Função delta de Dirac - Dirac delta function

Representação esquemática da função delta de Dirac por uma linha encimada por uma seta. A altura da seta geralmente serve para especificar o valor de qualquer constante multiplicativa, que fornecerá a área sob a função. A outra convenção é escrever a área próxima à ponta da flecha.
A função delta de Dirac como o limite (no sentido de distribuições ) da sequência de distribuições normais centradas em zero

Em matemática , a função delta de Dirac ( δ função ), também conhecido como o impulso unitário símbolo, é uma função generalizada ou distribuição sobre os números reais , cujo valor é igual a zero em todos os lugares, excepto no zero, e cujo integrante ao longo de toda a linha real é igual para um. Também pode ser interpretado como um funcional linear que mapeia cada função com seu valor zero, ou como o limite fraco de uma sequência de funções de saliência , que são zero na maior parte da linha real, com um pico alto na origem. As funções de resposta são, portanto, às vezes chamadas de funções delta "aproximadas" ou "nascentes".

A função delta foi introduzida pelo físico Paul Dirac como uma ferramenta para a normalização de vetores de estado. Ele também tem aplicações na teoria da probabilidade e no processamento de sinais . Como não é uma função matemática verdadeira , alguns matemáticos objetaram a ela como um absurdo até Laurent Schwartz desenvolver a teoria das distribuições.

A função delta de Kronecker , que geralmente é definida em um domínio discreto e assume os valores 0 e 1, é o análogo discreto da função delta de Dirac.

Motivação e visão geral

O gráfico da função delta é geralmente considerado como seguindo todo o eixo xe o eixo y positivo . O delta de Dirac é usado para modelar uma função de ponta alta e estreita (um impulso ) e outras abstrações semelhantes , como uma carga pontual , uma massa pontual ou um ponto de elétron . Por exemplo, para calcular a dinâmica de uma bola de bilhar sendo atingida, pode-se aproximar a força do impacto por uma função delta. Ao fazer isso, não só se simplifica as equações, mas também se pode calcular o movimento da bola considerando apenas o impulso total da colisão, sem um modelo detalhado de toda a transferência de energia elástica em níveis subatômicos (por exemplo) .

Para ser específico, suponha que uma bola de bilhar esteja em repouso. Ao mesmo tempo , é atingido por outra bola, que lhe confere um impulso P , para dentro . A troca de momento não é realmente instantânea, sendo mediada por processos elásticos no nível molecular e subatômico, mas para fins práticos é conveniente considerar essa transferência de energia como efetivamente instantânea. A força, portanto, é . (As unidades de são .)

Para modelar essa situação com mais rigor, suponha que a força, em vez disso, esteja uniformemente distribuída em um pequeno intervalo de tempo . Isso é,

Então, o momento em qualquer momento t é encontrado pela integração:

Agora, a situação do modelo de uma transferência instantânea de momentum requer tomar o limite como , dando

Aqui, as funções são consideradas aproximações úteis para a ideia de transferência instantânea de momento.

A função delta nos permite construir um limite idealizado dessas aproximações. Infelizmente, o limite real das funções (no sentido de convergência pontual ) é zero em todos os lugares, exceto um único ponto, onde é infinito. Para dar um sentido adequado à função delta, devemos, em vez disso, insistir que a propriedade

que vale para todos , deve continuar no limite. Assim, na equação , entende-se que o limite é sempre tomado fora da integral .

Na matemática aplicada, como fizemos aqui, a função delta é frequentemente manipulada como uma espécie de limite (um limite fraco ) de uma sequência de funções, cada membro da qual tem um pico alto na origem: por exemplo, uma sequência de Distribuições gaussianas centradas na origem com variância tendendo a zero.

Apesar do nome, a função delta não é verdadeiramente uma função, pelo menos não uma função comum com domínio e intervalo em números reais . Por exemplo, os objetos f ( x ) = δ ( x ) e g ( x ) = 0 são iguais em todos os lugares, exceto em x = 0, embora tenham integrais que são diferentes. De acordo com a teoria da integração de Lebesgue , se f e g são funções tal que f = g em quase toda parte , então f é integrável se e somente se g é integrável e as integrais de f e g são idênticos. Uma abordagem rigorosa para considerar a função delta de Dirac como um objeto matemático por si só requer a teoria da medida ou a teoria das distribuições .

História

Joseph Fourier apresentou o que agora é chamado de teorema integral de Fourier em seu tratado Théorie analytique de la chaleur na forma:

o que equivale à introdução da função δ na forma:

Mais tarde, Augustin Cauchy expressou o teorema usando exponenciais:

Cauchy apontou que em algumas circunstâncias a ordem de integração neste resultado é significativa (contraste com o teorema de Fubini ).

Conforme justificado usando a teoria das distribuições , a equação de Cauchy pode ser reorganizada para se assemelhar à formulação original de Fourier e expor a função δ como

onde a função δ é expressa como

Uma interpretação rigoroso de forma exponencial e as várias limitações sobre a função f necessário para a sua aplicação alargada ao longo de vários séculos. Os problemas com uma interpretação clássica são explicados da seguinte forma:

A maior desvantagem da transformação de Fourier clássica é uma classe bastante restrita de funções (originais) para as quais ela pode ser calculada com eficácia. Ou seja, é necessário que essas funções diminuam rapidamente para zero (na vizinhança do infinito) para garantir a existência da integral de Fourier. Por exemplo, a transformada de Fourier de funções simples como polinômios não existe no sentido clássico. A extensão da transformação clássica de Fourier para distribuições ampliou consideravelmente a classe de funções que poderiam ser transformadas e isso removeu muitos obstáculos.

