Teorema da categoria de Baire - Baire category theorem
O teorema da categoria de Baire (BCT) é um resultado importante na topologia geral e na análise funcional . O teorema tem duas formas, cada uma das quais dá condições suficientes para um espaço topológico ser um espaço de Baire (um espaço topológico de tal modo que a intersecção de contavelmente muitos densas conjuntos abertos ainda é denso).
Versões do teorema da categoria de Baire foram provadas independentemente em 1897 e 1899 por Osgood e Baire, respectivamente. Este teorema diz que todo espaço métrico completo é um espaço de Baire .
Demonstração
Um espaço Baire é um espaço topológico com a propriedade de que para cada coleção contável de conjuntos densos abertos ( U n ) ∞
n = 1, sua intersecção é densa.
- ( BCT1 ) Todo espaço pseudométrico completo é um espaço Baire. Assim, todo espaço topológico completamente metrizável é um espaço Baire. De maneira mais geral, todo espaço topológico homeomórfico a um subconjunto aberto de um espaço pseudométrico completo é um espaço de Baire.
- ( BCT2 ) Cada espaço localmente compacto de Hausdorff é um espaço Baire. A prova é semelhante à afirmação anterior; a propriedade de interseção finita assume o papel desempenhado pela completude.
Nenhuma dessas afirmações implica diretamente a outra, uma vez que existem espaços métricos completos que não são localmente compactos (os números irracionais com a métrica definida abaixo; também, qualquer espaço de Banach de dimensão infinita), e existem espaços de Hausdorff localmente compactos que não são metrizable (por exemplo, qualquer produto incontável de espaços compactos de Hausdorff não triviais é tal; também, vários espaços de função usados em análise funcional; o espaço incontável de Fort ). Veja Steen e Seebach nas referências abaixo.
- ( BCT3 ) Um espaço métrico completo não vazio com interior não vazio, ou qualquer um de seus subconjuntos com interior não vazio, não é a união contável de conjuntos densos em lugar nenhum .
Esta formulação é equivalente ao BCT1 e às vezes é mais útil em aplicações. Além disso: se um espaço métrico completo não vazio é a união contável de conjuntos fechados, então um desses conjuntos fechados tem um interior não vazio .
Relação com o axioma de escolha
A prova de BCT1 para espaços métricos completos arbitrários requer alguma forma de axioma de escolha ; e, de fato, BCT1 é equivalente em ZF ao axioma da escolha dependente , uma forma fraca do axioma da escolha.
Uma forma restrita do teorema da categoria de Baire, em que o espaço métrico completo também é considerado separável , é demonstrável em ZF sem nenhum princípio de escolha adicional. Esta forma restrita aplica-se em particular à linha real , o espaço de Baire ω ω , o espaço de Cantor 2 ω e um espaço de Hilbert separável como L 2 (ℝ n ) .
Usos
O BCT1 é usado em análise funcional para provar o teorema do mapeamento aberto , o teorema do gráfico fechado e o princípio do limite uniforme .
O BCT1 também mostra que todo espaço métrico completo sem pontos isolados é incontável . (Se X é um espaço métrico completo contável sem pontos isolados, então cada singleton { x } em X não é denso , e então X é de primeira categoria em si mesmo.) Em particular, isso prova que o conjunto de todos os números reais é incontável.
BCT1 mostra que cada um dos seguintes é um espaço Baire:
- O espaço ℝ de números reais
- Os números irracionais , com a métrica definida por d ( x , y ) = 1/n + 1, onde n é o primeiro índice para o qual as expansões de fração contínuas de x e y diferem (este é um espaço métrico completo)
- The Cantor set
Por BCT2 , cada variedade de Hausdorff de dimensão finita é um espaço de Baire, uma vez que é localmente compacto e de Hausdorff. Isso é verdade mesmo para variedades não paracompactas (portanto, não metrizáveis ), como a linha longa .
O BCT é usado para provar o teorema de Hartogs , um resultado fundamental na teoria de várias variáveis complexas.
BCT3 é usado para provar que um espaço de Banach não pode ter dimensão infinita contável.
Prova
O que se segue é uma prova padrão de que um espaço pseudométrico completo é um espaço Baire.
Seja U n uma coleção contável de subconjuntos densos abertos. Queremos mostrar que a interseção ∩ U n é densa. Um subconjunto é denso se e somente se todo subconjunto aberto não vazio o cruza. Assim, para mostrar que a interseção é densa, é suficiente mostrar que qualquer conjunto aberto não vazio W em X tem um ponto x em comum com todo o U n . Como U 1 é denso, W intercepta U 1 ; assim, há um ponto x 1 e 0 < r 1 <1 tal que:
- B ( x 1 , r 1 ) ⊆ W ∩ U 1
onde B ( x , r ) e B ( x , r ) denotam uma bola aberta e fechada, respectivamente, centrada em x com raio r . Como cada U n é denso, podemos continuar recursivamente para encontrar um par de sequências x n e 0 < r n <1/n de tal modo que:
- B ( x n , r n ) ⊆ B ( x n −1 , r n −1 ) ∩ U n .
(Esta etapa depende do axioma de escolha e do fato de que uma interseção finita de conjuntos abertos é aberta e, portanto, uma bola aberta pode ser encontrada dentro dela centrada em x n .) Uma vez que x n ∈ B ( x m , r m ) quando n > m , temos que x n é Cauchy e, portanto, x n converge para algum limite x por completude. Para qualquer n , por fechamento, x ∈ B ( x n , r n ) .
Portanto, x ∈ W e X ∈ L n para todos os n .
Existe uma prova alternativa de M. Baker para a prova do teorema usando o jogo de Choquet .
Veja também
Citações
Referências
- Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles" . Ann. Di Mat . 3 : 1–123.
- Baker, Matt (7 de julho de 2014). "Números reais e jogos infinitos, parte II: o jogo Choquet e o teorema da categoria de Baire" . Blog de matemática de Matt Baker .
- Blair, Charles E. (1977). “O teorema da categoria de Baire implica o princípio das escolhas dependentes”. Touro. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Matemática. Astron. Phys . 25 (10): 933–934.
- Gamelin, Theodore W .; Greene, Robert Everist . Introdução à Topologia (2ª ed.). Dover.
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