unidade fundamental (teoria dos números) - Fundamental unit (number theory)

Em teoria número algébrico , uma unidade fundamental é um gerador (modulo as raízes da unidade ) para o grupo de unidades do anel de números inteiros de um campo de número , quando esse grupo tem posto 1 (ou seja, quando o grupo de unidades modulo seu subgrupo de torção é infinito cíclico ). Teorema unidade de Dirichlet mostra que o grupo unidade tem rank 1 exatamente quando o campo de número é um verdadeiro campo quadrática , um campo cúbico complexo , ou um totalmente imaginário campo quartic . Quando o grupo de unidade tem posto ≥ 1, uma base dele modulo sua torção é chamado de um sistema fundamental de unidades . Alguns autores utilizam o termo unidade fundamental para significar qualquer elemento de um sistema fundamental de unidades, não se restringindo ao caso de um posto (por exemplo Neukirch 1999 , p. 42).

corpo quadrático reais

Para o campo quadrática reais (com d livre-quadrado), o ε unidade fundamental é comumente normalizada para que £ > 1 (como um número real). Então, caracteriza-se exclusivamente como a unidade mínima entre aqueles que são maiores do que 1. Se Δ indica o discriminante de K , então a unidade fundamental é ${\ Displaystyle K = \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

${\ Displaystyle \ epsilon = {\ frac {a + b {\ sqrt {\ Delta}}} {2}}}$

onde ( a ,  b ) é a menor solução de

${\ Displaystyle x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} = \ pm 4}$

em números inteiros positivos. Esta equação é basicamente equação de Pell ou a equação Pell negativa e suas soluções podem ser obtidas de modo semelhante usando a fracção contínua expansão de . ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

Seja ou não x ²  - Δ y ²  = -4 tem uma solução determina se ou não o grupo classe de K é o mesmo que o seu grupo classe estreita , ou equivalentemente, se existe ou não uma unidade de norma -1 em K . Esta equação é conhecido por ter uma solução se, e apenas se, o período de expansão da fracção contínua de é impar. Uma relação mais simples pode ser obtida utilizando congruencias: se Δ é divisível por um primo que é congruente com 3 módulo 4, em seguida, K não tem uma unidade de norma -1. No entanto, o inverso não se sustenta como mostra o exemplo d  = 34. No início de 1990, Peter Stevenhagen propôs um modelo probabilístico que o levou a uma conjectura sobre como muitas vezes o inverso falhar. Especificamente, se D ( X ) é o número de campos quadráticos reais cujas discriminante Δ < X não é divisível por um congruente privilegiada a 3 módulo 4 e D ^- ( X ) são aqueles que têm uma unidade de norma -1, então${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {X \ rightarrow \ infty} {\ frac {D ^ {-} (X)} {D (X)}} = 1- \ prod _ {J \ GEQ 1 {\ texto {} estranho }} \ left (1-2 ^ {- j} \ right)}.$

Em outras palavras, o inverso falhar cerca de 42% do tempo. Em março de 2012, um resultado recente para esta conjectura foi fornecido por Étienne Fouvry e Jürgen Klüners que mostram que o inverso não entre 33% e 59% do tempo.

campos cúbicos

Se K é um campo cúbico complexo, então ele tem uma incorporação verdadeira única eo ε unidade fundamental podem ser escolhidos exclusivamente tal que | ε | > 1 neste incorporação. Se o Δ discriminante de K satisfaz | Δ | ≥ 33, então

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {3}> {\ frac {| \ Delta |. -27} {4}}}$

Por exemplo, a unidade fundamental da é cujo cubo é ≈ 56,9, enquanto que o discriminante deste campo é -108 e ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt [{3}] {2}} + {\ sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {| \ Delta |. -27} {4}} = 20.25}$

Notas

Referências

• Alaca, Şaban; Williams, Kenneth S. (2004), teoria dos números algébricos introdutória , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-54011-7
• Duncan Buell (1989). Formas quadráticas binárias: teoria clássica e cálculos modernos . Springer-Verlag . pp. 92-93. ISBN  0-387-97037-1 .
• Fouvry, Etienne; Klüners Jurgen (2010), "Na equação Pell negativo", Annals of Mathematics , 2 (3): 2035-2104, DOI : 10,4007 / annals.2010.172.2035 , MR  2.726.105
• Neukirch, Jürgen (1999). Algébrica Teoria dos Números . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlin: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8 . MR  1.697.859 . ZBL  0.956,11021 .
• Stevenhagen, Peter (1993), "O número de campos quadráticos reais que têm unidades de norma negativo", Experimental Mathematics , 2 (2): 121-136, DOI : 10,1080 / 10586458.1993.10504272 , MR  1.259.426

links externos

• Weisstein, Eric W. "unidade fundamental" . MathWorld .