Sinal (matemática) - Sign (mathematics)

Os símbolos mais e menos são usados ​​para mostrar o sinal de um número.

Em matemática , o sinal de um número real é sua propriedade de ser positivo, negativo ou zero . Dependendo das convenções locais, zero pode ser considerado nem positivo nem negativo (sem sinal ou um terceiro sinal único), ou pode ser considerado positivo e negativo (tendo ambos os sinais). Sempre que não for mencionado especificamente, este artigo segue a primeira convenção.

Em alguns contextos, faz sentido considerar um zero com sinal (como representações de ponto flutuante de números reais em computadores). Em matemática e física, a frase "mudança de sinal" está associada à geração do inverso aditivo (negação ou multiplicação por -1 ) de qualquer objeto que permite essa construção, e não se restringe a números reais. Ele se aplica, entre outros objetos, a vetores, matrizes e números complexos, que não são prescritos para serem apenas positivos, negativos ou zero. A palavra "sinal" também é frequentemente usada para indicar outros aspectos binários de objetos matemáticos que se assemelham a positividade e negatividade, como ímpar e par ( sinal de uma permutação ), sentido de orientação ou rotação ( cw / ccw ), limites unilaterais , e outros conceitos descritos em § Outros significados abaixo.

Sinal de um número

Números de vários sistemas numéricos, como inteiros , racionais , números complexos , quaternions , octonions , ... podem ter vários atributos, que fixam certas propriedades de um número. Se um sistema numérico possui a estrutura de um anel ordenado , por exemplo, os inteiros, ele deve conter um número que não muda nenhum número quando é adicionado a ele (um elemento de identidade aditivo ). Este número é geralmente denotado como 0. Por causa da ordem total neste anel, existem números maiores que zero, chamados de números positivos . Para outras propriedades exigidas dentro de um anel, para cada número positivo existe um número menor que 0 que, quando adicionado ao número positivo, produz o resultado 0. Esses números menores que 0 são chamados de números negativos . Os números em cada par são seus respectivos inversos aditivos . Este atributo de um número, sendo exclusivamente zero (0) , positivo (+) ou negativo (-) , é chamado de seu sinal e é frequentemente codificado para os números reais 0, 1 e -1, respectivamente (semelhante a forma como a função do sinal é definida). Como os números racionais e reais também são anéis ordenados ( campos pares ), esses sistemas numéricos compartilham o mesmo atributo de sinal .

Enquanto na aritmética , um sinal de menos é geralmente considerado como representando a operação binária de subtração, na álgebra , ele geralmente é considerado como representando a operação unária que produz o inverso aditivo (às vezes chamado de negação ) do operando. Enquanto 0 é seu próprio inverso aditivo (−0 = 0), o inverso aditivo de um número positivo é negativo e o inverso aditivo de um número negativo é positivo. Uma aplicação dupla dessa operação é escrita como - (- 3) = 3. O sinal de mais é usado predominantemente em álgebra para denotar a operação binária de adição e apenas raramente para enfatizar a positividade de uma expressão.

Na notação numérica comum (usada em aritmética e em outros lugares), o sinal de um número é frequentemente explicitado colocando-se um sinal de mais ou menos antes do número. Por exemplo, +3 denota "três positivos" e −3 denota "três negativos" (algebricamente: o inverso aditivo de 3 ). Sem contexto específico (ou quando nenhum sinal explícito é fornecido), um número é interpretado por padrão como positivo. Essa notação estabelece uma forte associação do sinal de menos " - " com números negativos e o sinal de mais "+" com números positivos.

Sinal de zero

Dentro da convenção de zero não sendo nem positivo nem negativo, um valor de sinal específico 0 pode ser atribuído ao valor numérico 0 . Isso é explorado na função- , conforme definido para números reais. Em aritmética, +0 e −0 denotam o mesmo número 0 . Geralmente não há perigo de confundir o valor com seu sinal, embora a convenção de atribuir ambos os sinais a 0 não permita imediatamente essa discriminação.

Em alguns contextos, especialmente na computação , é útil considerar versões com sinal de zero, com zeros assinados referindo-se a diferentes representações de número discretas (consulte as representações de número com sinal para mais informações).

Os símbolos +0 e −0 raramente aparecem como substitutos para 0 + e 0 - , usados ​​em cálculos e análises matemáticas para limites unilaterais ( limite do lado direito e limite do lado esquerdo, respectivamente). Essa notação se refere ao comportamento de uma função conforme sua variável de entrada real se aproxima de 0 ao longo de valores positivos (resp., Negativos); os dois limites não precisam existir ou concordar.

Terminologia para sinais

Quando 0 não é nem positivo nem negativo, as seguintes frases podem se referir ao sinal de um número:

  • Um número é positivo se for maior que zero.
  • Um número é negativo se for menor que zero.
  • Um número não é negativo se for maior ou igual a zero.
  • Um número não é positivo se for menor ou igual a zero.

Quando 0 é considerado positivo e negativo, frases modificadas são usadas para se referir ao sinal de um número:

  • Um número é estritamente positivo se for maior que zero.
  • Um número é estritamente negativo se for menor que zero.
  • Um número é positivo se for maior ou igual a zero.
  • Um número é negativo se for menor ou igual a zero.

