Seminorm - Seminorm

Em matemática , particularmente em análise funcional , uma seminorm é uma norma de espaço vetorial que não precisa ser definida positivamente . Seminorms estão intimamente conectados com conjuntos convexos : cada seminorm é o funcional de Minkowski de algum disco absorvente e, inversamente, o funcional de Minkowski de qualquer conjunto é um seminorm.

Um espaço vetorial topológico é localmente convexo se e somente se sua topologia for induzida por uma família de seminormes.

Definição

Seja um espaço vetorial sobre os números reais ou os números complexos. Uma função de valor real é chamada de seminorma se satisfizer as duas condições a seguir: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$

1. Subadditividade / desigualdade triangular : para todos${\ displaystyle p (x + y) \ leq p (x) + p (y)}$${\ displaystyle x, y \ in X.}$
2. Homogeneidade absoluta : para todos e todos os escalares${\ displaystyle p (sx) = | s | p (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s.}$

Essas duas condições implicam que e que todo seminário também tem a seguinte propriedade: ${\ displaystyle p (0) = 0}$${\ displaystyle p}$

3. Não negatividade : para todos${\ displaystyle p (x) \ geq 0}$${\ displaystyle x \ in X.}$

Alguns autores incluem a não negatividade como parte da definição de "seminorma" (e também às vezes de "norma"), embora isso não seja necessário.

Por definição, uma norma sobre uma semi normais que também separa pontos, o que significa que ele tem as seguintes propriedades adicionais: ${\ displaystyle X}$

4. Definitivo positivo / Separação de pontos : para todosseentão${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle p (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0.}$

Um espaço seminormed é um par constituído por um espaço vetorial e uma semi normais on Se o semi normais também é uma norma em seguida, chamamos o espaço seminormed um espaço normalizado . ${\ displaystyle (X, p)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (X, p)}$

Como a homogeneidade absoluta implica em homogeneidade positiva, cada seminorm é um tipo de função chamada função sublinear . Um mapa é chamado de função sublinear se for subaditivo (ou seja, condição 1 acima) e positivamente homogêneo (ou seja, condição 5 acima). Ao contrário de uma seminorm, uma função sublinear não é necessariamente não negativa. As funções sublinear são freqüentemente encontradas no contexto do teorema de Hahn-Banach . ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$

Pseudometria e a topologia induzida

Um seminorm em induz uma topologia por meio da pseudométrica invariante à translação ; Esta topologia é Hausdorff se e somente se for uma métrica, o que ocorre se e somente se for uma norma . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d_ {p}: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle d_ {p} (x, y) = p (xy).}$${\ displaystyle d_ {p}}$${\ displaystyle p}$

Equivalentemente, todo espaço vetorial com seminorma induz um quociente de espaço vetorial onde é o subespaço de consistir em todos os vetores com Then carrega uma norma definida por A topologia resultante, puxada para trás é precisamente a topologia induzida por${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X / W,}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle p (x) = 0.}$${\ displaystyle X / W}$${\ displaystyle p (x + W) = p (v).}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle p.}$

Qualquer topologia induzida por seminorm torna localmente convexa , como segue. Se é um semi normais em e chamar o conjunto da bola aberta de raio sobre a origem ; da mesma forma, a bola de raio fechada é O conjunto de todas as bolas abertas (resp. fechadas) na origem forma uma base de vizinhança de conjuntos balanceados convexos que são abertos (resp. fechados) na topologia em${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <r \}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) \ leq r \}.}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X.}$

Seminormes mais fortes, mais fracos e equivalentes

As noções de seminormes mais fortes e mais fracos são semelhantes às noções de normas mais fortes e mais fracas . Se e forem seminários em, então dizemos que é mais forte do que e que é mais fraco do que se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se mantiver: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

