Conjunto de todos os valores de uma função
Em matemática , a imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que ela pode produzir.
De maneira mais geral, avaliar uma determinada função em cada elemento de um determinado subconjunto de seu domínio produz um conjunto, denominado " imagem de sob (ou através) ". Da mesma forma, a imagem inversa (ou pré - imagem ) de um determinado subconjunto do codomínio de é o conjunto de todos os elementos do domínio que mapeiam para os membros de
Imagem e imagem inversa também podem ser definidas para relações binárias gerais , não apenas funções.
Definição
A palavra "imagem" é usada de três maneiras relacionadas. Nessas definições, é uma função do conjunto para o conjunto
Imagem de um elemento
Se for um membro de, então a imagem de sub denotado é o valor de quando aplicado a é alternativamente conhecido como a saída de para o argumento
Dada a função é dito que " pega o valor " ou " pega como um valor " se houver algum no domínio da função de forma que
Da mesma forma, dado um conjunto é dito " pega um valor em " se houver algum no domínio da função de forma que
No entanto, " assume [todos] os valores em " e " é avaliado em " significa que para cada ponto no domínio de.
Imagem de um subconjunto
A imagem de um subconjunto sob denotada é o subconjunto de que pode ser definido usando a notação conjunto-construtor como se segue:
Quando não há risco de confusão, é simplesmente escrito como Esta convenção é comum; o significado pretendido deve ser inferido do contexto. Isso cria uma função cujo domínio é o conjunto de potência de (o conjunto de todos os subconjuntos de ), e cujo codomínio é o conjunto de potência de Consulte § Notação abaixo para obter mais informações.
Imagem de uma função
A imagem de uma função é a imagem de todo o seu domínio , também conhecido como intervalo da função. Este uso deve ser evitado porque a palavra "intervalo" também é comumente usada para significar o codomínio de
Generalização para relações binárias
Se for uma relação binária arbitrária em então o conjunto é chamado de imagem, ou intervalo, de Dually, o conjunto é chamado de domínio de
Imagem inversa
"Pré-imagem" redireciona aqui. Para o ataque criptográfico em funções hash, consulte
ataque preimage .
Let ser uma função do a O preimage ou imagem inversa de um conjunto sob denotado por é o subconjunto de definida pela
Outras notações incluem e
A imagem inversa de um conjunto singleton , denotada por ou por também é chamada de fibra ou fibra sobre ou conjunto de nível de. O conjunto de todas as fibras sobre os elementos de é uma família de conjuntos indexados por
Por exemplo, para a função, a imagem inversa de seria Novamente, se não houver risco de confusão, pode ser denotado por e também pode ser pensado como uma função do conjunto de potência de para o conjunto de potência de A notação não deve ser confundido com aquele para função inversa , embora coincida com o usual para bijeções em que a imagem inversa de sob é a imagem de sob
Notação para imagem e imagem inversa
As notações tradicionais usadas na seção anterior podem ser confusas. Uma alternativa é dar nomes explícitos para a imagem e pré-imagem como funções entre conjuntos de energia:
Notação de seta
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com
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com
Notação de estrelas
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ao invés de
-
ao invés de
Outra terminologia
- Uma notação alternativa usada em lógica matemática e teoria dos conjuntos é
- Alguns textos referem-se à imagem de como o intervalo de, mas esse uso deve ser evitado porque a palavra "intervalo" também é comumente usada para significar o codomínio de
Exemplos
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definido por A imagem do conjunto sob é a imagem da função é a preimage de é o preimage de é também o de preimage é o conjunto vazio
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definido por A imagem de sob é e a imagem de é (o conjunto de todos os números reais positivos e zero). A pré-imagem de under é A pré-imagem de set under é o conjunto vazio, porque os números negativos não têm raízes quadradas no conjunto de reais.
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definido por As fibras são círculos concêntricos sobre a origem , a própria origem e o conjunto vazio , dependendo de cada um. (se então a fibra é o conjunto de todos satisfazendo a equação do anel concêntrico de origem )
- Se é um colector e é o canónica de projecção do feixe tangente para , em seguida, as fibras de são os espaços tangentes Este é também um exemplo de um feixe de fibras .
- Um grupo quociente é uma imagem homomórfica.
Propriedades
Contra-exemplos baseados em números reais definidos, mostrando que a igualdade geralmente não precisa ser válida para algumas leis:
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Em geral
Para cada função e todos os subconjuntos e as seguintes propriedades são mantidas:
Imagem
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Pré-imagem
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(igual se, por exemplo, se for sobrejetivo)
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(igual se for injetivo)
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Também:
Múltiplas funções
Para funções e com subconjuntos e as seguintes propriedades são mantidas:
Vários subconjuntos de domínio ou codomínio
Para funções e subconjuntos e as seguintes propriedades são mantidas:
Imagem
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Pré-imagem
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(igual se for injetivo)
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(igual se for injetivo)
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(igual se for injetivo)
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Os resultados que relacionam imagens e pré-imagens com a álgebra ( booleana ) de intersecção e união funcionam para qualquer coleção de subconjuntos, não apenas para pares de subconjuntos:
(Aqui, pode ser infinito, até mesmo incontavelmente infinito .)
Com respeito à álgebra de subconjuntos descritos acima, a função de imagem inversa é um homomorfismo de rede , enquanto a função de imagem é apenas um homomorfismo de semilátula (ou seja, nem sempre preserva as interseções).
Veja também
Notas
Referências
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