Função monotônica - Monotonic function

Figura 1. Uma função monotonicamente não decrescente.
Figura 2. Uma função monotonicamente não crescente
Figura 3. Uma função que não é monotônica

Em matemática , uma função monotônica (ou função monótona ) é uma função entre conjuntos ordenados que preserva ou inverte a ordem dada . Esse conceito surgiu primeiro no cálculo e mais tarde foi generalizado para o cenário mais abstrato da teoria da ordem .

Em cálculo e análise

No cálculo , uma função definida em um subconjunto de números reais com valores reais é chamada de monotônica se e somente se for totalmente não crescente ou totalmente não decrescente. Ou seja, conforme a Fig. 1, uma função que aumenta monotonicamente não deve aumentar exclusivamente, simplesmente não deve diminuir.

Uma função é chamada de monotonicamente crescente (também crescente ou não decrescente ), se para todos e de tal forma que se tem , preserva assim a ordem (ver Figura 1). Da mesma forma, uma função é chamada monotonicamente decrescente (também decrescente ou não crescente ) se, quando , então , ela inverte a ordem (veja a Figura 2).

Se a ordem na definição de monotonicidade for substituída pela ordem estrita , obtém-se um requisito mais forte. Uma função com essa propriedade é chamada estritamente crescente (também crescente ). Novamente, ao inverter o símbolo de ordem, encontra-se um conceito correspondente denominado estritamente decrescente (também decrescente ). Uma função pode ser chamada estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. Funções que são estritamente monótonas são um-para-um (porque não é igual a , ou ou e assim, por monotonicidade, ou , assim .)

Se não estiver claro que "aumentar" e "diminuir" incluem a possibilidade de repetir o mesmo valor em argumentos sucessivos, pode-se usar os termos fracamente monótono , fracamente aumentando e fracamente diminuindo para enfatizar essa possibilidade.

Os termos "não decrescente" e "não crescente" não devem ser confundidos com as (muito mais fracas) qualificações negativas "não decrescente" e "não crescente". Por exemplo, a função da figura 3 primeiro cai, depois sobe e depois cai novamente. Portanto, não está diminuindo nem aumentando, mas também não está diminuindo nem aumentando.

Uma função é considerada absolutamente monotônica em um intervalo se as derivadas de todas as ordens de forem não negativas ou todas não positivas em todos os pontos do intervalo.

Inverso de função

Uma função que é monotônica, mas não estritamente monotônica e, portanto, constante em um intervalo, não tem uma inversa. Isso ocorre porque, para que uma função tenha um inverso, é necessário que haja um mapeamento um a um do intervalo para o domínio da função. Como uma função monotônica tem alguns valores que são constantes em seu domínio, isso significa que haveria mais de um valor no intervalo que mapeia para esse valor constante.

No entanto, uma função y = g ( x ) que é estritamente monotônica, tem uma função inversa tal que x = h ( y ) porque é garantido que sempre haverá um mapeamento um-para-um de intervalo para domínio da função. Além disso, pode-se dizer que uma função é estritamente monotônica em uma faixa de valores e, portanto, tem um inverso nessa faixa de valor. Por exemplo, se y = g ( x ) é estritamente monotônico no intervalo [ a , b ], então tem um inverso x = h ( y ) no intervalo [ g ( a ), g ( b )], mas nós não posso dizer que todo o intervalo da função tem um inverso.

Observe que alguns livros afirmam erroneamente que existe um inverso para uma função monotônica, quando na verdade significam que existe um inverso para uma função estritamente monotônica.

Transformação monotônica

O termo transformação monotônica (ou transformação monótona ) também pode causar alguma confusão porque se refere a uma transformação por uma função estritamente crescente. Esse é o caso da economia com relação às propriedades ordinais de uma função de utilidade que são preservadas por meio de uma transformação monotônica (ver também preferências monótonas ). Nesse contexto, o que chamamos de “transformação monotônica” é, mais exatamente, denominado “transformação monotônica positiva”, para distingui-la de uma “transformação monotônica negativa”, que inverte a ordem dos números.

Alguns aplicativos e resultados básicos

As seguintes propriedades são verdadeiras para uma função monotônica :

  • tem limites da direita e da esquerda em todos os pontos de seu domínio ;
  • tem um limite no infinito positivo ou negativo ( ) de um número real , ou .
  • só pode ter descontinuidades de salto ;
  • só pode ter muitas descontinuidades contáveis em seu domínio. As descontinuidades, entretanto, não necessariamente consistem em pontos isolados e podem até ser densas em um intervalo ( a , b ).

Essas propriedades são a razão pela qual as funções monotônicas são úteis no trabalho técnico de análise . Mais alguns fatos sobre essas funções:

  • se é uma função monotônica definida em um intervalo , então é diferenciável em quase toda parte em ; isto é, o conjunto de números em tal que não é diferenciável em tem a medida de Lebesgue zero . Além disso, este resultado não pode ser melhorado para contagem: veja a função Cantor .
  • se este conjunto é contável, então é absolutamente contínuo.
  • se for uma função monotônica definida em um intervalo , então é Riemann integrável .

Uma aplicação importante das funções monotônicas é na teoria da probabilidade . Se for uma variável aleatória , sua função de distribuição cumulativa é uma função monotonicamente crescente.

Uma função é unimodal se estiver monotonicamente aumentando até certo ponto (o modo ) e depois diminuindo monotonicamente.

Quando é um estritamente monótono função, em seguida, é injetivo no seu domínio, e se é o intervalo de , em seguida, existe uma função inversa em para . Em contraste, cada função constante é monotônica, mas não injetiva e, portanto, não pode ter uma inversa.