1. A topologia induzida por é mais fina do que a topologia induzida por${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p.}$
2. Se é uma sequência em , em seguida , implica em${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle q \ left (x _ {\ bullet} \ right): = \ left (q \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ to 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ para 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$
3. Se é uma rede , então em implica em${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle q \ left (x _ {\ bullet} \ right): = \ left (q \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} \ to 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ para 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$
4. ${\ displaystyle p}$ é limitado em ${\ displaystyle \ {x \ in X: q (x) <1 \}.}$
5. Se então por todos${\ displaystyle \ inf {} \ {q (x): p (x) = 1, x \ in X \} = 0}$${\ displaystyle p (x) = 0}$${\ displaystyle x \ in X.}$
6. Existe um verdadeiro tal que em${\ displaystyle K> 0}$${\ displaystyle p \ leq Kq}$${\ displaystyle X.}$

Os seminormes e são chamados de equivalentes se ambos forem mais fracos (ou ambos mais fortes) do que o outro. Isso acontece se eles satisfizerem qualquer uma das seguintes condições: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

1. A topologia induzida por é a mesma que a topologia induzida por${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p.}$
2. ${\ displaystyle q}$é mais forte do que e é mais forte do que${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q.}$
3. Se é uma sequência em então se e somente se${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q \ left (x _ {\ bullet} \ right): = \ left (q \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ to 0}$${\ displaystyle p \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ para 0.}$
4. Existem números reais positivos e tais que${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle R> 0}$${\ displaystyle rq \ leq p \ leq Rq.}$

Continuidade

Continuidade de seminários

Se for um seminário em um espaço vetorial topológico , os seguintes itens são equivalentes: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$

1. ${\ displaystyle p}$ é contínuo.
2. ${\ displaystyle p}$ é contínuo em 0;
3. ${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$está aberto em ;${\ displaystyle X}$
4. ${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) \ leq 1 \}}$é uma vizinhança fechada de 0 pol ;${\ displaystyle X}$
5. ${\ displaystyle p}$é uniformemente contínuo ligado ;${\ displaystyle X}$
6. Existe um seminário contínuo sobre como${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ leq q.}$

Em particular, se for um espaço seminormado, então um seminorma em é contínuo se e somente se for dominado por um múltiplo escalar positivo de${\ displaystyle (X, p)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p.}$

Se é um verdadeiro TVS, é um funcional linear on e é um semi normais contínua (ou, mais geralmente, uma função sublinear) em seguida, na implica que é contínuo. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle f \ leq p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

Continuidade de mapas lineares

Se é um mapa entre espaços seminormados, deixe ${\ displaystyle F: (X, p) \ to (Y, q)}$

Se for um mapa linear entre espaços seminormados, os seguintes são equivalentes: ${\ displaystyle F: (X, p) \ to (Y, q)}$

1. ${\ displaystyle F}$ é contínuo;
2. ${\ displaystyle \ | F \ | _ {p, q} <\ infty}$;
3. Existe um tal que ; ${\ displaystyle K \ geq 0}$${\ displaystyle p \ leq Kq}$
   • Nesse caso, ${\ displaystyle \ | F \ | _ {p, q} \ leq K.}$

Se for contínuo, então para todos${\ displaystyle F}$${\ displaystyle q (F (x)) \ leq \ | F \ | _ {p, q} p (x)}$${\ displaystyle x \ in X.}$

O espaço de todos os mapas lineares contínuos entre espaços seminormados é, ele próprio, um espaço seminormizado sob a seminorma. Esta seminormidade é uma norma, se é que é uma norma. ${\ displaystyle F: (X, p) \ to (Y, q)}$${\ displaystyle \ | F \ | _ {p, q}.}$${\ displaystyle q}$

Propriedades topológicas

• Se for um TVS e for um seminário contínuo sobre , o fechamento de em é igual a${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <r \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) \ leq r \}.}$
• O fechamento de em um espaço localmente convexo cuja topologia é definida por uma família de seminormes contínuas é igual a${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ bigcap _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {- 1} (0).}$
• Um subconjunto em um espaço seminormizado é limitado se, e somente se, for limitado.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, p)}$${\ displaystyle p (S)}$
• Se for um espaço seminormado, então a topologia localmente convexa que induz em torna -se um TVS pseudometrizável com um pseudométrico canônico dado por for all${\ displaystyle (X, p)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d (x, y): = p (xy)}$${\ displaystyle x, y \ in X.}$
• O produto de infinitamente muitos espaços seminomáveis ​​é novamente seminormável se e somente se todos, exceto finitamente muitos desses espaços, forem triviais (ou seja, 0-dimensionais).

