Função de valor real - Real-valued function

A massa medida em gramas é uma função dessa coleção de peso para números reais positivos . O termo " função de peso ", uma alusão a este exemplo, é usado em matemática pura e aplicada.

Em matemática, uma função com valor real é uma função cujos valores são números reais . Em outras palavras, é uma função que atribui um número real a cada membro de seu domínio .

Funções de valor real de uma variável real (comumente chamadas de funções reais ) e funções de valor real de várias variáveis ​​reais são o principal objeto de estudo do cálculo e, mais geralmente, da análise real . Em particular, muitos espaços de função consistem em funções com valor real.

Estrutura algébrica

Let Ser o conjunto de todas as funções de um conjunto X para números reais . Por ser um campo , pode ser transformado em um espaço vetorial e uma álgebra comutativa sobre os reais com as seguintes operações: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

• ${\ displaystyle f + g: x \ mapsto f (x) + g (x)}$ - adição de vetor
• ${\ displaystyle \ mathbf {0}: x \ mapsto 0}$ - identidade aditiva
• ${\ displaystyle cf: x \ mapsto cf (x), \ quad c \ in \ mathbb {R}}$ - multiplicação escalar
• ${\ displaystyle fg: x \ mapsto f (x) g (x)}$ - multiplicação pontual

Estas operações estender para funções parciais de X para com a restrição de que as funções parciais de f + g e f g são definidos apenas se os domínios de f e g possui uma intersecção não vazio; neste caso, seu domínio é a interseção dos domínios de f e g . ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

Além disso, como é um conjunto ordenado, há uma ordem parcial${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• ${\ displaystyle \ f \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x),}$

no qual faz um anel parcialmente encomendado . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

Mensurável

A σ-álgebra dos conjuntos de Borel é uma estrutura importante em números reais. Se X tem sua σ-álgebra e uma função f é tal que a pré - imagem f   ⁻¹ ( B ) de qualquer conjunto B de Borel pertence a essa σ-álgebra, então f é dito mensurável . Funções mensuráveis ​​também formam um espaço vetorial e uma álgebra, conforme explicado acima em § Estrutura algébrica .

Além disso, um conjunto (família) de funções de valor real em X pode realmente definir uma σ-álgebra em X gerada por todas as pré-imagens de todos os conjuntos de Borel (ou apenas de intervalos , não é importante). É assim que as σ-álgebras surgem na teoria de probabilidade (de Kolmogorov ) , onde funções de valor real no espaço amostral Ω são variáveis ​​aleatórias de valor real .

Contínuo

Os números reais formam um espaço topológico e um espaço métrico completo . Funções contínuas de valor real (o que implica que X é um espaço topológico) são importantes nas teorias de espaços topológicos e de espaços métricos . O teorema do valor extremo afirma que, para qualquer função contínua real em um espaço compacto, seu máximo e mínimo globais existem.

O próprio conceito de espaço métrico é definido com uma função de valor real de duas variáveis, a métrica , que é contínua. O espaço de funções contínuas em um espaço de Hausdorff compacto tem uma importância particular. As sequências convergentes também podem ser consideradas funções contínuas com valor real em um espaço topológico especial.

Funções contínuas também formam um espaço vetorial e uma álgebra, conforme explicado acima em § Estrutura algébrica , e são uma subclasse de funções mensuráveis porque qualquer espaço topológico tem a σ-álgebra gerada por conjuntos abertos (ou fechados).

Suave

Os números reais são usados ​​como codomínio para definir funções suaves. Um domínio de uma função real suave pode ser o espaço de coordenadas real (que produz uma função multivariável real ), um espaço vetorial topológico , um subconjunto aberto deles ou uma variedade suave .

Espaços de funções suaves também são espaços vetoriais e álgebras, conforme explicado acima em § Estrutura algébrica e são subespaços do espaço de funções contínuas .

Aparências na teoria da medida

Uma medida em um conjunto é um funcional de valor real não negativo em uma álgebra σ de subconjuntos. Espaços L ^p em conjuntos com uma medida são definidos a partir de funções mensuráveis ​​de valor real mencionadas , embora sejam, na verdade, espaços quocientes . Mais precisamente, enquanto uma função que satisfaz uma condição de soma apropriada define um elemento do espaço L ^p , na direção oposta para qualquer f ∈ L ^p ( X ) e x ∈ X que não seja um átomo , o valor f ( x ) é indefinido . Porém, espaços L ^p com valor real ainda têm parte da estrutura descrita acima em § Estrutura algébrica . Cada um dos espaços L ^p é um espaço vetorial e tem uma ordem parcial, e existe uma multiplicação pontual de "funções" que muda p , a saber

${\ displaystyle \ cdot: L ^ {1 / \ alpha} \ times L ^ {1 / \ beta} \ a L ^ {1 / (\ alpha + \ beta)}, \ quad 0 \ leq \ alpha, \ beta \ leq 1, \ quad \ alpha + \ beta \ leq 1.}$

Por exemplo, o produto pontual de duas funções L ² pertence a L ¹ .

Outras aparições

Outros contextos onde funções de valor real e suas propriedades especiais são usadas incluem funções monotônicas (em conjuntos ordenados ), funções convexas (em espaços vetoriais e afins ), funções harmônicas e sub- harmônicas (em variedades Riemannianas ), funções analíticas (geralmente de um ou mais variáveis ​​reais), funções algébricas (em variedades algébricas reais ) e polinômios (de uma ou mais variáveis ​​reais).

Veja também

• Análise real
• Equações diferenciais parciais , um grande usuário de funções de valor real
• Norma (matemática)
• Escalar (matemática)

Notas de rodapé

Referências

• Apostol, Tom M. (1974). Análise Matemática (2ª ed.). Addison – Wesley. ISBN   978-0-201-00288-1 .
• Gerald Folland , Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, Segunda Edição, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN   0-471-31716-0 .
• Rudin, Walter (1976). Princípios de Análise Matemática (3ª ed.). Nova York: McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-054235-8 .

links externos

Weisstein, Eric W. "Real Function" . MathWorld .