Espaço pseudométrico - Pseudometric space

Em matemática , um espaço pseudométrico é uma generalização de um espaço métrico no qual a distância entre dois pontos distintos pode ser zero. Da mesma forma que todo espaço normatizado é um espaço métrico , todo espaço seminormado é um espaço pseudométrico. Por causa dessa analogia, o termo espaço semimétrico (que tem um significado diferente na topologia ) às vezes é usado como sinônimo, especialmente na análise funcional .

Quando uma topologia é gerada usando uma família de pseudometria, o espaço é chamado de espaço de calibre .

Definição

Um espaço pseudométrico é um conjunto junto com uma função de valor real não negativa (chamada de pseudométrica ) de modo que, para cada , ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d \ colon X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle x, y, z \ in X}$

1. ${\ displaystyle d (x, x) = 0}$.
2. ${\ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$( simetria )
3. ${\ displaystyle d (x, z) \ leqslant d (x, y) + d (y, z)}$( subditividade / desigualdade triangular )

Ao contrário de um espaço métrico, os pontos em um espaço pseudométrico não precisam ser distinguíveis ; ou seja, pode-se ter valores distintos . ${\ displaystyle d (x, y) = 0}$${\ displaystyle x \ neq y}$

Exemplos

• Qualquer espaço métrico é um espaço pseudométrico.
• A pseudometria surge naturalmente na análise funcional . Considere o espaço de funções com valor real junto com um ponto especial . Este ponto, então, induz uma pseudométrica no espaço de funções, dada por${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$

${\ displaystyle d (f, g) = | f (x_ {0}) - g (x_ {0}) |}$

para ${\ displaystyle f, g \ in {\ mathcal {F}} (X)}$

• Para espaços vetoriais , uma seminorm induz um pseudométrico ligado , como${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle d (x, y) = p (xy).}$

Por outro lado, um pseudométrico homogêneo e invariante à translação induz um seminorm.

• A pseudometria também surge na teoria de variedades complexas hiperbólicas : consulte a métrica de Kobayashi .
• Cada espaço de medida pode ser visto como um espaço pseudométrico completo, definindo${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

${\ displaystyle d (A, B): = \ mu (A \ vartriangle B)}$

para todos , onde o triângulo denota diferença simétrica .${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}$

• Se é uma função e d ₂ é um pseudométrico em X ₂ , então fornece um pseudométrico em X ₁ . Se d ₂ é uma métrica ef é injetiva , então d ₁ é uma métrica.${\ displaystyle f: X_ {1} \ rightarrow X_ {2}}$${\ displaystyle d_ {1} (x, y): = d_ {2} (f (x), f (y))}$

Topologia

A topologia pseudométrica é a topologia gerada pelas bolas abertas

${\ displaystyle B_ {r} (p) = \ {x \ em X \ mid d (p, x) <r \},}$

que formam uma base para a topologia. Um espaço topológico é considerado um espaço pseudometrizável se o espaço puder receber uma pseudometria tal que a topologia pseudométrica coincida com a topologia dada no espaço.

A diferença entre pseudometria e métrica é totalmente topológica. Ou seja, uma pseudométrica é uma métrica se e somente se a topologia que ela gera for T ₀ (ou seja, pontos distintos são topologicamente distinguíveis).

As definições de sequências de Cauchy e completamento métrico para espaços métricos são transferidos para espaços pseudométricos inalterados.

Identificação métrica

O desaparecimento do pseudométrico induz uma relação de equivalência , chamada de identificação métrica , que converte o espaço pseudométrico em um espaço métrico completo . Isso é feito definindo if . Seja o espaço quociente de X por esta relação de equivalência e defina ${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle d (x, y) = 0}$${\ displaystyle X ^ {*} = X / {\ sim}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} d ^ {*} :( X / \ sim) & \ times (X / \ sim) \ longrightarrow \ mathbb {R} _ {\ geq 0} \\ d ^ {*} ([x], [y]) & = d (x, y) \ end {alinhado}}}$

Isso está bem definido porque para qualquer um temos isso e assim e vice-versa. Então é uma métrica ligada e é um espaço métrico bem definido, chamado de espaço métrico induzido pelo espaço pseudométrico . ${\ displaystyle x '\ in [x]}$${\ displaystyle d (x, x ') = 0}$${\ displaystyle d (x ', y) \ leq d (x, x') + d (x, y) = d (x, y)}$${\ displaystyle d ^ {*}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle (X ^ {*}, d ^ {*})}$ ${\ displaystyle (X, d)}$

A identificação da métrica preserva as topologias induzidas. Ou seja, um subconjunto é aberto (ou fechado) em se e somente se estiver aberto (ou fechado) em e A estiver saturado. A identificação topológica é o quociente de Kolmogorov . ${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ pi (A) = [A]}$${\ displaystyle (X ^ {*}, d ^ {*})}$

Um exemplo dessa construção é a conclusão de um espaço métrico por suas sequências de Cauchy .

Veja também

• Espaço métrico
• Assinatura métrica
• Espaço vetorial topológico metrizável

Notas

Referências

• Arkhangel'skii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topologia Geral I: Conceitos Básicos e Teoria das Dimensões de Construções . Enciclopédia de Ciências Matemáticas. Springer . ISBN 3-540-18178-4.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (nova ed.). Publicações de Dover . ISBN 0-486-68735-X.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topologia Geral ( reimpressão de Dover da edição 1970), Addison-Wesley
• Este artigo incorpora material do espaço pseudométrico no PlanetMath , que está licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .
• “Exemplo de espaço pseudométrico” . PlanetMath .