Normabilidade

A normabilidade de espaços vetoriais topológicos é caracterizada pelo critério de normabilidade de Kolmogorov .

Se for um TVS localmente convexo de Hausdorff , os seguintes itens são equivalentes: ${\ displaystyle X}$

1. ${\ displaystyle X}$ é normable.
2. ${\ displaystyle X}$ tem uma vizinhança limitada da origem.
3. O dual forte de é normalizável.${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$
4. O dual forte de é metrizável .${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$

Além disso, tem dimensão finita se e somente se for normable (aqui denota dotado com a topologia fraca- * ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$

O produto de um número infinito de espaço seminomável é novamente seminomável se e somente se todos, exceto finitamente muitos desses espaços, são triviais (ou seja, 0-dimensional).

Funcionais e seminários de Minkowski

Seminorms em um espaço vetorial estão intimamente ligados, por meio de funcionais de Minkowski, a subconjuntos de que são convexos , equilibrados e absorventes . Dado esse subconjunto do funcional de Minkowski, é uma seminorm. Por outro lado, dado um seminário nos conjuntos e são convexos, equilibrados e absorventes e, além disso, o funcional de Minkowski desses dois conjuntos (bem como de qualquer conjunto situado "entre eles") é${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) \ leq 1 \}}$${\ displaystyle p.}$

Exemplos

• O seminário trivial no qual se refere ao mapa constante em induz a topologia indiscreta em${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X.}$
• Se for qualquer forma linear em um espaço vetorial, seu valor absoluto definido por é uma seminorma. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle | f |,}$${\ displaystyle x \ mapsto | f (x) |,}$
• Cada valor real função sublinear induz uma semi normais on definida pela${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p (x): = \ max \ {f (x), f (-x) \}.}$
• Qualquer soma finita de seminormes é uma seminorm.
• Se e os seminários estão em diante, então também o são ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X}$
  $${\ displaystyle (p \ vee q) (x) = \ max \ {p (x), q (x) \} \ quad {\ text {and}} \ quad (p \ wedge q) (x): = \ inf \ {p (y) + q (z): x = y + z {\ text {com}} y, z \ em X \}}$$

  
  onde e${\ displaystyle p \ wedge q \ leq p}$${\ displaystyle p \ wedge q \ leq q.}$
• Além disso, o espaço de seminários em é uma rede distributiva com respeito às operações acima. ${\ displaystyle X}$

Propriedades algébricas

Let Ser um espaço vetorial sobre onde estão os números reais ou complexos. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$

Propriedades de seminormes porque são funções sublineares

Uma vez que cada seminorma é uma função sublinear, seminormes têm todas as seguintes propriedades:

Se for uma função sublinear de valor real em então: ${\ displaystyle p: X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle X}$

• Seminorms satisfazem a desigualdade do triângulo reverso :${\ displaystyle | p (x) -p (y) | \ leq p (xy) {\ text {para todos}} x, y \ em X.}$
• Para qualquer e${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r> 0,}$ ${\ displaystyle x + \ {y \ in X: p (y) <r \} = \ {y \ in X: p (xy) <r \}.}$
• Uma vez que cada semi normais é uma função sublinear, cada semi normais em uma função convexa . Além disso, para todos é um disco absorvente em${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle r> 0,}$ ${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <r \}}$ ${\ displaystyle X.}$
• Cada função sublinear é um funcional convexo .
• ${\ displaystyle p (0) = 0.}$
• ${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$e para todos${\ displaystyle p (x) -p (y) \ leq p (xy)}$${\ displaystyle x, y \ in X.}$
• Se é uma função sublinear em um espaço vetorial real, então existe uma função linear em que${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ leq p.}$
• Se é um espaço vetorial real, é um funcional linear em e é uma função sublinear em seguida, sobre se e somente se${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle f \ leq p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) \ cap \ {x \ in X: p (x) <1 = \ varnothing \}.}$

