K [[ X ₁ , ..., X _n ]] sobre um campo K (ou mais geralmente sobre um UFD regular como um PID) é um UFD. Por outro lado, o anel de série de potência formal sobre um UFD não precisa ser um UFD, mesmo se o UFD for local. Por exemplo, se R é a localização de k [ x , y , z ] / ( x ²  +  y ³  +  z ⁷ ) no ideal primo ( x , y , z ), então R é um anel local que é um UFD, mas o anel formal da série de potências R [[ X ]] sobre R não é um UFD.
• O teorema de Auslander-Buchsbaum afirma que todo anel local regular é um UFD.
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}}]}$ é um UFD para todos os inteiros 1 ≤ n ≤ 22, mas não para n = 23.
• Mori mostrou que se a conclusão de um anel Zariski , como um anel local noetheriano , for um UFD, então o anel é um UFD. O inverso disso não é verdade: há anéis locais noetherianos que são UFDs, mas cujas terminações não são. A questão de quando isso acontece é bastante sutil: por exemplo, para a localização de k [ x , y , z ] / ( x ²  +  y ³  +  z ⁵ ) no ideal primo ( x , y , z ), ambos os anel local e sua conclusão são UFDs, mas no exemplo aparentemente semelhante da localização de k [ x , y , z ] / ( x ²  +  y ³  +  z ⁷ ) no ideal principal ( x , y , z ) o local anel é um UFD, mas sua conclusão não é.
• Seja um campo de qualquer característica diferente de 2. Klein e Nagata mostraram que o anel R [ X ₁ , ..., X _n ] / Q é um UFD sempre que Q é uma forma quadrática não singular nos X 's e n é pelo menos 5. Quando n = 4, o anel não precisa ser um UFD. Por exemplo, não é um UFD, porque o elemento é igual ao elemento de forma que e são duas fatorações diferentes do mesmo elemento em irredutíveis. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [X, Y, Z, W] / (XY-ZW)}$${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle ZW}$${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle ZW}$
• O anel Q [ x , y ] / ( x ²  + 2 y ²  + 1) é um UFD, mas o anel Q ( i ) [ x , y ] / ( x ²  + 2 y ²  + 1) não é. Por outro lado, o anel Q [ x , y ] / ( x ²  +  y ²  - 1) não é um UFD, mas o anel Q ( i ) [ x , y ] / ( x ²  +  y ²  - 1) é ( Samuel 1964 , p.35). Da mesma forma, o anel coordenado R [ X , Y , Z ] / ( X ²  +  Y ²  +  Z ²  - 1) da esfera real bidimensional é um UFD, mas o anel coordenado C [ X , Y , Z ] / ( X ²  +  Y ²  +  Z ²  - 1) da esfera complexa não é.
• Suponha que as variáveis X _i tenham pesos w _i e F ( X ₁ , ..., X _n ) seja um polinômio homogêneo de peso w . Então, se c é coprime para w e R é um UFD e cada módulo projetivo finitamente gerado sobre R é livre ou c é 1 mod w , o anel R [ X ₁ , ..., X _n , Z ] / ( Z ^c  -  F ( X ₁ , ..., X _n )) é um UFD ( Samuel 1964 , p.31).

Não exemplos

• O anel inteiro quadrática de todos os números complexos da forma , onde um e b são números inteiros, não é um UFD porque 6 factores como ambos 2 × 3 e como . Essas são realmente fatorações diferentes, porque as únicas unidades neste anel são 1 e -1; portanto, nenhum de 2, 3 , e são associados . Não é difícil mostrar que todos os quatro fatores também são irredutíveis, embora isso possa não ser óbvio. Veja também inteiro algébrico . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle \ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {-5}}}$
• Para um inteiro positivo sem quadrado d, o anel de inteiros de não será um UFD, a menos que d seja um número de Heegner . ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [{\ sqrt {-d}}]}$
• O anel das séries de potências formais sobre os números complexos é um UFD, mas o subanel daqueles que convergem para todos os lados , ou seja, o anel de funções inteiras em uma única variável complexa, não é um UFD, pois existem funções inteiras com um infinito de zeros e, portanto, uma infinidade de fatores irredutíveis, enquanto uma fatoração UFD deve ser finita, por exemplo:

${\ displaystyle \ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {{z ^ {2}} \ over {n ^ {2}}} \ right ).}$

Propriedades

Alguns conceitos definidos para inteiros podem ser generalizados para UFDs:

• Em UFDs, todo elemento irredutível é primo . (Em qualquer domínio integral, todo elemento primo é irredutível, mas o inverso nem sempre é válido. Por exemplo, o elemento é irredutível, mas não primo.) Observe que isso tem um inverso parcial: um domínio que satisfaz o ACCP é um UFD se e apenas se todo elemento irredutível for primo. ${\ displaystyle z \ in K [x, y, z] / (z ^ {2} -xy)}$
• Quaisquer dois elementos de um UFD têm um máximo divisor comum e um mínimo múltiplo comum . Aqui, um máximo divisor comum de um e b é um elemento d que divide tanto a e b , e de tal forma que todos os outros divisor comum de um e b divide d . Todos os maiores divisores comuns de a e b estão associados .
• Qualquer UFD é fechado integralmente . Em outras palavras, se R é um UFD com campo quociente K, e se um elemento k em K é a raiz de um polinômio mônico com coeficientes em R, então k é um elemento de R.
• Deixe- S ser um subconjunto multiplicativamente fechado de um UFD Uma . Então, a localização é um UFD. Um inverso parcial para isso também é válido; Veja abaixo. ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Condições equivalentes para um anel ser um UFD

Um domínio integral Noetheriano é um UFD se e somente se todo ideal primo de altura 1 for principal (uma prova é dada no final). Além disso, um domínio Dedekind é um UFD se e somente se seu grupo de classes ideal for trivial. Nesse caso, é de fato um domínio ideal principal .

Em geral, para um domínio A integral , as seguintes condições são equivalentes:

1. A é um UFD.
2. Todo ideal primo diferente de zero de A contém um elemento primo . ( Kaplansky )
3. A satisfaz a condição de cadeia ascendente nos ideais principais (ACCP), e a localização S ⁻¹ A é um UFD, onde S é um subconjunto multiplicativamente fechado de A gerado por elementos primos. (Critério de Nagata)
4. A satisfaz o ACCP e todo irredutível é primordial .
5. A é atômico e todo irredutível é primo .
6. A é um domínio GCD (ou seja, quaisquer dois elementos têm o maior divisor comum) que satisfaz (ACCP).
7. A é um domínio de Schreier e atômico .
8. A é um domínio pré-Schreier e atômico .
9. A tem uma teoria do divisor em que cada divisor é o principal.
10. A é um domínio Krull em que todo ideal divisório é principal (na verdade, esta é a definição de UFD em Bourbaki.)
11. A é um domínio de Krull e todo ideal principal de altura 1 é o principal.

Na prática, (2) e (3) são as condições mais úteis para verificar. Por exemplo, segue imediatamente de (2) que um PID é um UFD, uma vez que todo ideal primo é gerado por um elemento primo em um PID.

Para outro exemplo, considere um domínio integral Noetherian no qual cada altura um ideal primo é principal. Uma vez que todo ideal primário tem altura finita, ele contém um ideal primário (indução na altura) que é o principal. Em (2), o anel é um UFD.

Veja também

• Anel local parafatorial

Citações

Referências