Rng (álgebra) - Rng (algebra)

Em matemática , e mais especificamente em álgebra abstrata , um rng (ou anel não unital ou pseudo-anel ) é uma estrutura algébrica que satisfaz as mesmas propriedades de um anel , mas sem assumir a existência de uma identidade multiplicativa . O termo "rng" (IPA: / r ʊ ŋ / ) pretende sugerir que é um "anel" sem "i", ou seja, sem a exigência de um "elemento de identidade".

Não há consenso na comunidade sobre se a existência de uma identidade multiplicativa deve ser um dos axiomas dos anéis (veja a seção de história do artigo sobre anéis ). O termo "rng" foi cunhado para aliviar essa ambigüidade quando as pessoas querem se referir explicitamente a um anel sem o axioma da identidade multiplicativa.

Uma série de álgebras de funções consideradas na análise não são unitais, por exemplo, a álgebra de funções diminuindo para zero no infinito, especialmente aquelas com suporte compacto em algum espaço (não compacto ).

Definição

Formalmente, um rng é um conjunto R com duas operações binárias (+, ·) chamadas de adição e multiplicação de modo que

( R , +) é um grupo abeliano ,
( R , ·) é um semigrupo ,
A multiplicação distribui sobre a adição.

Um homomorfismo rng é uma função f : R → S de um rng para outro tal que

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y )

para todos os x e y em R .

Se R e S são anéis, então um homomorfismo de anel R → S é o mesmo que um homomorfismo rng R → S que mapeia 1 a 1.

Exemplos

Todos os anéis são rngs. Um exemplo simples de um rng que não é um anel é dado pelos inteiros pares com a adição e multiplicação normais de inteiros. Outro exemplo é dado pelo conjunto de todas as matrizes reais 3 por 3 cuja linha inferior é zero. Ambos os exemplos são exemplos do fato geral de que todo ideal ( unilateral ou bilateral) é um rng.

Rngs freqüentemente aparecem naturalmente na análise funcional quando operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão infinita são considerados. Tome por exemplo qualquer espaço vetorial de dimensão infinita V e considere o conjunto de todos os operadores lineares f : V → V com classificação finita (isto é, dim f ( V ) <∞ ). Junto com a adição e composição de operadores, este é um anel, mas não um anel. Outro exemplo é o rng de todas as sequências reais que convergem para 0, com operações em componentes.

Além disso, muitos espaços de função de teste que ocorrem na teoria das distribuições consistem em funções decrescentes a zero no infinito, como, por exemplo, o espaço de Schwartz . Assim, a função em todos os lugares igual a um, que seria o único elemento de identidade possível para a multiplicação pontual, não pode existir em tais espaços, que, portanto, são rngs (para adição e multiplicação pontual). Em particular, as funções contínuas de valor real com suporte compacto definido em algum espaço topológico , juntamente com adição e multiplicação pontuais, formam um rng; este não é um anel, a menos que o espaço subjacente seja compacto .

Exemplo: inteiros pares

O conjunto 2 Z de inteiros pares é fechado sob adição e multiplicação e tem uma identidade aditiva, 0, por isso é um rng, mas não tem uma identidade multiplicativa, portanto não é um anel.

Em 2 Z , o único idempotente multiplicativo é 0, o único nilpotente é 0 e o único elemento com inverso reflexivo é 0.

Exemplo: sequências quinárias finitas

A soma direta equipada com adição e multiplicação coordenadas é um rng com as seguintes propriedades: ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$

Seus elementos idempotentes formam uma rede sem limite superior.
Cada elemento x tem um inverso reflexivo , ou seja, um elemento y tal que xyx = x e yxy = y .
Para cada subconjunto finito de , existe um idempotente que atua como uma identidade para todo o subconjunto: a sequência com um em cada posição onde uma sequência no subconjunto tem um elemento diferente de zero naquela posição e zero em todos os outros posição. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Propriedades

Ideais, anéis quocientes e módulos podem ser definidos para anéis da mesma maneira que para anéis.
Trabalhar com rngs em vez de anéis complica algumas definições relacionadas, entretanto. Por exemplo, em um anel R , o ideal esquerdo ( f ) gerado por um elemento f , definido como o menor ideal esquerdo contendo f , é simplesmente Rf , mas se R for apenas um rng, então Rf pode não conter f , então, em vez disso
${\ displaystyle (f) = Rf + \ mathbf {Z} f = \ {af + nf: a \ in R \; \ mathrm {e} \; n \ in \ mathbf {Z} \}}$ ,

onde nf deve ser interpretado utilizando repetido adição / subtração desde n necessidade não representam um elemento de R . Da mesma forma, o ideal esquerdo gerado pelos elementos f ₁ , ..., f _m de um rng R é

