Polinômio mínimo (teoria de campo) - Minimal polynomial (field theory)

Na teoria de campos , um ramo da matemática , o polinômio mínimo de um valor α é, grosso modo, o polinômio de menor grau com coeficientes de um tipo especificado, de modo que α é a raiz do polinômio. Se o polinômio mínimo de α existe, ele é único. O coeficiente do termo de grau mais alto no polinômio deve ser 1, e o tipo especificado para os coeficientes restantes podem ser inteiros , números racionais , números reais ou outros.

Mais formalmente, um polinómio mínima é definida em relação a uma extensão de campo E / M e um elemento do campo de extensão E . O polinomial mínima de um elemento, se existir, é um membro de F [ x ], o anel de polinómios na variável X com coeficientes em F . Dado um elemento α de E , seja J _α o conjunto de todos os polinômios f ( x ) em F [ x ] tais que f ( α ) = 0. O elemento α é chamado de raiz ou zero de cada polinômio em J _α . O conjunto J _α recebe esse nome porque é um ideal de F [ x ]. O polinômio zero, cujos coeficientes são 0, está em cada J _α, pois 0 α ⁱ = 0 para todos os α e i . Isso torna o polinômio zero inútil para classificar diferentes valores de α em tipos, então ele é exceção. Se houver polinômios diferentes de zero em J _α , α é chamado de elemento algébrico sobre F , e existe um polinômio mônico de menor grau em J _α . Este é o polinómio mínima de α com respeito a E / F . Ele é único e irredutível sobre F . Se o polinómio zero é o único membro da J _α , então α é chamado um elemento transcendental sobre F e não tem polinomial mínima em relação ao E / F .

Polinômios mínimos são úteis para construir e analisar extensões de campo. Quando α é algébrico com o mínimo polinomial um ( x ), o mais pequeno campo que contém ambos F e α é isomorfo para o anel quociente F [ x ] / ⟨ um ( x )⟩, onde ⟨ um ( x )⟩ é o ideal F [ x ] gerado por a ( x ). Polinômios mínimos também são usados para definir elementos conjugados .

Definição

Vamos E / F ser uma extensão de campo , α um elemento de E , e F [ x ] o anel de polinómios em x mais de F . O elemento α tem um polinômio mínimo quando α é algébrico sobre F , ou seja, quando f ( α ) = 0 para algum polinômio diferente de zero f ( x ) em F [ x ]. Então, o polinômio mínimo de α é definido como o polinômio mônico de menor grau entre todos os polinômios em F [ x ] tendo α como raiz.

Singularidade

Deixe um ( x ) ser o polinómio mínima de α com respeito a E / F . A unicidade de a ( x ) é estabelecida considerando o homomorfismo de anel sub _α de F [ x ] a E que substitui α por x , ou seja, sub _α ( f ( x )) = f ( α ). O kernel de sub _α , ker (sub _α ), é o conjunto de todos os polinômios em F [ x ] que têm α como raiz. Ou seja, ker (sub _α ) = J _α de cima. Como sub _α é um homomorfismo de anel, ker (sub _α ) é um ideal de F [ x ]. Como F [ x ] é um anel principal sempre que F é um campo, há pelo menos um polinômio em ker (sub _α ) que gera ker (sub _α ). Tal polinômio terá o menor grau entre todos os polinômios diferentes de zero em ker (sub _α ), e a ( x ) é considerado o único polinômio mônico entre eles.

Singularidade do polinômio monic

Suponhamos que p e q são polinómios mônicos em J _α do mínimo grau n > 0. Uma vez que p - q ∈ J _α e DEG ( p - q ) < n segue-se que p - q = 0, isto é, p = q .

Propriedades

Um polinômio mínimo é irredutível. Seja E / F uma extensão de campo sobre F como acima, α ∈ E , ef ∈ F [ x ] um polinômio mínimo para α . Suponha que f = gh , onde g , h ∈ F [ x ] são de grau inferior a f . Agora f ( α ) = 0. Como os campos também são domínios integrais , temos g ( α ) = 0 ou h ( α ) = 0. Isso contradiz a minimalidade do grau de f . Assim, polinômios mínimos são irredutíveis.

Exemplos

Polinômio mínimo de uma extensão de campo de Galois

Dada uma extensão de campo de Galois, o polinômio mínimo de qualquer não em pode ser calculado como ${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in L}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {\ sigma \ in {\ text {Gal}} (L / K)} (x- \ sigma (\ alpha))}$

se não tem estabilizadores na ação de Galois. Por ser irredutível, o que pode ser deduzido olhando as raízes de , é o polinômio mínimo. Observe que o mesmo tipo de fórmula pode ser encontrado substituindo por onde está o grupo estabilizador de . Por exemplo, se então seu estabilizador é , portanto, é seu polinômio mínimo. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle G = {\ text {Gal}} (L / K)}$ ${\ displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle N = {\ text {Stab}} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha)}$

Extensões de campo quadrático

Q ( √ 2 )

Se F = Q , E = R , α = √ 2 , então o polinômio mínimo para α é a ( x ) = x ² - 2. O campo base F é importante porque determina as possibilidades para os coeficientes de a ( x ) . Por exemplo, se tomarmos F = R , então o polinômio mínimo para α = √ 2 é a ( x ) = x - √ 2 .

Q ( √ d )

Em geral, para a extensão quadrática dada por um quadrado livre , o cálculo do polinômio mínimo de um elemento pode ser encontrado usando a teoria de Galois. Então ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f (x) & = (x- (a + b {\ sqrt {d}})) (x- (ab {\ sqrt {d}})) \\ & = x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} -b ^ {2} d) \ end {alinhado}}}$

em particular, isso implica e . Isso pode ser usado para determinar por meio de uma série de relações usando aritmética modular . ${\ displaystyle 2a \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} d \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}}$

Extensões de campo biquadrático

Se α = √ 2 + √ 3 , então o polinômio mínimo em Q [ x ] é a ( x ) = x ⁴ - 10 x ² + 1 = ( x - √ 2 - √ 3 ) ( x + √ 2 - √ 3 ) ( x - √ 2 + √ 3 ) ( x + √ 2 + √ 3 ).

Observe se então a ação de Galois em estabiliza . Portanto, o polinômio mínimo pode ser encontrado usando o grupo de quocientes . ${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}) / {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q})}$

Raízes de unidade

Os polinômios mínimos em Q [ x ] das raízes da unidade são os polinômios ciclotômicos .

Polinômios de Swinnerton-Dyer

O polinômio mínimo em Q [ x ] da soma das raízes quadradas dos primeiros n números primos é construído analogamente e é chamado de polinômio de Swinnerton-Dyer .

Veja também

Referências

Weisstein, Eric W. "Algebraic Number Minimal Polynomial" . MathWorld .
Polinômio mínimo no PlanetMath .
Pinter, Charles C. Um Livro de Álgebra Abstrata . Dover Books on Mathematics Series. Publicações de Dover, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5

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