Outros desenvolvimentos incluíram a generalização da integral de Fourier, "começando com a teoria L 2 inovadora de Plancherel (1910), continuando com os trabalhos de Wiener e Bochner (por volta de 1930) e culminando com o amálgama na teoria das distribuições de L. Schwartz (1945) ... ", e levando ao desenvolvimento formal da função delta de Dirac.

Uma fórmula infinitesimal para uma função delta de impulso unitário infinitamente alto (versão infinitesimal da distribuição de Cauchy ) aparece explicitamente em um texto de 1827 de Augustin Louis Cauchy . Siméon Denis Poisson considerou a questão em conexão com o estudo da propagação de ondas, como fez Gustav Kirchhoff um pouco mais tarde. Kirchhoff e Hermann von Helmholtz também introduziram o impulso unitário como um limite das gaussianas , que também correspondia à noção de Lord Kelvin de uma fonte pontual de calor. No final do século 19, Oliver Heaviside usou a série formal de Fourier para manipular o impulso da unidade. A função delta de Dirac como tal foi introduzida como uma "notação conveniente" por Paul Dirac em seu influente livro de 1930, The Principles of Quantum Mechanics . Ele a chamou de "função delta", uma vez que a usou como um análogo contínuo do delta discreto de Kronecker .

Definições

O delta de Dirac pode ser vagamente pensado como uma função na linha real que é zero em todos os lugares, exceto na origem, onde é infinito,

e que também é restrito para satisfazer a identidade

Esta é apenas uma caracterização heurística . O delta de Dirac não é uma função no sentido tradicional, pois nenhuma função definida nos números reais tem essas propriedades. A função delta de Dirac pode ser rigorosamente definida como uma distribuição ou como uma medida .

Como medida

Uma maneira de capturar rigorosamente a noção da função delta de Dirac é definir uma medida , chamada medida de Dirac , que aceita um subconjunto A da linha real R como um argumento e retorna δ ( A ) = 1 se 0 ∈ A , e δ ( A ) = 0 caso contrário. Se a função delta é concebida como modelar uma massa ponto idealizada, a 0, em seguida, δ ( A ) representa a massa contida no conjunto Uma . Pode-se então definir a integral contra δ como a integral de uma função contra esta distribuição de massa. Formalmente, a integral de Lebesgue fornece o dispositivo analítico necessário. A integral de Lebesgue em relação à medida δ satisfaz

para todas as funções contínuas com suporte compacto f . A medida δ não é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue - na verdade, é uma medida singular . Consequentemente, a medida delta não tem derivado Radon-Nikodym (em relação à medida de Lebesgue) - nenhuma função verdadeira para a qual a propriedade

detém. Como resultado, a última notação é um abuso conveniente de notação , e não uma integral padrão ( Riemann ou Lebesgue ).

Como uma medida de probabilidade em R , a medida delta é caracterizada por sua função de distribuição cumulativa , que é a função de degrau unitário .

Isso significa que H ( x ) é a integral da função indicadora cumulativa 1 (−∞, x ] com relação à medida δ ; a saber,

sendo o último a medida desse intervalo; mais formalmente, δ ((−∞, x ]) . Assim, em particular, a integração da função delta contra uma função contínua pode ser adequadamente entendida como uma integral de Riemann-Stieltjes :

Todos os momentos superiores de δ são zero. Em particular, a função característica e a função geradora de momento são ambas iguais a um.

Como uma distribuição

Na teoria das distribuições , uma função generalizada é considerada não uma função em si mesma, mas apenas sobre como ela afeta outras funções quando "integrada" contra elas. De acordo com esta filosofia, para definir a função delta apropriadamente, é suficiente dizer o que a "integral" da função delta é contra uma função de teste  suficientemente "boa" φ . As funções de teste também são conhecidas como funções de aumento . Se a função delta já é entendida como uma medida, então a integral de Lebesgue de uma função de teste contra essa medida fornece a integral necessária.

Um espaço típico de funções de teste consiste em todas as funções suaves em R com suporte compacto que têm tantas derivadas quanto necessário. Como uma distribuição, o delta de Dirac é um funcional linear no espaço das funções de teste e é definido por

 

 

 

 

( 1 )

para cada função de teste .

Para que δ seja propriamente uma distribuição, ela deve ser contínua em uma topologia adequada no espaço de funções de teste. Em geral, para que um funcional linear S no espaço das funções de teste defina uma distribuição, é necessário e suficiente que, para cada inteiro positivo N haja um inteiro M N e uma constante C N tal que para cada função de teste φ , um tem a desigualdade

Com o δ distribuição, um tem uma desigualdade tal (com C N = 1) com H N = 0 para todos os N . Assim, δ é uma distribuição de ordem zero. É, além disso, uma distribuição com suporte compacto ( sendo o suporte {0}).