Por exemplo, o valor absoluto de um número real é sempre "não negativo", mas não é necessariamente "positivo" na primeira interpretação, enquanto na segunda interpretação é chamado de "positivo", embora não necessariamente "estritamente positivo" .

A mesma terminologia às vezes é usada para funções que geram valores reais ou outros valores com sinal. Por exemplo, uma função seria chamada de função positiva se seus valores fossem positivos para todos os argumentos de seu domínio, ou uma função não negativa se todos os seus valores fossem não negativos.

Números complexos

Os números complexos são impossíveis de ordenar, portanto, eles não podem carregar a estrutura de um anel ordenado e, portanto, não podem ser particionados em números complexos positivos e negativos. Eles, entretanto, compartilham um atributo com os reais, que é chamado de valor absoluto ou magnitude . As magnitudes são sempre números reais não negativos e a qualquer número diferente de zero pertence um número real positivo, seu valor absoluto .

Por exemplo, o valor absoluto de −3 e o valor absoluto de 3 são ambos iguais a 3. Isso é escrito em símbolos como | -3 | = 3 e | 3 | = 3.

Em geral, qualquer valor real arbitrário pode ser especificado por sua magnitude e seu sinal. Usando a codificação padrão, qualquer valor real é dado pelo produto da magnitude e o sinal na codificação padrão. Essa relação pode ser generalizada para definir um sinal para números complexos.

Visto que os números reais e complexos formam um campo e contêm os reais positivos, eles também contêm os recíprocos das magnitudes de todos os números diferentes de zero. Isso significa que qualquer número diferente de zero pode ser multiplicado pelo recíproco de sua magnitude, ou seja, dividido por sua magnitude. É imediato que o quociente de qualquer número real diferente de zero por sua magnitude produz exatamente seu sinal. Por analogia, o sinal de um número complexo z pode ser definido como o quociente de z e sua magnitude | z | . Visto que a magnitude do número complexo é dividida , o sinal resultante do número complexo representa, em certo sentido, seu argumento complexo. Isso deve ser comparado ao sinal de números reais, exceto para a definição de uma função de sinal complexa. veja § Função de sinais complexos abaixo.

Funções de sinal

Função de sinal real y = sgn ( x )

Ao lidar com números, geralmente é conveniente ter seu sinal disponível como um número. Isso é realizado por funções que extraem o sinal de qualquer número e o mapeiam para um valor predefinido antes de disponibilizá-lo para cálculos adicionais. Por exemplo, pode ser vantajoso formular um algoritmo intrincado apenas para valores positivos e cuidar do sinal apenas depois.

Função de sinal real

A função de sinal ou função de sinal extrai o sinal de um número real, mapeando o conjunto de números reais para o conjunto de três reais . Pode ser definido da seguinte forma:

Assim, sgn ( x ) é 1 quando x é positivo e sgn ( x ) é −1 quando x é negativo. Para valores diferentes de zero de x , esta função também pode ser definida pela fórmula

onde | x | é o valor absoluto de x .

Função de sinal complexo

Enquanto um número real tem uma direção unidimensional, um número complexo tem uma direção bidimensional. A função de sinal complexo requer a magnitude de seu argumento z = x + iy , que pode ser calculado como

De forma análoga ao anterior, a função de sinal complexo extrai o sinal complexo de um número complexo mapeando o conjunto de números complexos diferentes de zero para o conjunto de números complexos unimodulares e de 0 a 0: pode ser definido da seguinte forma:

Seja z expresso também por sua magnitude e um de seus argumentos φ como z = | z | ⋅ e , então

Essa definição também pode ser reconhecida como um vetor normalizado, ou seja, um vetor cuja direção não é alterada e cujo comprimento é fixo na unidade . Se o valor original era R, θ na forma polar, então o sinal (R, θ) é 1 θ. A extensão de sign () ou signum () para qualquer número de dimensões é óbvia, mas isso já foi definido como normalização de um vetor.

Sinais por convenção

Em situações em que há exatamente duas possibilidades em pé de igualdade para um atributo, elas costumam ser rotuladas pela convenção como mais e menos , respectivamente. Em alguns contextos, a escolha desta atribuição (ou seja, qual intervalo de valores é considerado positivo e qual negativo) é natural, enquanto em outros contextos, a escolha é arbitrária, tornando necessária uma convenção de sinal explícita, sendo o único requisito o uso consistente de a Convenção.

Sinal de um ângulo

Medindo a partir do eixo x , os ângulos no círculo unitário contam como positivos no sentido anti - horário e negativos no sentido horário .

Em muitos contextos, é comum associar um sinal à medida de um ângulo , particularmente um ângulo orientado ou um ângulo de rotação . Em tal situação, o sinal indica se o ângulo está no sentido horário ou anti-horário. Embora convenções diferentes possam ser usadas, é comum em matemática fazer com que os ângulos no sentido anti-horário sejam considerados positivos e os ângulos no sentido horário contados como negativos.