Em topologia

Um mapa é considerado monótono se cada uma de suas fibras estiver conectada; ou seja, para cada elemento no (possivelmente vazio) conjunto está conectado.

Em análise funcional

Na análise funcional em um espaço vetorial topológico , um operador (possivelmente não linear) é considerado um operador monótono se

O teorema de Kachurovskii mostra que as funções convexas em espaços de Banach têm operadores monotônicos como seus derivados.

Um subconjunto de é considerado um conjunto monótono se para cada par e em ,

é dito ser monótono máximo se for máximo entre todos os conjuntos monótonos no sentido de inclusão de conjunto. O gráfico de um operador monótono é um conjunto monótono. Um operador monótono é considerado monótono máximo se seu gráfico for um conjunto monótono máximo .

Teoria da ordem

A teoria da ordem lida com conjuntos parcialmente ordenados arbitrários e conjuntos pré- ordenados como uma generalização de números reais. A definição de monotonicidade acima é relevante nesses casos também. No entanto, os termos "aumentando" e "diminuindo" são evitados, uma vez que sua representação pictórica convencional não se aplica a pedidos que não sejam totais . Além disso, as relações estritas <e> são de pouco uso em muitos pedidos não totais e, portanto, nenhuma terminologia adicional é introduzida para eles.

Deixando ≤ denotar a relação de ordem parcial de qualquer conjunto parcialmente ordenado, uma função monótona , também chamada de isótono , ou preservando a ordem , satisfaz a propriedade

xy implica f ( x ) ≤ f ( y ),

para todo x e y no seu domínio. A composição de dois mapeamentos monótonos também é monótona.

A dupla noção é muitas vezes chamado antitone , anti-monótona , ou revertendo fim- . Portanto, uma função antítono f satisfaz a propriedade

xy implica f ( y ) ≤ f ( x ),

para todo x e y no seu domínio.

Uma função constante é monótona e antítona; inversamente, se f for monótono e antítono, e se o domínio de f for uma rede , então f deve ser constante.

Funções monótonas são centrais na teoria da ordem. Eles aparecem na maioria dos artigos sobre o assunto e exemplos de aplicações especiais são encontrados nesses locais. Algumas funções monótonas especiais notáveis ​​são embeddings de ordem (funções para as quais xy se e somente se f ( x ) ≤ f ( y )) e isomorfismos de ordem ( embeddings de ordem sobrejetiva ).

No contexto de algoritmos de pesquisa

No contexto dos algoritmos de busca, a monotonicidade (também chamada de consistência) é uma condição aplicada às funções heurísticas . Uma heurística h (n) é monotônica se, para cada nó n e cada sucessor n ' de n gerado por qualquer ação a , o custo estimado para atingir a meta de n não é maior do que o custo do passo para chegar a n' mais o custo estimado para atingir a meta de n ' ,

Esta é uma forma de desigualdade triangular , com n , n ' , e o objetivo G n mais próximo de n . Como toda heurística monotônica também é admissível , a monotonicidade é um requisito mais estrito do que a admissibilidade. Alguns algoritmos heurísticos , como A *, podem ser considerados ótimos, desde que a heurística que eles usam seja monotônica.

Em funções booleanas

Com a função não monotônica "se a então b e c ", nós falsos aparecem acima dos nós verdadeiros .
Diagrama de Hasse da função monotônica "pelo menos dois de a , b , c são mantidos". As cores indicam os valores de saída da função.

Na álgebra booleana , uma função monotônica é aquela tal que para todo a i e b i em {0,1}, se a 1b 1 , a 2b 2 , ..., a nb n (ou seja, o O produto cartesiano {0, 1} n é ordenado coordenadamente ), então f ( a 1 , ..., a n ) ≤ f ( b 1 , ..., b n ) . Em outras palavras, uma função booleana é monotônica se, para cada combinação de entradas, mudar uma das entradas de falsa para verdadeira só pode fazer com que a saída mude de falsa para verdadeira e não de verdadeira para falsa. Graficamente, isso significa que uma função booleana n -ary é monotônica quando sua representação como um n- cubo rotulado com valores verdade não tem borda superior de verdadeiro para falso . (Este diagrama de Hasse rotulado é o dual do diagrama de Venn rotulado da função , que é a representação mais comum para n ≤ 3. )

As funções booleanas monotônicas são precisamente aquelas que podem ser definidas por uma expressão combinando as entradas (que podem aparecer mais de uma vez) usando apenas os operadores e e ou (em particular não é proibido). Por exemplo, "pelo menos dois de a , b , c manter" é uma função monotônica de a , b , c , uma vez que pode ser escrita, por exemplo, como (( a e b ) ou ( a e c ) ou ( b e c )).

O número de tais funções em n variáveis ​​é conhecido como o número de Dedekind de n .

Veja também

Notas

Bibliografia

  • Bartle, Robert G. (1976). Os elementos da análise real (segunda ed.).
  • Grätzer, George (1971). Teoria das redes: primeiros conceitos e redes distributivas . ISBN 0-7167-0442-0.
  • Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Matemática para economistas: um livro introdutório . Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
  • Renardy, Michael e Rogers, Robert C. (2004). Uma introdução às equações diferenciais parciais . Textos em Matemática Aplicada 13 (Segunda edição). Nova York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 0-387-00444-0.
  • Riesz, Frigyes & Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Análise funcional . Publicações Courier Dover. ISBN 978-0-486-66289-3.
  • Russell, Stuart J .; Norvig, Peter (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach (3ª ed.). Upper Saddle River, Nova Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
  • Simon, Carl P .; Blume, Lawrence (abril de 1994). Mathematics for Economists (primeira edição). ISBN 978-0-393-95733-4. (Definição 9.31)

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