A distribuição delta também pode ser definida de várias maneiras equivalentes. Por exemplo, é a derivada distributiva da função de etapa de Heaviside . Isso significa que para cada função de teste φ , uma tem

Intuitivamente, se a integração por partes fosse permitida, a última integral deveria simplificar para

e, de fato, uma forma de integração por partes é permitida para a integral de Stieltjes e, nesse caso, tem-se

No contexto da teoria da medida, a medida de Dirac dá origem à distribuição por integração. Por outro lado, a equação ( 1 ) define uma integral de Daniell no espaço de todas as funções contínuas compactamente suportadas φ que, pelo teorema da representação de Riesz , pode ser representada como a integral de Lebesgue de φ em relação a alguma medida de Radon .

Geralmente, quando o termo " função delta de Dirac " é usado, é no sentido de distribuições e não de medidas, a medida de Dirac estando entre vários termos para a noção correspondente na teoria da medida. Algumas fontes também podem usar o termo distribuição delta de Dirac .

Generalizações

A função delta pode ser definida no espaço euclidiano n- dimensional R n como a medida tal que

para cada função contínua compactamente suportada f . Como medida, a função delta n- dimensional é a medida do produto das funções delta unidimensionais em cada variável separadamente. Assim, formalmente, com x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) , um tem

 

 

 

 

( 2 )

A função delta também pode ser definida no sentido de distribuições exatamente como acima no caso unidimensional. No entanto, apesar do uso difundido em contextos de engenharia, ( 2 ) deve ser manipulado com cuidado, uma vez que o produto das distribuições só pode ser definido em circunstâncias bastante restritas.

A noção de uma medida de Dirac faz sentido em qualquer conjunto. Assim, se X é um conjunto, x 0X é um ponto marcado, e Σ é qualquer álgebra sigma de subconjuntos de X , então a medida definida nos conjuntos A ∈ Σ por

é a medida delta ou unidade de massa concentrada em x 0 .

Outra generalização comum da função delta é para uma variedade diferenciável onde a maioria de suas propriedades como uma distribuição também podem ser exploradas por causa da estrutura diferenciável . A função delta em uma variedade M centrada no ponto x 0M é definida como a seguinte distribuição:

 

 

 

 

( 3 )

para todas as funções reais suaves suporte compacto & Phi em M . Um caso especial comum dessa construção é aquele em que M é um conjunto aberto no espaço euclidiano R n .

Em um espaço de Hausdorff localmente compacto X , a medida delta de Dirac concentrada em um ponto x é a medida de Radon associada com a integral de Daniell ( 3 ) em funções contínuas compactamente suportadas φ . Nesse nível de generalidade, o cálculo como tal não é mais possível; no entanto, uma variedade de técnicas de análise abstrata estão disponíveis. Por exemplo, o mapeamento é uma incorporação contínua de X no espaço de medidas Radon finitas em X , equipado com sua topologia vaga . Além disso, o casco convexo da imagem de X sob esta incorporação é denso no espaço de medidas de probabilidade de X .

Propriedades

Escala e simetria

A função delta satisfaz a seguinte propriedade de escalonamento para um escalar α diferente de zero:

e entao

 

 

 

 

( 4 )

Prova:

Em particular, a função delta é uma distribuição uniforme , no sentido de que

que é homogêneo de grau -1.

Propriedades algébricas

O produto distributivo de δ com x é igual a zero:

Por outro lado, se xf ( x ) = xg ( x ) , onde f e g são distribuições, então

para alguma constante c .

Tradução

A integral do delta de Dirac atrasado é

Isso às vezes é chamado de propriedade de peneiração ou propriedade de amostragem . A função delta é dito para "peneirar" o valor em t = T .

Segue-se que o efeito da convolução de uma função f ( t ) com o delta de Dirac atrasado é atrasar f ( t ) pela mesma quantidade:

Isso vale sob a condição precisa de que f seja uma distribuição temperada (veja a discussão sobre a transformada de Fourier abaixo ). Como caso especial, por exemplo, temos a identidade (entendida no sentido de distribuição)

Composição com função

Mais geralmente, a distribuição delta pode ser composta com uma função suave g ( x ) de tal forma que a fórmula familiar de mudança de variáveis ​​se mantenha, que

contanto que g seja uma função continuamente diferenciável com g ′ em nenhum lugar zero. Ou seja, há uma maneira única de atribuir significado à distribuição, de forma que essa identidade seja válida para todas as funções de teste compactamente suportadas f . Portanto, o domínio deve ser dividido para excluir o ponto g ′ = 0. Esta distribuição satisfaz δ ( g ( x )) = 0 se g não for zero em nenhum lugar, e caso contrário, se g tiver uma raiz real em x 0 , então

É natural, portanto, definir a composição δ ( g ( x )) para funções continuamente diferenciáveis g por

onde a soma se estende por todas as raízes (isto é, todas as diferentes) de g ( x ), que são consideradas simples . Assim, por exemplo

Na forma integral, a propriedade de escala generalizada pode ser escrita como

Propriedades em n dimensões

A distribuição delta em um espaço n- dimensional satisfaz a seguinte propriedade de dimensionamento,

de forma que δ é uma distribuição homogênea de grau - n .

Sob qualquer reflexão ou rotação ρ, a função delta é invariante,

Como no caso de uma variável, é possível definir a composição de δ com uma função bi-Lipschitz g : R nR n exclusivamente de modo que a identidade

para todas as funções compactamente suportadas f .

Usando a fórmula coarea da teoria da medida geométrica , pode-se também definir a composição da função delta com a submersão de um espaço euclidiano em outro de dimensão diferente; o resultado é um tipo de corrente . No caso especial de uma função continuamente diferenciável g : R nR tal que o gradiente de g em nenhum lugar é zero, a seguinte identidade é válida

onde a integral à direita está sobre g −1 (0), a superfície ( n - 1) -dimensional definida por g ( x ) = 0 com relação à medida de conteúdo de Minkowski . Isso é conhecido como integral de camada simples .