${\ displaystyle (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) = \ {a_ {1} f_ {1} + \ cdots + a_ {m} f_ {m} + n_ {1} f_ {1} + \ cdots n_ {m} f_ {m}: a_ {i} \ in R \; \ mathrm {e} \; n_ {i} \ in \ mathbf {Z} \},}$
uma fórmula que remonta a Emmy Noether . Complicações semelhantes surgem na definição de submódulo gerado por um conjunto de elementos de um módulo.
Alguns teoremas para anéis são falsos para rngs. Por exemplo, em um anel, todo ideal próprio está contido em um ideal máximo , então um anel diferente de zero sempre tem pelo menos um ideal máximo. Ambas as instruções falham para rngs.
Um homomorfismo rng f : R → S mapeia qualquer elemento idempotente para um elemento idempotente.
Se f : R → S é um homomorfismo rng de um anel para um rng, e a imagem de f contém um divisor diferente de zero de S , então S é um anel ef é um homomorfismo de anel.

Adjacente a um elemento de identidade (extensão Dorroh)

Cada rng R pode ser ampliado para um anel R ^ juntando-se a um elemento de identidade. Uma maneira geral em que para fazer isso é adicionar formalmente um elemento de identidade 1 e deixá- R ^ consistem em combinações lineares integrantes de 1 e elementos de R com a premissa de que nenhum de seus múltiplos diferente de zero integrais coincidem ou estão contidos em R . Ou seja, os elementos de R ^ são da forma

n · 1 + r

onde n é um inteiro e R ∈ R . A multiplicação é definida pela linearidade:

( n ₁ + r ₁ ) · ( n ₂ + r ₂ ) = n ₁ n ₂ + n ₁ r ₂ + n ₂ r ₁ + r ₁ r ₂ .

Mais formalmente, podemos tomar R ^ como o produto cartesiano Z × R e definir adição e multiplicação por

( n ₁ , r ₁ ) + ( n ₂ , r ₂ ) = ( n ₁ + n ₂ , r ₁ + r ₂ ),

( n ₁ , r ₁ ) · ( n ₂ , r ₂ ) = ( n ₁ n ₂ , n ₁ r ₂ + n ₂ r ₁ + r ₁ r ₂ ).

A identidade multiplicativa de R ^ é então (1, 0) . Existe um homomorfismo rng natural j : R → R ^ definido por j ( r ) = (0, r ) . Este mapa possui a seguinte propriedade universal :

Dado qualquer anel S e qualquer homomorfismo rng f : R → S , existe um único homomorfismo de anel g : R ^ → S tal que f = gj .

O mapa g pode ser definido por g ( n , r ) = n · 1 _S + f ( r ) .

Existe um homomorfismo de anel sobrejetivo natural R ^ → Z que envia ( n , r ) para n . O cerne desse homomorfismo é a imagem de R em R ^. Uma vez que j é injetivo , vemos que R é incorporado como um (dos dois lados) ideal em R ^ com o anel quociente de R ^ / R isomorfo a Z . Segue que

Todo anel é um ideal em algum anel, e todo ideal de anel é um anel.

Observe que j nunca é sobrejetora. Assim, mesmo quando R já tiver um elemento de identidade, o anel R ^ será maior com uma identidade diferente. O anel R ^ é freqüentemente chamado de extensão Dorroh de R em homenagem ao matemático americano Joe Lee Dorroh, que o construiu pela primeira vez.

O processo de juntar um elemento de identidade a um rng pode ser formulado na linguagem da teoria das categorias . Se denotarmos a categoria de todos os anéis e homomorfismos de anel por Ring e a categoria de todos os rngs e homomorfismos rng por Rng , então Ring é uma subcategoria (não completa) de Rng . A construção de R ^ dada acima produz um adjunto à esquerda para o functor de inclusão I : Ring → Rng . Isso significa que Ring é uma subcategoria reflexiva de Rng com refletor j : R → R ^ .

