Polinômio Monic - Monic polynomial

Na álgebra , um polinômio mônico é um polinômio de variável única (ou seja, um polinômio univariado ) em que o coeficiente líder (o coeficiente diferente de zero de grau mais alto) é igual a 1. Portanto, um polinômio mônico tem a forma:

${\ displaystyle x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + c_ {2} x ^ {2} + c_ {1} x + c_ {0}}$

Polinômios univariados

Se um polinômio tem apenas um indeterminado ( polinômio univariado ), os termos são geralmente escritos do grau mais alto para o grau mais baixo ("potências descendentes") ou do grau mais baixo para o mais alto ("potências ascendentes"). Um polinômio univariado em x de grau n, então, assume a forma geral exibida acima, onde

c _n ≠ 0, c _{n −1} , ..., c ₂ , c ₁ e c ₀

são constantes, os coeficientes do polinômio.

Aqui, o termo c _n x ⁿ é chamado de termo líder , e seu coeficiente c _n, o coeficiente líder ; se o coeficiente líder for 1 , o polinômio univariado é chamado mônico .

Propriedades

Multiplicativamente fechado

O conjunto de todos os polinômios mônicos (sobre um determinado anel A (unitário) e para uma determinada variável x ) é fechado sob multiplicação, uma vez que o produto dos termos líderes de dois polinômios mônicos é o termo líder de seu produto. Assim, os polinômios mônicos formam um semigrupo multiplicativo do anel polinomial A [ x ]. Na verdade, como o polinômio constante 1 é mônico, este semigrupo é até um monóide .

Parcialmente ordenado

A restrição da relação de divisibilidade ao conjunto de todos os polinômios mônicos (sobre o anel dado) é uma ordem parcial e, portanto, torna este conjunto um poset . A razão é que se p ( x ) divide q ( x ) eq ( x ) divide p ( x ) por dois polinômios mônicos p e q , então p e q devem ser iguais. A propriedade correspondente não é verdadeira para polinômios em geral, se o anel contiver elementos invertíveis diferentes de 1.

Soluções de equação polinomial

Em outros aspectos, as propriedades dos polinómios mônicos e dos seus correspondentes mônicos equações polinomiais dependem crucialmente do anel coeficiente Uma . Se A for um campo , então todo polinômio diferente de zero p tem exatamente um polinômio mônico associado q : p dividido por seu coeficiente líder. Desta maneira, então, qualquer equação polinomial não trivial p ( x ) = 0 pode ser substituída por uma equação mônica equivalente q ( x ) = 0. Por exemplo, a equação geral de segundo grau real

${\ displaystyle \ ax ^ {2} + bx + c = 0}$(onde )${\ displaystyle a \ neq 0}$

pode ser substituído por

${\ displaystyle \ x ^ {2} + px + q = 0}$,

substituindo   p  =  b / a   e   q  =  c / a . Assim, a equação

${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

é equivalente à equação mônica

${\ displaystyle x ^ {2} + {\ frac {3} {2}} x + {\ frac {1} {2}} = 0.}$

A fórmula geral da solução quadrática é então a forma ligeiramente mais simplificada de:

${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}} \ left (-p \ pm {\ sqrt {p ^ {2} -4q}} \ right).}$

Integralidade

Por outro lado, se o anel de coeficiente não for um campo, existem diferenças mais essenciais. Por exemplo, uma equação polinomial mônica com coeficientes inteiros não pode ter soluções racionais que não sejam inteiros. Assim, a equação

${\ displaystyle \ 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

possivelmente pode ter alguma raiz racional, que não é um inteiro, (e incidentalmente uma de suas raízes é -1/2); enquanto as equações

${\ displaystyle \ x ^ {2} + 5x + 6 = 0}$

e

${\ displaystyle \ x ^ {2} + 7x + 8 = 0}$

só pode ter soluções inteiras ou soluções irracionais .

As raízes de polinômios mônicos com coeficientes inteiros são chamadas de inteiros algébricos .