De forma mais geral, se S é uma hipersuperfície lisa de R n , então podemos associar a S a distribuição que integra qualquer função suave suportada compactamente g sobre S :

onde σ é a medida hipersuperfıcie associada a S . Esta generalização é associado com a teoria do potencial de potenciais de camada simples em S . Se D é um domínio em R n com contorno suave S , então δ S é igual à derivada normal da função indicadora de D no sentido de distribuição,

onde n é o normal externo. Para uma prova, consulte, por exemplo, o artigo sobre a função delta de superfície .

transformada de Fourier

A função delta é uma distribuição temperada e, portanto, possui uma transformada de Fourier bem definida . Formalmente, encontra-se

Falando corretamente, a transformada de Fourier de uma distribuição é definida pela imposição da auto-junção da transformada de Fourier sob o emparelhamento de dualidade de distribuições temperadas com funções de Schwartz . Assim, é definido como a distribuição temperada única que satisfaz

para todas as funções de Schwartz . E, de fato, segue-se disso que

Como resultado dessa identidade, a convolução da função delta com qualquer outra distribuição temperada S é simplesmente S :

Isso quer dizer que δ é um elemento de identidade para a convolução em distribuições temperadas e, de fato, o espaço de distribuições compactamente suportadas sob convolução é uma álgebra associativa com identidade a função delta. Esta propriedade é fundamental no processamento de sinais , já que a convolução com distribuição temperada é um sistema linear invariante no tempo , e a aplicação do sistema linear invariante no tempo mede sua resposta ao impulso . A resposta ao impulso pode ser calculada com qualquer grau desejado de precisão, escolhendo uma aproximação adequada para δ , e uma vez que é conhecida, caracteriza o sistema completamente. Veja a teoria do sistema LTI § Resposta ao impulso e convolução .

A transformada de Fourier inversa da distribuição temperada f ( ξ ) = 1 é a função delta. Formalmente, isso é expresso

e mais rigorosamente, segue-se desde

para todas as funções de Schwartz f .

Nestes termos, a função delta fornece uma declaração sugestiva da propriedade de ortogonalidade do kernel Fourier em R . Formalmente, um tem

Esta é, obviamente, uma abreviatura para a afirmação de que a transformada de Fourier da distribuição temperada

é

o que novamente segue impondo a auto-junção da transformada de Fourier.

Pela continuação analítica da transformada de Fourier, a transformada de Laplace da função delta é encontrada para ser

Derivados de distribuição

A derivada distributiva da distribuição delta de Dirac é a distribuição δ ′ definida em funções de teste suaves compactamente suportadas φ por

A primeira igualdade aqui é um tipo de integração por partes, pois se δ fosse uma função verdadeira, então

O k -a derivada de δ é definida de forma semelhante à distribuição dada nas funções de teste por

Em particular, δ é uma distribuição infinitamente diferenciável.

A primeira derivada da função delta é o limite distributivo dos quocientes de diferença:

Mais propriamente, um tem

onde τ h é o operador de tradução, definido em funções por τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) , e em uma distribuição S por

Na teoria do eletromagnetismo , a primeira derivada da função delta representa um dipolo magnético pontual situado na origem. Consequentemente, é referido como uma função dipolo ou dupleto .

A derivada da função delta satisfaz uma série de propriedades básicas, incluindo:

A última dessas propriedades pode ser facilmente demonstrada aplicando-se a definição de derivada distributiva, o teorema de Liebnitz e a linearidade do produto interno:

Além disso, a convolução de δ ′ com uma função suave f suportada compactamente é

que segue das propriedades da derivada distributiva de uma convolução.

Dimensões superiores

Mais geralmente, em um conjunto aberto U no espaço euclidiano n- dimensional R n , a distribuição delta de Dirac centrada em um ponto aU é definida por

para todos & Phi;S ( L ) , o espaço de todas as lisas funções compactamente suportado em L . Se α = ( α 1 , ..., α n ) é qualquer índice múltiplo e ∂ α denota o operador derivado parcial misto associado , então a derivada αth ∂ α δ a de δ a é dada por

Ou seja, a derivada α ésima de δ a é a distribuição cujo valor em qualquer função de teste φ é a derivada α ésima de φ em a (com o sinal positivo ou negativo apropriado).

As primeiras derivadas parciais da função delta são consideradas camadas duplas ao longo dos planos de coordenadas. Mais geralmente, a derivada normal de uma camada simples suportada em uma superfície é uma camada dupla suportada nessa superfície e representa um monopolo magnético laminar. Derivadas superiores da função delta são conhecidas na física como multipolares .

Derivadas superiores entram na matemática naturalmente como os blocos de construção para a estrutura completa de distribuições com suporte de ponto. Se S é qualquer distribuição em U suportada no conjunto { a } consistindo em um único ponto, então há um inteiro m e coeficientes c α tais que

Representações da função delta

A função delta pode ser vista como o limite de uma sequência de funções

onde η ε ( x ) às vezes é chamado de função delta nascente. Este limite é entendido em um sentido fraco: ou

 

 

 

 

( 5 )

para todas as funções contínuas f com suporte compacto , ou que este limite é válido para todas as funções suaves f com suporte compacto. A diferença entre esses dois modos ligeiramente diferentes de convergência fraca é freqüentemente sutil: o primeiro é a convergência na vaga topologia das medidas e o último é a convergência no sentido de distribuições .

