Identidade aditiva - Additive identity

Em matemática , a identidade aditiva de um conjunto equipado com a operação de adição é um elemento que, quando adicionado a qualquer elemento x do conjunto, resulta em x . Uma das identidades aditivas mais familiares é o número 0 da matemática elementar , mas as identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis .

Exemplos elementares

Definição formal

Seja N um grupo fechado sob a operação de adição , denotado como + . Uma identidade aditiva para N , denotada e , é um elemento em N tal que para qualquer elemento n em N ,

e + n = n = n + e .

Outros exemplos

  • Em um grupo , a identidade aditiva é o elemento de identidade do grupo, geralmente é denotada como 0 e é única (veja a prova abaixo).
  • Um anel ou campo é um grupo sob a operação de adição e, portanto, estes também têm uma identidade aditiva única 0. Esta é definida para ser diferente da identidade multiplicativa 1 se o anel (ou campo) tiver mais de um elemento. Se a identidade aditiva e a identidade multiplicativa forem iguais, então o anel é trivial (provado abaixo).
  • No anel M m  ×  n ( R ) de matrizes m por n sobre um anel R , a identidade aditiva é a matriz zero, denotada O ou 0 , e é a matriz m por n cujas entradas consistem inteiramente no elemento de identidade 0 em R . Por exemplo, nas matrizes 2 × 2 sobre os inteiros M 2 ( Z ), a identidade aditiva é
  • Nos quatérnions , 0 é a identidade aditiva.
  • No anel de funções de R a R , a função que mapeia cada número até 0 é a identidade aditiva.
  • No grupo aditivo de vetores em R n , a origem ou vetor zero é a identidade aditiva.

Propriedades

A identidade aditiva é única em um grupo

Seja ( G , +) um grupo e 0 e 0 'em G denotem identidades aditivas, portanto, para qualquer g em G ,

0 + g = g = g + 0 e 0 '+ g = g = g + 0'.

Conclui-se então que

0 ' = 0' + 0 = 0 '+ 0 = 0 .

A identidade aditiva aniquila os elementos do anel

Em um sistema com uma operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo , o que significa que para qualquer s em S , s  · 0 = 0 . Isso ocorre porque:

As identidades aditivas e multiplicativas são diferentes em um anel não trivial

Deixe- R ser um anel e supor que a identidade aditivo 0 e a identidade multiplicativo 1 são iguais, isto é, 0 = 1. Let r ser qualquer elemento de R . Então

r = r × 1 = r × 0 = 0

provando que R é trivial, ou seja, R  = {0}. O contrapositivo , que se R é não trivial, então 0 não é igual a 1, é então mostrado.

Veja também

Referências

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Additive Identity" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2020-09-07 .

Bibliografia

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra , Wiley (3ª ed.): 2003, ISBN  0-471-43334-9 .

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