Função de sinal - Sign function

Função signum

y = sgn x

Em matemática , a função de sinal ou função de signum (de signum , latim para "sinal") é uma função matemática ímpar que extrai o sinal de um número real . Em expressões matemáticas, a função de sinal é freqüentemente representada como $sgn$ . Para evitar confusão com a função seno, essa função geralmente é chamada de função signum.

Definição

A função signum de um número real $x$ é definida da seguinte forma:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x: = {\ begin {cases} -1 & {\ text {if}} x <0, \\ 0 & {\ text {if}} x = 0, \\ 1 & {\ text {if}} x> 0. \ end {cases}}}

Propriedades

A função de sinal não é contínua em

x = 0

.

Qualquer número real pode ser expresso como o produto de seu valor absoluto e sua função de sinal:

{\ displaystyle x = | x | \ operatorname {sgn} x.}

Segue-se que sempre que $x$ não é igual a 0, temos

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = {\ frac {x} {| x |}} = {\ frac {| x |} {x}} \ ,.}

Da mesma forma, para qualquer número real $x$ ,

{\ displaystyle | x | = x \ operatorname {sgn} x.}

Também podemos verificar que:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x ^ {n} = (\ operatorname {sgn} x) ^ {n}.}

A função signum é a derivada da função de valor absoluto, até (mas não incluindo) a indeterminação em zero. Mais formalmente, na teoria da integração é uma derivada fraca , e na teoria da função convexa a subdiferencial do valor absoluto em 0 é o intervalo $[-1, 1]$ , "preenchendo" a função de sinal (a subdiferencial do valor absoluto é não com valor único em 0). Observe que a potência resultante de $x$ é 0, semelhante à derivada comum de $x$ . Os números se cancelam e tudo o que resta é o sinal de $x$ .

{\ displaystyle {\ frac {d | x |} {dx}} = \ operatorname {sgn} x {\ mbox {para}} x \ neq 0 \ ,.}

A função signum é diferenciável com a derivada 0 em todos os lugares, exceto em 0. Não é diferenciável em 0 no sentido comum, mas sob a noção generalizada de diferenciação na teoria da distribuição , a derivada da função signum é duas vezes a função delta de Dirac , que pode ser demonstrado usando a identidade

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = 2H (x) -1 \ ,,}

onde $H (x)$ é a função de etapa de Heaviside usando o padrão $H (0) =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2$ formalismo. Usando essa identidade, é fácil derivar a derivada distributiva:

{\ displaystyle {\ frac {d \ operatorname {sgn} x} {dx}} = 2 {\ frac {dH (x)} {dx}} = 2 \ delta (x) \ ,.}

A transformada de Fourier da função signum é

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (\ operatorname {sgn} x) e ^ {- ikx} dx = \ mathrm {pv} {\ frac {2} {ik}}}

,

onde p. v. significa o valor principal de Cauchy .

O signum também pode ser escrito usando a notação de colchetes Iverson :

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = - [x <0] + [x> 0] \ ,.}

O signum também pode ser escrito usando as funções de piso e de valor absoluto :

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = {\ Biggl \ lfloor} {\ frac {x} {| x | +1}} {\ Biggr \ rfloor} - {\ Biggl \ lfloor} {\ frac {-x} {| -x | +1}} {\ Biggr \ rfloor} \,}

Para $k ≫ 1$ , uma aproximação suave da função de sinal é

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x \ approx \ tanh kx \ ,.}

Outra aproximação é

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x \ approx {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + \ varejpsilon ^ {2}}}} \ ,.}

que fica mais nítido quando $ε \to 0$ ; note que esta é a derivada de $\sqrt x 2 + ε 2$ . Isso é inspirado no fato de que o acima é exatamente igual para todo diferente de zero $x$ se $ε = 0$ , e tem a vantagem de generalização simples para análogos de dimensão superior da função de sinal (por exemplo, as derivadas parciais de $\sqrt x 2 + y 2$ ).