Aproximações à identidade

Normalmente, uma função delta nascente η ε pode ser construída da seguinte maneira. Seja η uma função absolutamente integrável em R do integral total 1, e defina

Em n dimensões, em vez disso, usa-se a escala

Então, uma simples mudança de variáveis ​​mostra que η ε também tem integral 1. Pode-se mostrar que ( 5 ) vale para todas as funções f sustentadas compactamente contínuas , e assim η ε converge fracamente para δ no sentido de medidas.

Os η ε construídos desta forma são conhecidos como uma aproximação da identidade . Esta terminologia é porque o espaço G 1 ( R ) de funções absolutamente integráveis é fechada sob a operação de convolução de funções: f * gG 1 ( R ) sempre que f e g são em L 1 ( R ). No entanto, não há identidade em L 1 ( R ) para o produto de convolução: nenhum elemento h tal que fh = f para todo f . No entanto, a sequência η ε se aproxima de tal identidade no sentido de que

Este limite vale no sentido de convergência média (convergência em L 1 ). Outras condições no η ε , por exemplo, que ele seja um molificador associado a uma função compactamente suportada, são necessárias para garantir a convergência pontual em quase todos os lugares .

Se o inicial η = η 1 é ele próprio liso e compactamente suportado, então a sequência é chamada de molificador . O molificador padrão é obtido escolhendo η para ser uma função de colisão adequadamente normalizada , por exemplo

Em algumas situações, como análise numérica , uma aproximação linear por partes para a identidade é desejável. Isso pode ser obtido considerando η 1 uma função chapéu . Com esta escolha de η 1 , tem-se

que são todos contínuos e compactamente suportados, embora não sejam lisos e, portanto, não sejam um molificador.

Considerações probabilísticas

No contexto da teoria da probabilidade , é natural impor a condição adicional de que o η 1 inicial em uma aproximação da identidade seja positivo, pois tal função representa então uma distribuição de probabilidade . A convolução com uma distribuição de probabilidade às vezes é favorável porque não resulta em overshoot ou undershoot, pois a saída é uma combinação convexa dos valores de entrada e, portanto, fica entre o máximo e o mínimo da função de entrada. Tomando η 1 como qualquer distribuição de probabilidade, e deixando η ε ( x ) = η 1 ( x / ε ) / ε como acima, dará origem a uma aproximação da identidade. Em geral, isso converge mais rapidamente para uma função delta se, além disso, η tem média 0 e pequenos momentos mais altos. Por exemplo, se η 1 é a distribuição uniforme em [−1/2, 1/2] , também conhecida como função retangular , então:

Outro exemplo é com a distribuição de semicírculo de Wigner

Este é contínuo e com suporte compacto, mas não é um molificador porque não é liso.

Semigrupos

As funções delta nascentes freqüentemente surgem como semigrupos de convolução . Isso equivale à restrição adicional de que a convolução de η ε com η δ deve satisfazer

para todo ε , δ > 0 . Semigrupos de convolução em L 1 que formam uma função delta nascente são sempre uma aproximação da identidade no sentido acima, entretanto a condição de semigrupo é uma restrição bastante forte.

Na prática, semigrupos que se aproximam da função delta surgem como soluções fundamentais ou funções de Green para equações diferenciais parciais elípticas ou parabólicas fisicamente motivadas . No contexto da matemática aplicada , os semigrupos surgem como a saída de um sistema linear invariante no tempo . Abstratamente, se A é um operador linear agindo sobre funções de x , então um semigrupo de convolução surge resolvendo o problema de valor inicial

em que o limite é, como de costume, entendido no sentido fraco. Configurando η ε ( x ) = η ( ε , x ) dá a função delta nascente associada.

Alguns exemplos de semigrupos de convolução fisicamente importantes que surgem de tal solução fundamental incluem o seguinte.

O kernel de calor

O kernel de calor , definido por

representa a temperatura em um fio infinito no tempo t > 0, se uma unidade de energia térmica é armazenada na origem do fio no tempo t = 0. Este semigrupo evolui de acordo com a equação de calor unidimensional :

Na teoria da probabilidade , η ε ( x ) é uma distribuição normal de variância ε e média 0. Representa a densidade de probabilidade no tempo t = ε da posição de uma partícula começando na origem seguindo um movimento browniano padrão . Nesse contexto, a condição de semigrupo é então uma expressão da propriedade Markoviana do movimento browniano.

No espaço euclidiano de dimensão superior R n , o núcleo de calor é

e tem a mesma interpretação física, mutatis mutandis . Também representa uma função delta nascente no sentido de que η εδ no sentido de distribuição como ε → 0 .