Propriedades mais fracas do que ter uma identidade

Existem várias propriedades que foram consideradas na literatura que são mais fracas do que ter um elemento de identidade, mas não tão gerais. Por exemplo:

Anéis com idempotentes suficientes: Um rng R é considerado um anel com idempotentes suficientes quando existe um subconjunto E de R dado por idempotentes ortogonais (ou seja, ef = 0 para todos e ≠ f em E ) (ou seja, e ² = e para todos e em E ) tal que R = ⊕ _{e ∈ E} eR = ⊕ _{e ∈ E} Re .
Anéis com unidades locais: Um rng R é considerado um anel com unidades locais no caso de cada conjunto finito r ₁ , r ₂ , ..., r _t em R , podemos encontrar e em R tal que e ² = e e er _i = r _i = r _i e para todo i .
Anéis s -unitais: Um rng R é dito ser s -unital no caso de cada conjunto finito r ₁ , r ₂ , ..., r _t em R podemos encontrar s em R tal que sr _i = r _i = r _i s para cada i .
Anéis firmes: Um rng R é dito firme se o homomorfismo canônico R ⊗ _R R → R dado por r ⊗ s ↦ rs é um isomorfismo.
Anéis idempotentes: Um rng R é dito idempotente (ou um irng) no caso de R ² = R , ou seja, para cada elemento r de R podemos encontrar os elementos r _i e s _i em R tais que . ${\ displaystyle r = \ Sigma _ {i} r_ {i} s_ {i}}$

Não é difícil verificar se essas propriedades são mais fracas do que ter um elemento de identidade e mais fracas do que o anterior.

Os anéis são anéis com idempotentes suficientes, usando E = {1}. Um anel com idempotentes suficientes que não tem identidade é, por exemplo, o anel de matrizes infinitas sobre um campo com apenas um número finito de entradas diferentes de zero. As matrizes que têm apenas 1 sobre um elemento na diagonal principal e 0, caso contrário, são idempotentes ortogonais.
Anéis com idempotentes suficientes são anéis com unidades locais apenas tomando somas finitas dos idempotentes ortogonais para satisfazer a definição.
Os anéis com unidades locais são, em particular, s -unitais; os anéis s -unitais são firmes e os anéis firmes são idempotentes.

Rng do quadrado zero

Um rng zero quadrado é um rng R tal que xy = 0 para todos os x e y em R . Qualquer grupo abeliano pode ser transformado em um rng de zero quadrado, definindo a multiplicação de modo que xy = 0 para todos os x e y ; assim, todo grupo abeliano é o grupo aditivo de algum rng. O único anel do zero quadrado com uma identidade multiplicativa é o anel zero {0}.

Qualquer subgrupo aditivo de um rng de zero quadrado é um ideal . Assim, um rng de zero quadrado é simples se e somente se seu grupo aditivo for um grupo abeliano simples, isto é, um grupo cíclico de ordem primária.

Homomorfismo unital

Dadas duas álgebras unitais A e B , um homomorfismo de álgebra

f : A → B

é unital se mapeia o elemento de identidade do A ao elemento identidade B .

Se a álgebra associativa A sobre o campo K não for unital, pode-se juntar um elemento de identidade da seguinte forma: tome A × K como K - espaço vetorial subjacente e defina a multiplicação ∗ por

( x , r ) ∗ ( y , s ) = ( xy + sx + ry , rs )

para x , y em um e r , s em K . Então ∗ é uma operação associativa com elemento de identidade (0, 1) . A velha álgebra A está contida na nova e, de fato, A × K é a álgebra unital "mais geral" que contém A , no sentido de construções universais .

Veja também

Semiring

Notas

Referências

Bourbaki, N. (1998). Álgebra I, Capítulos 1-3 . Springer.
Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2003). Abstract Algebra (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7 .
Dorroh, JL (1932). "Acerca das Adjunções às Álgebras" . Touro. Amer. Matemática. Soc . 38 (2): 85–88. doi : 10.1090 / S0002-9904-1932-05333-2 .
Kreinovich, V. (1995). "Se uma identidade polinomial garante que cada ordem parcial em um anel pode ser estendida, então essa identidade é verdadeira apenas para um anel zero". Algebra Universalis . 33 (2): 237–242. doi : 10.1007 / BF01190935 . MR 1318988 . S2CID 122388143 .
Herstein, IN (1996). Abstract Algebra (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-36879-3 .
McCrimmon, Kevin (2004). Uma amostra das álgebras de Jordan . Springer. ISBN 978-0-387-95447-9 .
Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen" [Teoria ideal em anéis]. Mathematische Annalen (em alemão). 83 (1–2): 24–66. doi : 10.1007 / BF01464225 . S2CID 121594471 .
Szele, Tibor (1949). "Zur Theorie der Zeroringe". Mathematische Annalen . 121 : 242–246. doi : 10.1007 / bf01329628 . MR 0033822 . S2CID 122196446 .
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Álgebra Comutativa . 1 . Van Nostrand.

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