Também é possível associar um sinal a um ângulo de rotação em três dimensões, supondo que o eixo de rotação esteja orientado. Especificamente, uma rotação para a direita em torno de um eixo orientado normalmente conta como positiva, enquanto uma rotação para a esquerda conta como negativa.

Sinal de mudança

Quando uma quantidade x muda ao longo do tempo, a mudança no valor de x é normalmente definida pela equação

Usando essa convenção, um aumento em x conta como mudança positiva, enquanto uma diminuição de x conta como mudança negativa. No cálculo , essa mesma convenção é usada na definição da derivada . Como resultado, qualquer função crescente tem derivada positiva, enquanto qualquer função decrescente tem derivada negativa.

Sinal de direção

Na geometria analítica e na física , é comum rotular certas direções como positivas ou negativas. Para um exemplo básico, a reta numérica geralmente é desenhada com números positivos à direita e números negativos à esquerda:

Number-line.svg

Como resultado, ao discutir movimento linear , deslocamento ou velocidade , um movimento para a direita é geralmente considerado positivo, enquanto um movimento semelhante para a esquerda é considerado negativo.

No plano cartesiano , as direções para a direita e para cima são geralmente consideradas positivas, com a direita sendo a direção x positiva e para cima sendo a direção y positiva . Se um vetor de deslocamento ou velocidade for separado em seus componentes de vetor , então a parte horizontal será positiva para movimento para a direita e negativa para movimento para a esquerda, enquanto a parte vertical será positiva para movimento para cima e negativa para movimento para baixo.

Sinalização em computação

bit mais significativo
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1 = -1
1 1 1 1 1 1 1 0 = -2
1 0 0 0 0 0 0 1 = -127
1 0 0 0 0 0 0 0 = -128
A maioria dos computadores usa o complemento de dois para representar o sinal de um inteiro.

Na computação , um valor inteiro pode ser assinado ou não, dependendo se o computador está rastreando um sinal para o número. Ao restringir uma variável inteira para valores não negativos apenas, mais um bit pode ser usado para armazenar o valor de um número. Por causa da maneira como a aritmética de inteiros é feita em computadores, as representações de números com sinais geralmente não armazenam o sinal como um único bit independente, em vez de usar, por exemplo, o complemento de dois .

Em contraste, os números reais são armazenados e manipulados como valores de ponto flutuante . Os valores de ponto flutuante são representados usando três valores separados, mantissa, expoente e sinal. Dado este bit de sinal separado, é possível representar zero positivo e negativo. A maioria das linguagens de programação normalmente trata o zero positivo e o zero negativo como valores equivalentes, embora eles forneçam meios pelos quais a distinção pode ser detectada.

Outros significados

A carga elétrica pode ser positiva ou negativa.

Além do sinal de um número real, a palavra sinal também é usada de várias maneiras relacionadas na matemática e em outras ciências:

  • Palavras até assinar média que, para uma quantidade q , sabe-se que tanto q = Q ou q = - Q com certeza Q . Ele é muitas vezes expressa como q = ± Q . Para números reais, significa que apenas o valor absoluto | q | da quantidade é conhecida. Para números e vetores complexos , uma quantidade conhecida por sinal é uma condição mais forte do que uma quantidade com magnitude conhecida : além de Q e - Q , existem muitos outros valores possíveis de q tais que | q | = | Q | .
  • O sinal de uma permutação é definido como positivo se a permutação for par e negativo se a permutação for ímpar.
  • Na teoria dos grafos , um gráfico com sinal é um gráfico no qual cada aresta foi marcada com um sinal positivo ou negativo.
  • Na análise matemática , uma medida sinalizada é uma generalização do conceito de medida em que a medida de um conjunto pode ter valores positivos ou negativos.
  • Em uma representação de dígitos com sinais, cada dígito de um número pode ter um sinal positivo ou negativo.
  • As ideias de área sinalizada e volume sinalizado são algumas vezes usadas quando é conveniente que certas áreas ou volumes contem como negativos. Isso é particularmente verdadeiro na teoria dos determinantes . Em um espaço vetorial orientado (abstrato) , cada base ordenada para o espaço vetorial pode ser classificada como orientada positiva ou negativamente.
  • Na física , qualquer carga elétrica vem com um sinal positivo ou negativo. Por convenção, uma carga positiva é uma carga com o mesmo sinal de um próton , e uma carga negativa é uma carga com o mesmo sinal de um elétron .

Veja também

Referências

  1. ^ "Lista abrangente de símbolos de álgebra" . Math Vault . 2020-03-25 . Obtido em 2020-08-26 .
  2. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Sinal" . mathworld.wolfram.com . Obtido em 2020-08-26 .
  3. ^ "Lista de símbolos de cálculo e análise" . Math Vault . 2020-05-11 . Obtido em 2020-08-26 .
  4. ^ "SignumFunction" . www.cs.cas.cz . Obtido em 2020-08-26 .
  5. ^ "Sinal de ângulos | O que é um ângulo? | Ângulo positivo | Ângulo negativo" . Matemática Somente Matemática . Obtido em 2020-08-26 .