O kernel Poisson

O kernel Poisson

é a solução fundamental da equação de Laplace no semiplano superior. Ele representa o potencial eletrostático em uma placa semi-infinita cujo potencial ao longo da borda é mantido fixo na função delta. O kernel de Poisson também está intimamente relacionado à distribuição de Cauchy e às funções de kernel Epanechnikov e Gaussiana . Este semigrupo evolui de acordo com a equação

onde o operador é rigorosamente definido como o multiplicador de Fourier

Integrais oscilatórias

Em áreas da física, como propagação e mecânica das ondas , as equações envolvidas são hiperbólicas e, portanto, podem ter soluções mais singulares. Como resultado, as funções delta nascentes que surgem como soluções fundamentais dos problemas de Cauchy associados são geralmente integrais oscilatórias . Um exemplo, que vem de uma solução da equação de Euler-Tricomi da dinâmica dos gases transônicos , é a função de Airy reescalonada

Embora usando a transformada de Fourier, é fácil ver que isso gera um semigrupo em algum sentido - não é absolutamente integrável e, portanto, não pode definir um semigrupo no forte sentido acima. Muitas funções delta nascentes construídas como integrais oscilatórias convergem apenas no sentido de distribuições (um exemplo é o kernel de Dirichlet abaixo), ao invés de no sentido de medidas.

Outro exemplo é o problema de Cauchy para a equação de onda em R 1 + 1 :

A solução u representa o deslocamento do equilíbrio de uma corda elástica infinita, com uma perturbação inicial na origem.

Outras aproximações da identidade desse tipo incluem a função sinc (amplamente usada em eletrônica e telecomunicações)

e a função de Bessel

Decomposição de onda plana

Uma abordagem para o estudo de uma equação diferencial parcial linear

onde L é um operador diferencial em R n , é buscar primeiro uma solução fundamental, que é uma solução da equação

Quando L é particularmente simples, esse problema pode frequentemente ser resolvido usando a transformada de Fourier diretamente (como no caso do kernel de Poisson e do kernel de calor já mencionados). Para operadores mais complicados, às vezes é mais fácil primeiro considerar uma equação da forma

onde h é uma função de onda plana , o que significa que tem a forma

para algum vetor ξ. Tal equação pode ser resolvida (se os coeficientes de L são funções analíticas ) pelo teorema de Cauchy-Kovalevskaya ou (se os coeficientes de L são constantes) por quadratura. Portanto, se a função delta pode ser decomposta em ondas planas, pode-se, em princípio, resolver equações diferenciais parciais lineares.

Essa decomposição da função delta em ondas planas era parte de uma técnica geral introduzida essencialmente por Johann Radon , e então desenvolvida nesta forma por Fritz John ( 1955 ). Escolha k para que n + k seja um número inteiro par, e para um número real s , coloque

Então δ é obtido aplicando uma potência do Laplaciano ao integral em relação à medida da esfera unitária dω de g ( x · ξ ) para ξ na esfera unitária S n −1 :

O Laplaciano aqui é interpretado como uma derivada fraca, de modo que esta equação significa que, para qualquer função de teste  φ ,

O resultado segue da fórmula para o potencial newtoniano (a solução fundamental da equação de Poisson). Esta é essencialmente uma forma da fórmula de inversão para a transformada de Radon porque ela recupera o valor de φ ( x ) de suas integrais em hiperplanos. Por exemplo, se n é ímpar e k = 1 , então a integral do lado direito é

onde ( ξ , p ) é a transformada Radon de φ :

Uma expressão equivalente alternativa da decomposição da onda plana, de Gelfand & Shilov (1966-1968 , I, §3.10), é

para n mesmo, e

para n ímpar.

Kernels de Fourier

No estudo das séries de Fourier , uma questão importante consiste em determinar se e em que sentido a série de Fourier associada a uma função periódica converge para a função. O n th soma parcial da série de Fourier de uma função F do período de 2 π é definido por convolução (no intervalo [-π, π] ) com o Núcleo de Dirichlet :

Assim,

Onde

Um resultado fundamental da série elementar de Fourier afirma que o kernel de Dirichlet tende ao múltiplo a da função delta como N → ∞ . Isso é interpretado no sentido de distribuição, que

para cada função suave com suporte compacto f . Assim, formalmente, um tem

no intervalo  [−π, π] .

Apesar disso, o resultado não é válido para todas as funções contínuas compactamente suportadas : isto é, D N não converge fracamente no sentido de medidas. A falta de convergência da série de Fourier levou à introdução de uma variedade de métodos de somabilidade para produzir convergência. O método da soma de Cesàro leva ao kernel Fejér

Os grãos Fejér tendem para a função delta em um sentido mais forte que

para cada função contínua compactamente suportada f . A implicação é que a série de Fourier de qualquer função contínua é Cesàro somada ao valor da função em todos os pontos.

Teoria do espaço de Hilbert

A distribuição delta de Dirac é um funcional linear ilimitado densamente definido no espaço de Hilbert L 2 de funções quadradas integráveis . De fato, funções suaves compactamente suportadas são densas em L 2 , e a ação da distribuição delta em tais funções é bem definida. Em muitas aplicações, é possível identificar subespaços de L 2 e fornecer uma topologia mais forte na qual a função delta define um funcional linear limitado .

Espaços de Sobolev

O teorema de incorporação de Sobolev para espaços de Sobolev na linha real R implica que qualquer função quadrada integrável f tal que

é automaticamente contínuo e satisfaz em particular

Assim, δ é um funcional linear limitado no espaço de Sobolev H 1 . Equivalentemente, δ é um elemento do espaço dual contínuo H −1 de H 1 . Mais geralmente, em n dimensões, tem-se δH - s ( R n ) desde  s > n  / 2 .