As soluções para equações polinomiais mônicas sobre um domínio integral são importantes na teoria das extensões integrais e domínios integralmente fechados e, portanto, para a teoria dos números algébricos . De uma maneira geral, assumir que A é um domínio integral, e também um subanel do domínio integral B . Considere o subconjunto C de B , que consiste nesses elementos B , que satisfazem as equações polinomiais mônicas sobre A :

${\ displaystyle C: = \ {b \ in B: \ existe \, p (x) \ in A [x] \ ,, {\ hbox {que é monic e tal que}} p (b) = 0 \} \ ,.}$

O conjunto C contém A , já que qualquer a  ∈  A satisfaz a equação x  -  a  = 0. Além disso, é possível provar que C é fechado sob adição e multiplicação. Assim, C é um subanel de B . O anel C é chamado de [[fechamento integral] de A em B ; ou apenas o fechamento integral de A , se B for o campo de fração de A ; e os elementos de C são referidos como sendo integrante sobre um . Se aqui (o anel dos inteiros ) e (o campo dos números complexos ), então C é o anel dos inteiros algébricos . ${\ displaystyle A = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle B = \ mathbb {C}}$

Irredutibilidade

Se p é um número primo , o número de polinômios mônicos irredutíveis de grau n sobre um corpo finito com p elementos é igual à função de contagem de colar . ${\ displaystyle \ mathrm {GF} (p)}$ ${\ displaystyle N_ {p} (n)}$

Se alguém remover a restrição de ser monônico, esse número se torna . ${\ displaystyle (p-1) N_ {p} (n)}$

O número total de raízes desses polinômios irredutíveis mônicos é . Este é o número de elementos do campo (com elementos) que não pertencem a nenhum campo menor. ${\ displaystyle nN_ {p} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {GF} (p ^ {n})}$${\ displaystyle p ^ {n}}$

Para p = 2 , tais polinômios são comumente usados ​​para gerar sequências binárias pseudo-aleatórias .

Polinômios multivariados

Normalmente, o termo monic não é empregado para polinômios de várias variáveis. No entanto, um polinômio em várias variáveis ​​pode ser considerado um polinômio apenas em "a última" variável, mas com os coeficientes sendo polinômios nas outras. Isso pode ser feito de várias maneiras, dependendo de qual das variáveis ​​for escolhida como "a última". Por exemplo, o polinômio real

${\ displaystyle \ p (x, y) = 2xy ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + 3x + 5y-8}$

é monic, considerado como um elemento em R [ y ] [ x ], ou seja, como um polinômio univariado na variável x , com coeficientes que são polinômios univariados em y :

${\ displaystyle p (x, y) = 1 \ cdot x ^ {2} + (2y ^ {2} +3) \ cdot x + (- y ^ {2} + 5y-8)}$;

mas p ( x , y ) não é mônico como um elemento em R [ x ] [ y ], pois então o coeficiente de grau mais alto (isto é, o coeficiente y ² ) é 2 x  - 1.

Há uma convenção alternativa, que pode ser útil, por exemplo, em contextos de base de Gröbner : um polinômio é chamado mônico, se seu coeficiente líder (como um polinômio multivariado) for 1. Em outras palavras, assuma que p = p ( x ₁ , .. ., x _n ) é um polinômio diferente de zero em n variáveis, e que existe uma ordem monomial dada no conjunto de todos os monômios ("mônicos") nessas variáveis, ou seja, uma ordem total do monóide comutativo livre gerado por x ₁ , ..., x _n , com a unidade como elemento mais baixo e respeitando a multiplicação. Nesse caso, essa ordem define o maior termo não-desaparecimento em p , e p pode ser chamado de mônico, se esse termo tiver coeficiente um.

"Polinômios multivariados monic" de acordo com qualquer definição compartilham algumas propriedades com os polinômios mônicos "comuns" (univariados). Notavelmente, o produto de polinômios mônicos novamente é mônico.

Veja também

• Polinômio quadrático complexo

Citações

Referências