Expressão algébrica - Algebraic expression

Em matemática , uma expressão algébrica é uma expressão construída a partir de constantes inteiras , variáveis e as operações algébricas ( adição , subtração , multiplicação , divisão e exponenciação por um expoente que é um número racional ). Por exemplo, 3 x ² - 2 xy + c é uma expressão algébrica. Uma vez que tirar a raiz quadrada é o mesmo que elevar à potência1/2, o seguinte também é uma expressão algébrica:

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}$

Em contraste, os números transcendentais como π e e não são algébricos, uma vez que não são derivados de constantes inteiras e operações algébricas. Normalmente, π é construído como uma relação geométrica, e a definição de e requer um número infinito de operações algébricas.

Uma expressão racional é uma expressão que pode ser reescrita em uma fração racional usando as propriedades das operações aritméticas ( propriedades comutativas e propriedades associativas de adição e multiplicação, propriedade distributiva e regras para as operações nas frações). Em outras palavras, uma expressão racional é uma expressão que pode ser construída a partir das variáveis ​​e constantes usando apenas as quatro operações aritméticas . Assim,

${\ displaystyle {\ frac {3x ^ {2} -2xy + c} {y ^ {3} -1}}}$

é uma expressão racional, enquanto

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}$

não é.

Uma equação racional é uma equação em que duas frações racionais (ou expressões racionais) da forma

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

são definidos iguais uns aos outros. Essas expressões obedecem às mesmas regras das frações . As equações podem ser resolvidas por multiplicação cruzada . A divisão por zero é indefinida, de modo que uma solução que causa divisão formal por zero é rejeitada.

Terminologia

Álgebra tem sua própria terminologia para descrever partes de uma expressão:

1 - Expoente (potência), 2 - coeficiente, 3 - termo, 4 - operador, 5 - constante, - variáveis ${\ displaystyle x, y}$

Em raízes de polinômios

As raízes de uma expressão polinomial de grau n , ou equivalentemente as soluções de uma equação polinomial , podem sempre ser escritas como expressões algébricas se n <5 (consulte fórmula quadrática , função cúbica e equação quártica ). Essa solução de uma equação é chamada de solução algébrica . Mas o teorema de Abel-Ruffini afirma que não existem soluções algébricas para todas essas equações (apenas para algumas delas) se n 5. ${\ displaystyle \ geq}$

Convenções

Variáveis

Por convenção, as letras no início do alfabeto (por exemplo ) são normalmente usadas para representar constantes , e aquelas no final do alfabeto (por exemplo, e ) são usadas para representar variáveis . Eles geralmente são escritos em itálico. ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$

Expoentes

Por convenção, os termos com a maior potência ( expoente ), são escritos à esquerda, por exemplo, são escritos à esquerda de . Quando um coeficiente é um, geralmente é omitido (por exemplo, é escrito ). Da mesma forma, quando o expoente (potência) é um, (por exemplo, é escrito ), e, quando o expoente é zero, o resultado é sempre 1 (por exemplo, é escrito , pois é sempre ). ${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {1}}$${\ displaystyle 3x}$${\ displaystyle 3x ^ {0}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle x ^ {0}}$${\ displaystyle 1}$

Expressões algébricas e outras expressões matemáticas

A tabela abaixo resume como as expressões algébricas se comparam a vários outros tipos de expressões matemáticas pelo tipo de elementos que podem conter, de acordo com convenções comuns, mas não universais.

v t e	Expressões aritméticas	Expressões polinomiais	Expressões algébricas	Expressões de forma fechada	Expressões analíticas	Expressões matemáticas
Constante	sim	sim	sim	sim	sim	sim
Operação aritmética elementar	sim	Adição, subtração e multiplicação apenas	sim	sim	sim	sim
Soma finita	sim	sim	sim	sim	sim	sim
Produto finito	sim	sim	sim	sim	sim	sim
Fração contínua finita	sim	Não	sim	sim	sim	sim
Variável	Não	sim	sim	sim	sim	sim
Expoente inteiro	Não	sim	sim	sim	sim	sim
Raiz enésima inteira	Não	Não	sim	sim	sim	sim
Expoente racional	Não	Não	sim	sim	sim	sim
Fatorial inteiro	Não	Não	sim	sim	sim	sim
Expoente irracional	Não	Não	Não	sim	sim	sim
Logaritmo	Não	Não	Não	sim	sim	sim
Função trigonométrica	Não	Não	Não	sim	sim	sim
Função trigonométrica inversa	Não	Não	Não	sim	sim	sim
Função hiperbólica	Não	Não	Não	sim	sim	sim
Função hiperbólica inversa	Não	Não	Não	sim	sim	sim
Raiz de um polinômio que não é uma solução algébrica	Não	Não	Não	Não	sim	sim
Função gama e fatorial de um número não inteiro	Não	Não	Não	Não	sim	sim
Função de Bessel	Não	Não	Não	Não	sim	sim
Função especial	Não	Não	Não	Não	sim	sim
Soma infinita (série) (incluindo séries de potências )	Não	Não	Não	Não	Apenas convergente	sim
Produto infinito	Não	Não	Não	Não	Apenas convergente	sim
Fração contínua infinita	Não	Não	Não	Não	Apenas convergente	sim
Limite	Não	Não	Não	Não	Não	sim
Derivado	Não	Não	Não	Não	Não	sim
Integrante	Não	Não	Não	Não	Não	sim

Uma expressão algébrica racional (ou expressão racional ) é uma expressão algébrica que pode ser escrita como um quociente de polinômios , como x ² + 4 x + 4 . Uma expressão algébrica irracional é aquela que não é racional, como √ x + 4 .

Veja também

• Equação algébrica
• Função algébrica
• Expressão analítica
• Expressão aritmética
• Expressão de forma fechada
• Expressão (matemática)
• Pré-cálculo
• Polinomial
• Termo (lógica)

Notas

Referências

• James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Dicionário de matemática . p. 8. ISBN 9780412990410.

links externos

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Expression" . MathWorld .