Espaços de funções holomórficas

Na análise complexa , a função delta entra via fórmula integral de Cauchy , que afirma que se D é um domínio no plano complexo com contorno suave, então

para todas as funções holomorfos f na D que são contínuas, sobre o encerramento de D . Como resultado, a função delta δ z é representada nesta classe de funções holomórficas pela integral de Cauchy:

Além disso, deixar H 2 (∂ D ) ser o espaço Hardy consistindo do fecho em G 2 (∂ D ) de todas as funções holomorfos em D -se contínua para o limite de D . Então as funções em H 2 (∂ D ) se estendem exclusivamente às funções holomórficas em D , e a fórmula integral de Cauchy continua válida. Em particular para zD , a função delta δ z é um funcional linear contínuo em H 2 (∂ D ). Este é um caso especial da situação em várias variáveis ​​complexas nas quais, para domínios suaves D , o kernel de Szegő desempenha o papel de integral de Cauchy.

Resoluções de identidade

Dado um conjunto completo de funções de base ortonormal { φ n } em um espaço de Hilbert separável, por exemplo, os autovetores normalizados de um operador compacto auto-adjunto , qualquer vetor f pode ser expresso como

Os coeficientes {α n } são encontrados como

que pode ser representado pela notação:

uma forma da notação bra-ket de Dirac. Adotando esta notação, a expansão de f assume a forma diádica :

Deixando I denotar o operador de identidade no espaço de Hilbert, a expressão

é chamado de resolução da identidade . Quando o espaço de Hilbert é o espaço L 2 ( D ) de funções quadradas integráveis ​​em um domínio D , a quantidade:

é um operador integral, e a expressão para f pode ser reescrita

O lado direito converge para f no sentido L 2 . Não precisa ser válido em um sentido pontual, mesmo quando f é uma função contínua. No entanto, é comum abusar da notação e escrever

resultando na representação da função delta:

Com um espaço de Hilbert equipado adequado (Φ, L 2 ( D ), Φ *) onde Φ ⊂ L 2 ( D ) contém todas as funções suaves compactamente suportadas, esta soma pode convergir em Φ *, dependendo das propriedades da base φ n . Na maioria dos casos de interesse prático, a base ortonormal vem de um operador integral ou diferencial, caso em que a série converge no sentido de distribuição .

Funções delta infinitesimais

Cauchy usou um α infinitesimal para escrever um impulso unitário, função delta do tipo Dirac infinitamente alta e estreita δ α que satisfazia em uma série de artigos em 1827. Cauchy definiu um infinitesimal em Cours d'Analyse (1827) em termos de uma tendência de seqüência a zero. Ou seja, tal sequência nula se torna um infinitesimal na terminologia de Cauchy e Lazare Carnot .

A análise fora do padrão permite um tratamento rigoroso dos infinitesimais. O artigo de Yamashita (2007) contém uma bibliografia sobre as funções delta de Dirac modernas no contexto de um continuum enriquecido infinitesimal fornecido pelos hiperreais . Aqui, o delta de Dirac pode ser dado por uma função real, tendo a propriedade de que para cada função real F se tem como antecipado por Fourier e Cauchy.

Pente Dirac

Um pente de Dirac é uma série infinita de funções delta de Dirac espaçadas em intervalos de T

Um chamado "trem de pulso" uniforme de medidas delta de Dirac, que é conhecido como um pente de Dirac , ou como a distribuição de Shah, cria uma função de amostragem , freqüentemente usada em processamento de sinal digital (DSP) e análise de sinal de tempo discreto. O pente de Dirac é dado como a soma infinita , cujo limite é entendido no sentido de distribuição,

que é uma sequência de pontos de massa em cada um dos inteiros.

Até uma constante de normalização geral, o pente de Dirac é igual à sua própria transformada de Fourier. Isso é significativo porque se for qualquer função de Schwartz , então a periodização de é dada pela convolução

Em particular,

é precisamente a fórmula da soma de Poisson . De forma mais geral, esta fórmula permanece verdadeira se for uma distribuição temperada de descida rápida ou, de forma equivalente, se for uma função comum de crescimento lento dentro do espaço de distribuições temperadas.

Teorema de Sokhotski-Plemelj

O teorema de Sokhotski-Plemelj , importante na mecânica quântica, relaciona a função delta à distribuição pv 1 / x , o valor principal de Cauchy da função 1 / x , definido por

A fórmula de Sokhotsky afirma que

Aqui, o limite é entendido no sentido de distribuição, que para todas as funções suaves compactamente suportadas f ,

Relacionamento com o delta Kronecker

O delta de Kronecker δ ij é a quantidade definida por

para todos os inteiros i , j . Essa função, então, satisfaz o seguinte análogo da propriedade de peneiração: se for qualquer sequência duplamente infinita , então

Da mesma forma, para qualquer função contínua de valor real ou complexo f em R , o delta de Dirac satisfaz a propriedade de peneiração

Isso exibe a função delta de Kronecker como um análogo discreto da função delta de Dirac.

