Teorema de Sokhotski-Plemelj - Sokhotski–Plemelj theorem

O teorema Sokhotski-Plemelj (grafia polonesa é Sochocki ) é um teorema em análise complexa , que ajuda na avaliação de certas integrais. A versão em linha real ( veja abaixo ) é freqüentemente usada na física, embora raramente mencionada pelo nome. O teorema recebeu o nome de Julian Sochocki , que o provou em 1868, e de Josip Plemelj , que o redescobriu como ingrediente principal de sua solução para o problema de Riemann-Hilbert em 1908.

Declaração do teorema

Deixe C ser uma suave curva fechada simples no plano, e uma função analítica sobre C . Observe que a integral do tipo Cauchy${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ phi (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z} },}$

não pode ser avaliada por qualquer z na curva C . No entanto, no interior e no exterior da curva, a integral produz funções analíticas, que serão denotadas dentro e fora de C. As fórmulas de Sokhotski-Plemelj relacionam os valores de fronteira limitantes dessas duas funções analíticas em um ponto z em C e o valor principal de Cauchy da integral: ${\ displaystyle \ phi _ {i}}$${\ displaystyle \ phi _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {w \ to z} \ phi _ {i} (w) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ mathcal {P}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}} + {\ frac {1} {2}} \ varphi (z),}$

${\ displaystyle \ lim _ {w \ to z} \ phi _ {e} (w) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ mathcal {P}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}} - {\ frac {1} {2}} \ varphi (z).}$

As generalizações subsequentes relaxam os requisitos de suavidade na curva C e na função φ .

Versão para a linha real

Especialmente importante é a versão para integrais sobre a linha real.

Deixe f ser uma complexa função -valued que é definido e contínuo na linha real, e deixe um e b ser reais constantes com . Então ${\ displaystyle a <0 <b}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon}} \, dx = \ mp i \ pi f (0) + {\ mathcal {P}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x}} \, dx,}$

onde denota o valor principal de Cauchy . (Observe que esta versão não faz uso de analiticidade.) ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Uma consequência particularmente importante disso é obtida quando se toma f como a função delta de Dirac :

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x \ pm i \ varepsilon}} = \ mp i \ pi \ delta (x) + {\ mathcal {P} } {{\ Big (} {\ frac {1} {x}} {\ Big)}}.}$

Prova da versão real

Uma prova simples é a seguinte.

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon}} \, dx = \ mp i \ pi \ lim _ {\ varejpsilon \ a 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ varepsilon} {\ pi (x ^ {2} + \ varepsilon ^ {2 })}} f (x) \, dx + \ lim _ {\ varepsilon \ a 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {x ^ {2}} {x ^ {2 } + \ varepsilon ^ {2}}} \, {\ frac {f (x)} {x}} \, dx.}$

Para o primeiro termo, notamos que ε ⁄ π ( x ²  +  ε ² ) é uma função delta nascente e, portanto, se aproxima de uma função delta de Dirac no limite. Portanto, o primeiro termo é igual a ∓ i π  f (0).

Para o segundo termo, notamos que o fator x ² ⁄ ( x ²  +  ε ² ) se aproxima de 1 para | x | ≫  ε , aproxima-se de 0 para | x | ≪ ε, e é exatamente simétrico em torno de 0. Portanto, no limite, ele transforma a integral em uma integral de valor principal de Cauchy .

Para uma prova simples da versão complexa da fórmula e da versão para poldomínios, consulte: Mohammed, Alip (fevereiro de 2007). "O problema de Riemann relacionado ao toro" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 326 (1): 533–555. doi : 10.1016 / j.jmaa.2006.03.011 .

Aplicação física

Na mecânica quântica e na teoria quântica de campos , muitas vezes é necessário avaliar as integrais da forma

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dE \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, f (E) \ exp (-iEt)}$

onde E é alguma energia e t é o tempo. Esta expressão, conforme escrita, é indefinida (uma vez que a integral de tempo não converge), então ela é normalmente modificada adicionando um coeficiente real negativo a t no exponencial e, em seguida, levando-o a zero, ou seja:

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dE \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, f (E ) \ exp (-iEt- \ varepsilon t) = - i \ lim _ {\ varepsilon \ a 0 ^ {+}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (E)} {Ei \ varepsilon}} \, dE = \ pi f (0) -i {\ mathcal {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (E)} {E} } \, dE,}$

onde a última etapa usa a versão real do teorema.

Veja também

• Operadores integrais singulares em curvas fechadas (consideração do teorema de Sokhotski-Plemelj para o círculo unitário e uma curva de Jordan fechada)
• Relações Kramers-Kronig
• Transformada de Hilbert

Referências

• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations . Cambridge Univ. Aperte. ISBN 0-521-55001-7. Capítulo 3.1.
• Merzbacher, Eugen (1998). Mecânica Quântica . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-88702-1. Apêndice A, equação (A.19).
• Henrici, Peter (1986). Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3 . Willey, John & Sons, Inc.
• Plemelj, Josip (1964). Problemas no sentido de Riemann e Klein . New York: Interscience Publishers.
• Gakhov, FD (1990), Boundary value problems. Reimpressão da tradução de 1966 , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Muskhelishvili, NI (1949). Equações integrais singulares, problemas de contorno da teoria das funções e sua aplicação à física matemática . Melbourne: Departamento de Abastecimento e Desenvolvimento, Laboratórios de Pesquisa Aeronáutica.
• Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Exemplo 3.3.1 4
• Sokhotskii, YW (1873). Em integrais definidas e funções usadas em expansões em série . São Petersburgo.