Outras propriedades de seminorms

Se for um seminário em então: ${\ displaystyle p: X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle p}$é uma norma sobre se e somente se não contém um subespaço vetorial não trivial.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$
• ${\ displaystyle p ^ {- 1} (0)}$ é um subespaço vetorial de ${\ displaystyle X.}$
• Para qualquer ${\ displaystyle r> 0,}$
  $${\ displaystyle r \ {x \ in X: p (x) <1 \} = \ {x \ in X: p (x) <r \} = \ left \ {x \ in X: {\ frac {1 } {r}} p (x) <1 \ right \}.}$$

  
• Se for um conjunto satisfatório , é absorvente em e onde denota o funcional de Minkowski associado (ou seja, o medidor de ). ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \} \ subseteq D \ subseteq \ {x \ in X: p (x) \ leq 1 \}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p = p_ {D}}$${\ displaystyle p_ {D}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$
  • Em particular, se é como acima e é qualquer seminário sobre então se e somente se${\ displaystyle D}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle q = p}$${\ displaystyle \ {x \ in X: q (x) <1 \} \ subseteq D \ subseteq \ {x \ in X: q (x) \ leq \}.}$

• Se é um espaço normalizado e , em seguida, para todos${\ displaystyle (X, \ | \, \ cdot \, \ |)}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle \ | xy \ | = \ | xz \ | + \ | zy \ |}$${\ displaystyle z \ in [x, y].}$
• Cada norma é uma função convexa e, conseqüentemente, encontrar um máximo global de uma função objetivo baseada em norma às vezes é tratável.

Teorema de Hahn-Banach para seminormes

Seminorms oferecem uma formulação particularmente limpa do teorema de Hahn-Banach :

Se é um subespaço vetorial de um espaço seminormizado e se é um funcional linear contínuo em, então, pode ser estendido para um funcional linear contínuo em que tem a mesma norma que${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (X, p)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f.}$

Uma propriedade de extensão semelhante também é válida para seminários:

Desigualdades envolvendo seminários

Se houver seminários em então: ${\ displaystyle p, q: X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle p \ leq q}$se e somente se implica${\ displaystyle q (x) \ leq 1}$${\ displaystyle p (x) \ leq 1.}$
• Se e são tais que implica , em seguida, para todos${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle b> 0}$${\ displaystyle p (x) <a}$${\ displaystyle q (x) \ leq b,}$${\ displaystyle aq (x) \ leq bp (x)}$${\ displaystyle x \ in X.}$
• Suponha e sejam números reais positivos e sejam seminários de tal forma que para cada se então Então${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle q, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle \ max \ {p_ {1} (x), \ ldots, p_ {n} (x) \} <a}$${\ displaystyle q (x) <b.}$${\ displaystyle aq \ leq b \ left (p_ {1} + \ cdots + p_ {n} \ right).}$
• Se é um espaço vetorial sobre os reais e é um funcional linear diferente de zero em então se e somente se${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle f \ leq p}$${\ displaystyle \ varnothing = f ^ {- 1} (1) \ cap \ {x \ in X: p (x) <1 \}.}$

Se for um seminário e um funcional linear, então: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle | f | \ leq p}$on if e somente se on (ver nota de rodapé para prova).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} f \ leq p}$${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle f \ leq p}$em se e somente se${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) \ cap \ {x \ in X: p (x) <1 = \ varnothing \}.}$
• Se e são tais que implica , em seguida, para todos${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle b> 0}$${\ displaystyle p (x) <a}$${\ displaystyle f (x) \ neq b,}$${\ displaystyle a | f (x) | \ leq bp (x)}$${\ displaystyle x \ in X.}$

Relação com outros conceitos normativos

Um espaço vetorial topológico é seminormável se, e somente se, tiver uma vizinhança convexa limitada da origem. Assim, um TVS localmente convexo é seminormable se e somente se ele tiver um conjunto aberto limitado não vazio.