Formulários

Teoria da probabilidade

Em teoria de probabilidade e estatística , a função delta de Dirac é freqüentemente usada para representar uma distribuição discreta , ou uma distribuição parcialmente discreta, parcialmente contínua , usando uma função de densidade de probabilidade (que normalmente é usada para representar distribuições absolutamente contínuas). Por exemplo, a função de densidade de probabilidade f ( x ) de uma distribuição discreta que consiste em pontos x = { x 1 , ..., x n }, com as probabilidades correspondentes p 1 , ..., p n , pode ser escrita como

Como outro exemplo, considere uma distribuição na qual 6/10 do tempo retorna uma distribuição normal padrão e 4/10 do tempo retorna exatamente o valor 3,5 (isto é, uma distribuição de mistura parcialmente contínua, parcialmente discreta ). A função de densidade desta distribuição pode ser escrita como

A função delta também é usada para representar a função de densidade de probabilidade resultante de uma variável aleatória que é transformada por uma função continuamente diferenciável. Se Y = g ( X ) é uma função diferenciável contínua, então a densidade de Y pode ser escrita como

A função delta também é usada de uma maneira completamente diferente para representar o tempo local de um processo de difusão (como o movimento browniano ). A hora local de um processo estocástico B ( t ) é dada por

e representa a quantidade de tempo que o processo leva no ponto x no intervalo do processo. Mais precisamente, em uma dimensão esta integral pode ser escrita

onde 1 [ x - ε , x + ε ] é a função indicadora do intervalo [ x - ε , x + ε ] .

Mecânica quântica

A função delta é útil na mecânica quântica . A função de onda de uma partícula dá a amplitude da probabilidade de encontrar uma partícula dentro de uma determinada região do espaço. As funções de onda são consideradas elementos do espaço de Hilbert L 2 de funções quadradas integráveis , e a probabilidade total de encontrar uma partícula dentro de um determinado intervalo é a integral da magnitude da função de onda ao quadrado sobre o intervalo. Um conjunto { } de funções de onda é ortonormal se forem normalizadas por

onde fica o delta de Kronecker. Um conjunto de funções de onda ortonormais está completo no espaço de funções quadradas integráveis ​​se qualquer função de onda puder ser expressa como uma combinação linear de { } com coeficientes complexos:

com . Sistemas ortonormais completos de funções de onda aparecem naturalmente como autofunções do hamiltoniano (de um sistema ligado ) na mecânica quântica que mede os níveis de energia, que são chamados de autovalores. O conjunto de autovalores, neste caso, é conhecido como o espectro do hamiltoniano. Na notação bra-ket , como acima , essa igualdade implica na resolução da identidade:

Aqui, os valores próprios são considerados discretos, mas o conjunto de valores próprios de um observável pode ser contínuo em vez de discreto. Um exemplo é a posição observável , ( x ) = x ψ ( x ) . O espectro da posição (em uma dimensão) é toda a linha real e é chamado de espectro contínuo . No entanto, ao contrário do hamiltoniano, o operador de posição carece de autofunções adequadas. A maneira convencional de superar essa lacuna é ampliar a classe de funções disponíveis, permitindo também distribuições: ou seja, substituir o espaço de Hilbert da mecânica quântica por um espaço de Hilbert manipulado apropriado . Neste contexto, o operador de posição possui um conjunto completo de autodistribuições, rotuladas pelos pontos y da reta real, dados por

As funções próprias de posição são denotadas por na notação de Dirac e são conhecidas como estados próprios de posição.

Considerações semelhantes se aplicam aos autoestados do operador momentum , ou mesmo a qualquer outro operador autoadjuvante P ilimitado no espaço de Hilbert, desde que o espectro de P seja contínuo e não haja autovalores degenerados. Nesse caso, há um conjunto Ω de números reais (o espectro), e uma coleção φ y de distribuições indexadas pelos elementos de Ω, de modo que

Isto é, φ y são os vectores próprios de P . Se os vetores próprios forem normalizados de modo que

no sentido de distribuição, então para qualquer função de teste ψ,

Onde

Ou seja, como no caso discreto, há uma resolução da identidade

onde a integral com valor de operador é novamente entendida no sentido fraco. Se o espectro de P tem partes contínuas e discretas, então a resolução da identidade envolve uma soma sobre o espectro discreto e uma integral sobre o espectro contínuo.

A função delta também tem muitas aplicações mais especializadas em mecânica quântica, como os modelos de potencial delta para um poço de potencial único e duplo.

Mecânica estrutural

A função delta pode ser usada em mecânica estrutural para descrever cargas transitórias ou cargas pontuais que atuam nas estruturas. A equação governante de um sistema simples massa-mola excitado por um impulso de força repentino I no tempo t = 0 pode ser escrita

onde m é a massa, ξ a deflexão ek a constante da mola .

Como outro exemplo, a equação que rege a deflexão estática de uma viga delgada é, de acordo com a teoria de Euler-Bernoulli ,

onde EI é a rigidez à flexão da viga, w a deflexão , x a coordenada espacial eq ( x ) a distribuição de carga. Se uma viga é carregada por um ponto de força F em x = x 0 , a distribuição de carga é escrita

Como a integração da função delta resulta na função escalonada de Heaviside , segue-se que a deflexão estática de uma viga delgada sujeita a cargas pontuais múltiplas é descrita por um conjunto de polinômios por partes .

Além disso, um momento pontual atuando em uma viga pode ser descrito por funções delta. Considere duas forças pontuais opostas F a uma distância d uma da outra. Eles então produzem um momento M = Fd agindo na viga. Agora, deixe a distância d se aproximar do limite zero, enquanto M é mantido constante. A distribuição de carga, assumindo um momento no sentido horário atuando em x = 0, é escrita

Momentos pontuais podem, portanto, ser representados pela derivada da função delta. A integração da equação do feixe novamente resulta em deflexão polinomial por partes .

Veja também

Notas

Referências

links externos