Consulte a função de etapa de Heaviside - aproximações analíticas .

Signum complexo

A função signum pode ser generalizada para números complexos como:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} z = {\ frac {z} {| z |}}}

para qualquer número complexo $z$ exceto $z = 0$ . O signum de um dado número complexo $z$ é o ponto no círculo unitário do plano complexo que está mais próximo de $z$ . Então, para $z \neq 0$ ,

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} z = e ^ {i \ arg z} \ ,,}

onde $arg$ é a função de argumento complexa .

Por razões de simetria, e para manter isso, uma generalização adequada da função signum nos reais, também no domínio complexo que normalmente se define, para $z = 0$ :

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} (0 + 0i) = 0}

Outra generalização da função de sinal para expressões reais e complexas é $csgn$ , que é definida como:

{\ displaystyle \ operatorname {csgn} z = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ mathrm {Re} (z)> 0, \\ - 1 & {\ text {if}} \ mathrm {Re } (z) <0, \\\ operatorname {sgn} \ mathrm {Im} (z) & {\ text {if}} \ mathrm {Re} (z) = 0 \ end {cases}}}

onde $Re (z)$ é a parte real de $z$ e $Im (z)$ é a parte imaginária de $z$ .

Temos então (para $z \neq 0$ ):

{\ displaystyle \ operatorname {csgn} z = {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2}}}} = {\ frac {\ sqrt {z ^ {2}}} {z}}.}

Função de signum generalizada

Em valores reais de $x$ , é possível definir uma função generalizada - versão da função signum, $ε (x)$ tal que $ε (x) 2 = 1 em$ todos os lugares, incluindo no ponto $x = 0$ , ao contrário de $sgn$ , para o qual $( sgn 0) 2 = 0$ . Este signum generalizado permite a construção da álgebra de funções generalizadas , mas o preço de tal generalização é a perda de comutatividade . Em particular, o sinal generalizado anticommuta com a função delta de Dirac

{\ displaystyle \ varejpsilon (x) \ delta (x) + \ delta (x) \ varepsilon (x) = 0 ~;}

além disso, $ε (x)$ não pode ser avaliado em $x = 0$ ; e o nome especial, $ε$ é necessário para distingui-lo da função $sgn$ . ( $ε (0)$ não é definido, mas $sgn 0 = 0.$ )

Veja também

Notas

^ ^a ^b "Função Signum - Maeckes" . www.maeckes.nl .
^ Weisstein, Eric W. "Sign" . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. "Função de Etapa de Heaviside" . MathWorld .
^ Burrows, BL; Colwell, DJ (1990). "A transformada de Fourier da função de etapa da unidade". Revista Internacional de Educação Matemática em Ciência e Tecnologia . 21 (4): 629–635. doi : 10.1080 / 0020739900210418 .
^ Documentação do Maple V. 21 de maio de 1998
^ Yu.M.Shirokov (1979). "Álgebra de funções generalizadas unidimensionais" . TMF . 39 (3): 471–477. doi : 10.1007 / BF01017992 . Arquivado do original em 08/12/2012.

[:0-1] "Função Signum - Maeckes" . www.maeckes.nl .

[2] Weisstein, Eric W. "Sign" . MathWorld .

[3] Weisstein, Eric W. "Função de Etapa de Heaviside" . MathWorld .

[4] Burrows, BL; Colwell, DJ (1990). "A transformada de Fourier da função de etapa da unidade". Revista Internacional de Educação Matemática em Ciência e Tecnologia . 21 (4): 629–635. doi : 10.1080 / 0020739900210418 .

[5] Documentação do Maple V. 21 de maio de 1998

[Algebra-6] Yu.M.Shirokov (1979). "Álgebra de funções generalizadas unidimensionais" . TMF . 39 (3): 471–477. doi : 10.1007 / BF01017992 . Arquivado do original em 08/12/2012.

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