Identidade aditiva - Additive identity
Em matemática , a identidade aditiva de um conjunto equipado com a operação de adição é um elemento que, quando adicionado a qualquer elemento x do conjunto, resulta em x . Uma das identidades aditivas mais familiares é o número 0 da matemática elementar , mas as identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis .
Exemplos elementares
- A identidade aditiva familiar da matemática elementar é zero, denotada como 0 . Por exemplo,
- Nos números naturais N (se 0 for incluído), nos inteiros Z , nos números racionais Q , nos números reais R e nos números complexos C , a identidade aditiva é 0. Isso diz que para um número n pertencente a qualquer um desses conjuntos,
Definição formal
Seja N um grupo fechado sob a operação de adição , denotado como + . Uma identidade aditiva para N , denotada e , é um elemento em N tal que para qualquer elemento n em N ,
- e + n = n = n + e .
Outros exemplos
- Em um grupo , a identidade aditiva é o elemento de identidade do grupo, geralmente é denotada como 0 e é única (veja a prova abaixo).
- Um anel ou campo é um grupo sob a operação de adição e, portanto, estes também têm uma identidade aditiva única 0. Esta é definida para ser diferente da identidade multiplicativa 1 se o anel (ou campo) tiver mais de um elemento. Se a identidade aditiva e a identidade multiplicativa forem iguais, então o anel é trivial (provado abaixo).
- No anel M m × n ( R ) de matrizes m por n sobre um anel R , a identidade aditiva é a matriz zero, denotada O ou 0 , e é a matriz m por n cujas entradas consistem inteiramente no elemento de identidade 0 em R . Por exemplo, nas matrizes 2 × 2 sobre os inteiros M 2 ( Z ), a identidade aditiva é
- Nos quatérnions , 0 é a identidade aditiva.
- No anel de funções de R a R , a função que mapeia cada número até 0 é a identidade aditiva.
- No grupo aditivo de vetores em R n , a origem ou vetor zero é a identidade aditiva.
Propriedades
A identidade aditiva é única em um grupo
Seja ( G , +) um grupo e 0 e 0 'em G denotem identidades aditivas, portanto, para qualquer g em G ,
- 0 + g = g = g + 0 e 0 '+ g = g = g + 0'.
Conclui-se então que
- 0 ' = 0' + 0 = 0 '+ 0 = 0 .
A identidade aditiva aniquila os elementos do anel
Em um sistema com uma operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo , o que significa que para qualquer s em S , s · 0 = 0 . Isso ocorre porque:
As identidades aditivas e multiplicativas são diferentes em um anel não trivial
Deixe- R ser um anel e supor que a identidade aditivo 0 e a identidade multiplicativo 1 são iguais, isto é, 0 = 1. Let r ser qualquer elemento de R . Então
- r = r × 1 = r × 0 = 0
provando que R é trivial, ou seja, R = {0}. O contrapositivo , que se R é não trivial, então 0 não é igual a 1, é então mostrado.
Veja também
Referências
- ^ Weisstein, Eric W. "Additive Identity" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2020-09-07 .
Bibliografia
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra , Wiley (3ª ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 .