Função mensurável - Measurable function
Em matemática e, em particular, a teoria da medida , uma função mensurável é uma função entre os conjuntos subjacentes de dois espaços mensuráveis que preserva a estrutura dos espaços: o preimage de qualquer mensurável conjunto é mensurável. Isso está em analogia direta com a definição de que uma função contínua entre espaços topológicos preserva a estrutura topológica: a pré-imagem de qualquer conjunto aberto é aberta. Na análise real , funções mensuráveis são usadas na definição da integral de Lebesgue . Na teoria da probabilidade , uma função mensurável em um espaço de probabilidade é conhecida como variável aleatória .
Definição formal
Sejam e sejam espaços mensuráveis, significando que e são conjuntos equipados com as respectivas -álgebras e função A é dito mensurável se para cada a pré-imagem de sob está em ; isto é, para todos
Ou seja, onde está a σ-álgebra gerada por f . Se for uma função mensurável, vamos escrever
Variações de uso do termo
A escolha de -álgebras na definição acima é às vezes implícita e deixada para o contexto. Por exemplo, para ou outros espaços topológicos, a álgebra de Borel (contendo todos os conjuntos abertos) é uma escolha comum. Alguns autores definem funções mensuráveis como exclusivamente de valor real em relação à álgebra de Borel.
Se os valores da função estiverem em um espaço vetorial de dimensão infinita , existem outras definições não equivalentes de mensurabilidade, como mensurabilidade fraca e mensurabilidade Bochner .
Classes notáveis de funções mensuráveis
- Variáveis aleatórias são, por definição, funções mensuráveis definidas em espaços de probabilidade.
- Se e são espaços de Borel , uma função mensurável também é chamada de função de Borel . As funções contínuas são funções do Borel, mas nem todas as funções do Borel são contínuas. No entanto, uma função mensurável é quase uma função contínua; veja o teorema de Luzin . Se uma função do Borel for uma seção de um mapa, ela é chamada de seção do Borel .
- Uma função mensurável de Lebesgue é uma função mensurável onde é a -álgebra dos conjuntos mensuráveis de Lebesgue, e é a álgebra de Borel nos números complexos As funções mensuráveis de Lebesgue são de interesse na análise matemática porque podem ser integradas. No caso de Lebesgue mensurável iff é mensurável para todos Isso também é equivalente a qualquer de ser mensurável para todos ou a pré-imagem de qualquer conjunto aberto sendo mensurável. Funções contínuas, funções monótonas, funções escalonadas, funções semicontínuas, funções integráveis de Riemann e funções de variação limitada são todas mensuráveis de Lebesgue. Uma função é mensurável se as partes reais e imaginárias são mensuráveis.
Propriedades das funções mensuráveis
- A soma e o produto de duas funções mensuráveis de valor complexo são mensuráveis. O mesmo ocorre com o quociente, desde que não haja divisão por zero.
- Se e são funções mensuráveis, então sua composição também é
- Se e são funções mensuráveis, sua composição não precisa ser mensurável a menos que Na verdade, duas funções mensuráveis de Lebesgue possam ser construídas de tal forma que torne sua composição não mensurável de Lebesgue.
- O supremo (pontual) , o ínfimo , o limite superior e o limite inferior de uma sequência (viz., Contáveis) de funções mensuráveis de valor real são todos mensuráveis também.
- O limite pontual de uma sequência de funções mensuráveis é mensurável, onde é um espaço métrico (dotado da álgebra de Borel). Isso não é verdade em geral se não for metrizável. Observe que a instrução correspondente para funções contínuas requer condições mais fortes do que a convergência pontual, como a convergência uniforme.
Funções não mensuráveis
Funções de valor real encontradas em aplicativos tendem a ser mensuráveis; entretanto, não é difícil provar a existência de funções não mensuráveis. Tais provas contam com o axioma da escolha de uma maneira essencial, no sentido de que a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha não prova a existência de tais funções.
Em qualquer espaço de medida com um conjunto não mensurável, pode-se construir uma função de indicador não mensurável :
Como outro exemplo, qualquer função não constante é não mensurável em relação à -álgebra trivial, uma vez que a pré-imagem de qualquer ponto no intervalo é algum subconjunto adequado e não vazio do qual não é um elemento do trivial
Veja também
- Função mensurável de Bochner
- Espaço Bochner
- Espaço Lp - Espaços de função generalizando espaços de norma p de dimensão finita - Espaços vetoriais de funções mensuráveis: os