Let Ser uma função não negativa. Os seguintes são equivalentes: ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$

1. ${\ displaystyle p}$ é um seminorm.
2. ${\ displaystyle p}$é um convexo -seminorm .${\ displaystyle F}$
3. ${\ displaystyle p}$é um convexa em relação L -seminorm .

Se qualquer uma das condições acima for válida, as seguintes serão equivalentes:

1. ${\ displaystyle p}$ é uma norma;
2. ${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$ não contém um subespaço vetorial não trivial.
3. Existe uma norma a respeito da qual, é limitado.${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$

Se for uma função sublinear em um espaço vetorial real , os seguintes itens são equivalentes: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$

1. ${\ displaystyle p}$é um funcional linear ;
2. ${\ displaystyle p (x) + p (-x) \ leq 0 {\ text {para cada}} x \ em X}$;
3. ${\ displaystyle p (x) + p (-x) = 0 {\ text {para cada}} x \ em X}$;

Generalizações

O conceito de norma em álgebras de composição que não partilham as propriedades usuais de uma norma.

Uma álgebra de composição consiste em uma álgebra sobre um campo, uma involução e uma forma quadrática que é chamada de "norma". Em vários casos é uma forma quadrática isotrópica de forma que tem pelo menos um vetor nulo , ao contrário da separação de pontos exigida pela norma usual discutida neste artigo. ${\ displaystyle (A, *, N)}$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle \, *,}$ ${\ displaystyle N,}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle A}$

Uma ultrassom ou uma seminorma não arquimediana é uma seminorma que também satisfaz${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p (x + y) \ leq \ max \ {p (x), p (y) \} {\ text {para todos}} x, y \ em X.}$

Enfraquecimento da subaditividade

Quase-seminários

Um mapa é chamado de quase-seminorma se for (absolutamente) homogêneo e existir algum tal que O menor valor para o qual isso vale é chamado de multiplicador de${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle b \ leq 1}$${\ displaystyle p (x + y) \ leq bp (p (x) + p (y)) {\ text {para todos}} x, y \ em X.}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p.}$

Uma quase-seminorma que separa os pontos é chamada de quase-norma sobre${\ displaystyle X.}$

Enfraquecimento da homogeneidade - -seminorms${\ displaystyle k}$

Um mapa é chamado de -seminorm se for subaditivo e existir tal que e para todos e escalares${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 <k \ leq 1}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s,}$

${\ displaystyle p (sx) = | s | ^ {k} p (x)}$

A -seminorm que separa os pontos é chamada de -norm on${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X.}$

Temos a seguinte relação entre quase-seminormes e -seminormas: ${\ displaystyle k}$

Suponha que seja uma quase-seminorma em um espaço vetorial com multiplicador Se, então, existe -seminorma em equivalente a${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b.}$${\ displaystyle 0 <{\ sqrt {k}} <\ log _ {2} b}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q.}$

Veja também

• Norma assimétrica  - Generalização do conceito de norma
• Espaço de Banach  - espaço vetorial normalizado completo
• Teorema de Hahn-Banach
• Norma Gowers
• Espaço vetorial topológico localmente convexo  - Um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
• Distância de Mahalanobis
• Norma de matriz  - norma em um espaço vetorial de matrizes
• Espaço vetorial topológico metrizável  - Um espaço vetorial topológico cuja topologia pode ser definida por uma métrica
• Minkowski funcional
• Norma (matemática)  - Comprimento em um espaço vetorial
• Espaço vetorial normatizado  - espaço vetorial no qual uma distância é definida
• Relação de normas e métricas
• Função Sublinear
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade

Notas

Provas

Referências

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links externos

• Sublinear funções
• O teorema sanduíche para funcionais sublineares e superlineares