Eisenstein inteiro - Eisenstein integer

Inteiros de Eisenstein como pontos de intersecção de uma rede triangular no plano complexo

Em matemática , inteiros Eisenstein (com o nome de Gotthold Eisenstein ), ocasionalmente, também conhecidos como números inteiros de Euler (depois de Euler ), são números complexos do formulário

onde a e b são inteiros e

é uma raiz cúbica primitiva (portanto não real) da unidade . Os inteiros de Eisenstein formam uma rede triangular no plano complexo , em contraste com os inteiros gaussianos , que formam uma rede quadrada no plano complexo. Os inteiros de Eisenstein são um conjunto infinito contável .

Propriedades

Os inteiros de Eisenstein formam um anel comutativo de inteiros algébricos no campo de número algébrico - o terceiro campo ciclotômico . Para ver que os inteiros de Eisenstein são inteiros algébricos, observe que cada z = a + bω é uma raiz do polinômio mônico  

Em particular, ω satisfaz a equação

O produto de dois inteiros de Eisenstein a + bω e c + dω é dado explicitamente por     

A norma de um inteiro de Eisenstein é apenas o quadrado de seu módulo , e é dada por

que é claramente um número inteiro positivo comum (racional).

Além disso, o conjugado complexo de ω satisfaz

O grupo de unidades neste anel é o grupo cíclico formado pela sexta raiz da unidade no plano complexo: os inteiros de Eisenstein da norma 1.

Eisenstein primos

Pequenos primos de Eisenstein.

Se x e y são inteiros Eisenstein, dizemos que x divide y se há alguma Eisenstein inteiro z tal que y = zx . Um número inteiro de Eisenstein x não unitário é considerado um primo de Eisenstein se seus únicos divisores não unitários forem da forma ux , onde u é qualquer uma das seis unidades.

Existem dois tipos de primos de Eisenstein. Primeiro, um número primo comum (ou primo racional ) que é congruente com 2 mod 3 também é um primo de Eisenstein. Em segundo lugar, 3 e qualquer primo racional congruente a 1 mod 3 é igual à norma x 2 - xy + y 2 de um inteiro Eisentein x + ωy . Assim, tal primo pode ser fatorado como ( x + ωy ) ( x + ω 2 y ) , e esses fatores são primos de Eisenstein: eles são precisamente os inteiros de Eisenstein cuja norma é um primo racional.

Domínio euclidiano

O anel de inteiros de Eisenstein forma um domínio euclidiano cuja norma N é dada pelo módulo quadrado, como acima:

Um algoritmo de divisão , aplicado a qualquer dividendo e divisor , fornece um quociente e um resto menor que o divisor, satisfazendo:

Aqui estão todos os números inteiros de Eisenstein. Este algoritmo implica o algoritmo Euclidiano , que prova o lema de Euclides e a fatoração única de inteiros de Eisenstein em primos de Eisenstein.

Um algoritmo de divisão é o seguinte. Primeiro execute a divisão no campo dos números complexos e escreva o quociente em termos de ω:

para racional . Em seguida, obtenha o quociente inteiro de Eisenstein arredondando os coeficientes racionais para o inteiro mais próximo:

Aqui pode denotar qualquer uma das funções padrão de arredondamento -para-inteiro.

A razão pela qual isso satisfaz , enquanto o procedimento análogo falha para a maioria dos outros anéis inteiros quadráticos , é a seguinte. Um domínio fundamental para o ideal , agindo por translações no plano complexo, é o losango de 60 ° -120 ° com vértices . Qualquer número inteiro de Eisenstein α encontra-se dentro de uma das traduções desse paralelogramo, e o quociente é um de seus vértices. O resto é a distância quadrada de α a este vértice, mas a distância máxima possível em nosso algoritmo é apenas , então . (O tamanho de ρ pode ser ligeiramente diminuído considerando -se o canto mais próximo.)

Quociente de C pelos inteiros de Eisenstein

O quociente do plano complexo C pela rede contendo todos os inteiros de Eisenstein é um toro complexo de dimensão real 2. Este é um de dois toros com simetria máxima entre todos esses toros complexos. Esse toro pode ser obtido identificando cada um dos três pares de arestas opostas de um hexágono regular. (O outro toro maximamente simétrico é o quociente do plano complexo pela rede aditiva de inteiros gaussianos , e pode ser obtido identificando cada um dos dois pares de lados opostos de um domínio fundamental quadrado, como [0,1] × [ 0,1] .)

Veja também

Notas

links externos